第5章分式与分式方程单元测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第5章分式与分式方程单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共10分,共30分) 1．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据分母不为零和平方根的被开方数为非负数，列式求解即可． 【详解】解：∵分母， ∴； ∵分子中的要求； ∴且． 故选C． 2．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的性质：分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式值不变． 据此直接计算或反例验证各选项即可解答． 【详解】解：A．，当或时相等，其他情况下不相等，如，左边，右边，故选项 A错误，不符合题意； B．，相当于分子分母乘以不同值，如，左边，右边，不相等，故选项 B错误，不符合题意； C．，由为分母，则时，分子分母约去可得，故C选项变形正确，符合题意； D．，一般情况下不相等，如，左边，右边，不相等，故 选项D错误，不符合题意． 故选：C． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接合并分子后利用平方差公式化简即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 5．随着科技的发展，新能源汽车逐步替代了燃油汽车，如图，、分别表示燃油汽车和新能源汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比新能源汽车每千米所需的费用的2倍多1元，设新能源汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与新能源汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与新能源汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：C． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先通分化简括号内的表达式，再将除法转化为乘法，利用平方差公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 7．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．0或1 B．或3 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， ∴或． 故选：C． 8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可． 【详解】解：，且 ， ∴ 方程化为 。 两边同乘得到，， 解得， ∵ 解是非负数， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴n的取值范围是且， 故选： A 9．已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】先对原式进行分式的混合运算，将其化简为最简形式，再根据结果为整数且为整数的条件，确定的取值，最后计算所有符合条件的的值之和． 【详解】解：∵ 原式 = = = = = ． 令（为整数），则， ∴ ． ∵ 为整数， ∴ 为整数，即为的因数：， ． 当时，；时，；时，；时，． 当时，原式无意义，舍去， ∴的值只能为，，． ∴ 所有值之和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为的情况． 10．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， 即 ， 又 ， ． 故选：B． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．函数中，自变量x的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义，函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式有意义的条件． 根据分式的定义，分母不能为零，因此，即． 【详解】解：函数是分式形式， 所以， 解得.， 故自变量x的取值范围为， 故答案为：． 2．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式无意义的条件，分式的值为0时分子为0且分母不为0，分式无意义时分母为0，据此求出的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：2． 3．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用分式的乘法法则进行运算，最后约分得到结果 ． 【详解】解： ＝÷·   ． 故答案为：． 4． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后利用同底数幂的除法法则简化表达式． 【详解】解：∵ ；， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．，，是三个互不相等且非零的实数，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值、分式的求值等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由条件和，代入消元得到关于的方程，进而将目标表达式化为关于多项式，利用方程关系化简求值即可． 【详解】解：∵，代入， 得， 整理得， ∵， ∴两边除以得， 设则， 即， ∵， ∴将代入， 得， 故答案为：11． 6．已知，且，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简与一元一次方程的求解，熟练掌握利用已知等式进行降次代换是解题的关键．先由已知推导出和，再将分式中的高次幂用的低次幂表示，化简分式后得到关于的方程，进而求解的值． 【详解】解：由，得，， ∴， ， ∴化简为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共8题.共72分) 1．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 解：； (2) 解：． 【分析】本题考查了分式方程的解法．掌握分式方程解法的一般步骤是解题关键．解分式方程的一般步骤为：①找最简公分母，②去分母，③去括号，④移项、合并同类项，⑤系数化为1，⑥检验根的情况，即可解出对应方程的根． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是． 2．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、二次根式的代入求值．熟悉分式的混合运算法则，运用平方差公式进行因式分解，以及二次根式的代入求值与分母有理化的计算，是解题的关键． 根据分式的混合运算法则，先计算括号内的算式，经过通分，除法转化为乘法，因式分解，约分等步骤后得到最简分式，代入，并进行分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 4．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解、求代数式的值、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将原式进行因式分解得到，再整体代入，求值即可； （2）根据分式的运算法则化简式子，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴， ∴原式 ； （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 5．若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 【答案】该分式方程的增根为 【分析】本题考查了分式方程增根的定义与求解，掌握增根是使分母为零且满足去分母后整式方程的根这一核心，以及先找可能增根，再代入检验的步骤是解题的关键． 先确定原分式方程分母为零的可能增根，再去分母化为整式方程，代入可能的增根检验是否成立，从而确定真正的增根． 【详解】解：方程两边同乘，得． 该分式方程有增根， ， 或2． 当时，； 当时，不成立， ，增根不为2， 该分式方程的增根为． 6．已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10． 7．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)2090 (3) 【分析】（1）根据互为关于的“关联代数式”的定义判断即可； （2）计算，，根据A，互为关于的“关联代数式”得到，即，将化为，即可求解； （3）由得到，另，，根据A，B互为关于的“关联代数式”得到为定值或为定值，分两种情况讨论：①当为定值时，，，得到，不合题意，舍去．②当为定值时，，，得到，则，根据平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． （2）解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查分式的运算，整式的运算，平方差公式，完全平方公式，整式的运算中无关型，代数式求值，理解关于的“关联代数式”的定义是解题的关键． 8．已知，且（x，y为整数，且，）． (1)求证：M能被3整除； (2)若整数a，b满足，且．求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或6或0或2． 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，因式分解的应用． （1）由整理得到，求得，推出，根据x，y为整数，即可证明结论成立； （2）将代入，整理得到，由（1）可知，得到，根据x，y和a为整数，得到或，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， 由， 整理得，即， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴为整数， ∴M能被3整除； （2）解：由得，， 将代入， 得， 由（1）可知， ∴，整理得， ∵x，y为整数， ∴为整数， ∴为整数，即为整数， ∵a为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为或6或0或2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第5章分式与分式方程单元测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共10分，共30分） 1.函数y=压-2的自变量x的取值范围是() x-3 A.x≠3 B.x>0且x≠3 C.x≥0且x≠3 D.x>2且x≠3 2.下列从左到右的分式变形中，正确的是() bb+c B.bb2 c.ab、1 2a-b2 A.二 ab a D. aa+c aa a-b a 3.计算二L的结果是() x-1x-1 1 A. x-1 B.I C.x-1 D.x+1 x+1 m-(n-m的计算结果为() 4. A.a B.a C.-a D.-a m-n m+n m+n m-n 5.随着科技的发展，新能源汽车逐步替代了燃油汽车，如图，y、2分别表示燃油汽车和 新能源汽车所需费用y(单位：元)与行驶路程、（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每 千米所需的费用比新能源汽车每千米所需的费用的2倍多1元，设新能源汽车每千米所需的 费用为x元，则可列方程为() y/元A 25 10 y 0 s/千米 A.25、10 B. 25_10 C. 2510 D. 2510 x2x-1 x2x+1 2x+1x 2x-1x 6.化简1+1 x-1x一的结果是() A.x-1 B.x+1 C.1-x D.+1 7若关于的方程上品”无解，则m的价为() A.0或1 B.-1或3 C.2或-4 D.-2或3 试卷第1页，共3页 8.已知关于x的分式方程”，-3=，3的解是非负数，则n的取值范围是() x-2 2-x A.n≥-9且n≠-3B.n≥-9 C.n≤-9且n≠-12D.n≤-9 9.已知a为整数，且计算a+!_a-3÷。-6@+9的结果为整数，则所有符合条件的a的值 a-3a+2a2-4 的和为() A.0 B.12 C.10 D.8 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先 化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为0的情况. 10.设ab =6,ca=12,则abg a+b c+a 值为() ab bc+ca A B C.s D. 4 二、填空题（每题3分，共6题.共18分） 1.函数y=1中，自变量x的取值范围为 x-3 2.已知分式-m 当x=5时，分式的值为0；当x=3时，分式无意义，则 x+n m+n= ÷30.2b 5.a,b,c是三个互不相等且非零的实数，若b=3a+c,42=bc,则+c的值 a2 为」 6.已知a-a-1=0,且2a-4a2r+2=4,则x的值为 a+3a'x-a 三、解答题（每题9分，共8题.共72分） 1.解分式方程： ①31 x-1x+39 (2)5r 16 x-2 2-x 2x+4x-1 2.计算：-2x+1X-4 3.先化简，再求值：2--，其中x5+1 xx 试卷第1页，共3页 4.已知0=20b=2。 (1)求-ab2+4a3b3-4a2b4的值； 2)求0-26 4ab-4b2 的值 a 3 5。若关于的分式方程，一2十x工-2有增根，求该分式方程的增根. 1 6.已知m= (n+12-(n-12 (n是正整数)，m叫作的平方差倒数.例如 242-22’ 叫作3的平方差倒数。 12 (1)2的平方差倒数是 (2)m= 2是的平方差倒数，求m的值： 42+n 1 (3)已知m (a-2b2-3b2-2ab+28是某一正整数的平方差倒数(a,b是正整数)，求 a+b的最小值. 7.我们约定：关于x的代数式A,B,若不论x为何值（此时x满足A,B均有意义），有 A+B或A-B为定值，则称代数式A,B互为关于x的“关联代数式”，例如： A=-2x-1,B=2x-1,因为A+B=-2,所以A,B互为关于x的“关联代数式”.根据该约 定，解答下列问题 (1)判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”.若是，则在横线中划V”,若不是，则划 X” ①x+1与-x+2; ②2x2+x-1与2x2-2; @与子 x-1 ②若关于的代数式4-(（}-22x+,B=+-4利+2，，8互为关于的关联 代数式”，求a2-4ab+4b2+2026的值： (3)若关于x的代数式A=mx+1,B=nx-2,A,B互为关于x的“关联代数式”，且满足 A+B=1,求此时A2-B2的值. A+1B+1 已知M=w-2x+y-2,且中+2写6，y为整数，且r-,y2) 试卷第1页，共3页 (I)求证：M能被3整除； 2若整数a,b满足a-b=5,且M=3边-3.求出x+y的值. 试卷第1页，共3页