突破讲练三 圆锥的体积（导图+六大题型讲练+优选题拔尖练 共44题）-苏教版数学六年级下册专项培优讲练

该小学数学讲义以“圆锥的体积”为核心，通过知识框架图系统梳理圆锥的认识、特征、切面积问题及与圆柱的关系，将圆锥的形成、组成、体积关系等要点按“概念理解-关系探究-应用拓展”递进呈现，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“分层递进”的题型设计，如圆柱与圆锥体积关系的典例及变式训练，引导学生通过推理意识理解等底等高体积关系，立体图形切拼题培养空间观念，不规则物体体积算法题强化应用意识。基础题巩固概念，综合题提升能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

突破讲练三 圆锥的体积 （第二单元 圆柱和圆锥） 【原卷版】 知识点一：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点二：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点三：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（    ）kg。 A．24 B．6 C．12 D．8 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。 【变式训练2】（24-25六年级下·河北邢台·期末）小明制作了一个圆锥形容器（如图），并往里面灌满了水，将圆锥形容器里的水倒入（    ）容器中，刚好能装满。 A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26六年级·全国·随堂练习）某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略） 题型二：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆的占地面积是，高是1.8m，每立方米沙重1.6t。用一辆载重量是3000kg的小货车运这堆沙子，多少次可以运完？ 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【变式训练2】（25-26六年级下·全国·课后作业）一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练3】（2025·四川遂宁·小升初真题）一根圆柱形木料按（图甲）的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按（图乙），表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，水桶里面装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），拿出圆锥形钢材后，水面降低了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【变式训练2】（24-25六年级下·河南信阳·期中）把一个底面积是12.56平方分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面积是18.84平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 【变式训练3】（22-23六年级下·湖北恩施·期中）一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 题型四：立体图形的切拼(圆锥) 【典例精讲】（2025·江西抚州·小升初真题）把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 【变式训练1】（24-25六年级下·河南信阳·期中）一个圆锥底面直径是6厘米，高是9厘米，将圆锥沿高切开后，表面积会增加( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练2】把一块长、宽、高分别为6分米、5分米和3分米的长方体木料削成一个底面直径是4分米的最大的圆锥，削去部分的体积是多少？ 【变式训练3】个圆锥的底面直径是8cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是多少？ 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 【变式训练1】（2025·福建漳州·小升初真题）陀螺在我国有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木质陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少？（取3.14） 【变式训练2】（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）园博园A区推出的溪上露营地，作为中原鲜有的溪畔自然露营地，将自然园趣、特色文化与自在露营相结合，吸引了不少游客前来露营游玩。下图是其中一款露营帐篷的样式。 （1）制作这款帐篷的侧面（顶部除外）至少需要多少材料？ （2）这款帐篷的空间大约是多少立方米？ 【变式训练3】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·河北保定·期中）一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】（24-25六年级下·河南商丘·期中）一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练2】如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【变式训练3】（22-23六年级下·河南南阳·期中）在一个底面半径是7厘米，高是18厘米的圆柱形容器中，装有16厘米的水，把一个圆锥形铁块放入水中并完全浸没，此时溢出144.44毫升的水，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多31.68厘米，这个圆锥形铁块的高是( )厘米。 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）24个相同的铁圆锥，可以熔铸成（    ）个与它等底等高的铁圆柱。（不考虑损耗） A．12 B．8 C．72 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，则圆锥的体积是（    ）。 A．1177.5 B．392.5 C．8 D．14.1 3．（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图显示一个水箱的形状和尺寸。一开始水箱是空的，然后以每秒一公升的速度注水。下列（    ）图能显示出水箱注水时，水面高度随时间变化的情形。 A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·贵州黔西·期末）在一个容积是15L，内高24cm的长方体花瓶里倒入12.5L水，又将一个底面直径为22cm的圆锥形零件浸没水中后，测得水位高度23cm，圆锥形零件的高约是（    ）cm。 A．2 B．4.93 C．9.86 D．14.80 5．（2026六年级下·全国·专题练习）一个棱长是4dm的正方体容器装满水，现将其中的水倒入一个底面积是的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是( )dm。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形。这个圆柱的体积是( )，与它等底等高的圆锥的体积是( )。 7．（2025·河北保定·小升初模拟）把一个底面周长是12.56分米、高是3分米的圆柱形钢材熔铸成一个圆锥体。已知圆锥体的底面积是28.26平方分米，那么它的高是( )分米。 8．（2025·浙江台州·小升初模拟）把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 9．（24-25六年级下·河南信阳·期中）一个圆柱与一个圆锥底面直径比是1∶3，高相等，圆柱与圆锥体积比是1∶3。( )（判断对错） 10．（24-25六年级下·河北唐山·期中）等底等高的圆柱和圆锥的体积和是36立方厘米，其中圆锥的体积是12立方厘米。( )（判断对错） 11．（24-25六年级下·贵州黔东南·期中）圆柱的体积一定比与它等底等高的圆锥体积大。( )（判断对错） 12．（2025·浙江宁波·小升初真题）从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 13．（2025·浙江宁波·小升初真题）从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积。（单位：分米） 14．（2026六年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 15．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 16．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆锥形容器中装有3L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 17．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 18．（25-26六年级·全国·假期作业）一个圆锥形铅锤，底面半径是3厘米，高10厘米。每立方厘米铅锤重7.8克，这个铅锤重多少克？ 19．（24-25六年级下·云南德宏·期末）底面半径为2米，高为3米的不锈钢圆柱形无盖水塔（如图）。（钢材的厚度忽略不计） （1）制作这个水塔需要多少平方米的钢材？ （2）水塔注满水后容积是多少升？ （3）水塔注满水后，将其的水抽到底面周长为12.56米的圆锥形容器内，刚好装满，这个圆锥形容器的高是多少米？ 20．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练三 圆锥的体积 （第二单元 圆柱和圆锥） 【解析版】 知识点一：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点二：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点三：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（    ）kg。 A．24 B．6 C．12 D．8 【答案】B 【思路引导】圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，说明圆柱与圆锥等底等高，此时圆柱体积是圆锥体积3倍，设圆锥体积1份，则圆柱体积3份，圆柱削成最大圆锥，削去2份，对应质量是4千克，据此算出1份质量，再算出圆柱3份的质量。 【完整解答】 （千克） 故答案为：B 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。 【答案】2.7 【思路引导】根据题意，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的，单位“1”未知，用削去部分的体积除以，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【完整解答】由分析可得： （cm3） 因此，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是1.8cm3。原圆柱形钢坯的体积是2.7cm3。 【变式训练2】（24-25六年级下·河北邢台·期末）小明制作了一个圆锥形容器（如图），并往里面灌满了水，将圆锥形容器里的水倒入（    ）容器中，刚好能装满。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据V圆柱＝Sh，V圆锥＝Sh可知，圆柱的高h圆柱＝V÷S，圆锥的高h圆锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等底面积等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此用圆锥的高除以3，求出圆柱的高。 【完整解答】 圆锥的底面直径是8，高是15，那么与它等底面积等体积的圆柱的底面直径应是8，高应是15÷3＝5。 所以，将圆锥形容器里的水倒入中，刚好能装满。 故答案为：B 【变式训练3】（25-26六年级·全国·随堂练习）某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略） 【答案】不合理；理由见详解 【思路引导】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这里两种冰沙等底等高，那么圆柱冰沙的体积是圆锥沙冰体积的3倍。已知圆柱冰沙价格为15元，因为圆柱冰沙体积是圆锥冰沙体积的3倍，所以将圆柱冰沙价格除以3，可得到等体积时，圆锥冰沙的合理价格。再比较求出的合理定价和实际定价，从而判断是否合理。 【完整解答】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 （元） 答：这样定价不合理，建议圆锥形沙冰定价为5元。 题型二：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆的占地面积是，高是1.8m，每立方米沙重1.6t。用一辆载重量是3000kg的小货车运这堆沙子，多少次可以运完？ 【答案】4次 【思路引导】圆锥形沙堆的体积=×圆锥形沙堆的占地面积×高，据此得出圆锥形沙堆的体积；圆锥形沙堆的重量=每立方米沙子的重量×圆锥形沙堆的体积，据此得出圆锥形沙堆的重量；把3000kg的单位化为吨，用圆锥形沙堆的重量除以小货车的载重量，结果用进一法取值即可解答。 【完整解答】 （） （t） （次） 答：4次可以运完。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【答案】75 【思路引导】用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，根据圆锥的体积公式，代入数据即可求出圆锥的容积，也就是水的体积；水的体积不变，把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，根据，求出圆柱的底面半径；根据圆的面积公式，代入数据求出圆柱的底面积；最后用水的体积除以圆柱的底面积，求出水的高度，据此解答。 【完整解答】水的体积：（cm3） 圆柱的底面半径：（cm） 圆柱的底面积：（cm2） 水的高度：（cm） 因此，用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为75cm。 【变式训练2】（25-26六年级下·全国·课后作业）一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 30平方厘米 【思路引导】先依据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再根据水的体积不变，利用圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数值即可求出圆锥形容器的底面积。 【完整解答】 （立方厘米） （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。 【变式训练3】（2025·四川遂宁·小升初真题）一根圆柱形木料按（图甲）的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按（图乙），表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】12.56立方厘米 【思路引导】按乙的切法增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积可求出圆柱底面半径；按甲的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面直径的长方形，据此可求出圆柱的高，切成的最大圆锥与圆柱底面积相等、高相等；根据圆锥体积的计算公式V＝Sh计算出圆锥的体积即可。 【完整解答】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（厘米） 圆柱体的高：96÷8÷4＝3（厘米） ×12.56×3 ＝1×12.56 ＝12.56（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是12.56立方厘米。 【考点剖析】关键是先根据乙的切法求出圆柱的底面积，进而求出底面半径，再根据甲的切法求出圆柱的高。最后计算出圆锥的体积。 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 【答案】6 【思路引导】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出零件的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形零件的高。 【完整解答】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，水桶里面装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），拿出圆锥形钢材后，水面降低了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【思路引导】根据题意得出圆锥形钢材的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于高为1厘米，底面半径为30厘米的圆柱的体积，圆柱体积＝；已知圆锥形钢材底面半径为10厘米，圆锥的体积V＝，则高h＝，可求出圆锥的高，据此解答即可。 【完整解答】3.14×302×1×3÷（3.14×102） ＝3.14×900×1×3÷3.14÷100 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 【变式训练2】（24-25六年级下·河南信阳·期中）把一个底面积是12.56平方分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面积是18.84平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 【答案】12分米 【思路引导】把圆柱形铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状变了，但体积不变。首先根据圆柱的体积公式：V＝Sh，求出圆柱形铁块的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答即可。 【完整解答】12.56×6×3÷18.84 ＝75.36×3÷18.84 ＝226.08÷18.84 ＝12（分米） 答：这个圆锥形铁块的高是12分米。 【变式训练3】（22-23六年级下·湖北恩施·期中）一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 【答案】0.5米 【思路引导】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出沙堆的体积； 然后把这些沙子倒入一个长方体沙坑里，沙子的体积不变；此时沙坑里还空着20%，把长方体沙坑的容积看作单位“1”，沙子的体积占长方体沙坑容积的（1－20%），单位“1”未知，用沙子的体积除以（1－20%），求出长方体沙坑的容积； 已知长方体沙坑长和宽，根据长方体体积（容积）公式V＝abh可知，长方体的高h＝V÷a÷b，代入数据计算求出沙坑的深度。 【完整解答】圆锥形沙堆的体积： ×9×2＝6（立方米） 长方体沙坑的容积： 6÷（1－20%） ＝6÷0.8 ＝7.5（立方米） 沙坑的深度： 7.5÷5÷3 ＝1.5÷3 ＝0.5（米） 答：沙坑有0.5米深。 【考点剖析】本题考查百分数除法的应用，圆锥的体积、长方体的体积（容积）公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 题型四：立体图形的切拼(圆锥) 【典例精讲】（2025·江西抚州·小升初真题）把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【思路引导】根据题意，把一个正方体木块加工成最大的圆锥，那么圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。已知圆锥的底面直径是4厘米，说明正方体的棱长是4厘米，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解答。 【完整解答】正方体的棱长等于圆锥的底面直径4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，这个正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：D 【变式训练1】（24-25六年级下·河南信阳·期中）一个圆锥底面直径是6厘米，高是9厘米，将圆锥沿高切开后，表面积会增加( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 54 84.78 【思路引导】将圆锥沿高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥底面直径为底，圆锥高为高的三角形的面积。根据公式：三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出表面积会增加多少平方厘米。根据圆锥的公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积，据此解答。 【完整解答】6×9÷2×2＝54（平方厘米） ×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝84.78（立方厘米） 即一个圆锥底面直径是6厘米，高是9厘米，将圆锥沿高切开后，表面积会增加54平方厘米，体积是84.78立方厘米。 【变式训练2】把一块长、宽、高分别为6分米、5分米和3分米的长方体木料削成一个底面直径是4分米的最大的圆锥，削去部分的体积是多少？ 【答案】77.44立方分米 【思路引导】根据题意，长方体的上下面、前后面、左右面分别是“6×5”、“6×3”、“5×3”，要把这块长方体木料削成一个底面直径4分米的最大的圆锥，因为4＞3，所以是以长方体的底面作为圆锥的底面，长方体的高作为圆锥的高；根据长方体的体积公式V＝abh，圆锥的体积公式V ＝πr2h，代入数据计算，再用长方体的体积减去圆锥的体积就是削去部分的体积。 【完整解答】长方体的体积： 6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方分米） 圆锥的体积： ×3.14×（4÷2）2×3 ＝×3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方分米） 削去部分的体积： 90－12.56＝77.44（立方分米） 答：削去部分的体积是77.44立方分米。 【考点剖析】本题考查长方体、圆锥的体积计算公式的灵活运用，找出最大的圆锥的底面和高与长方体的关系是解题的关键。 【变式训练3】个圆锥的底面直径是8cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是多少？ 【答案】100.48cm3 【思路引导】切面是三角形，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，增加了两个三角形的面积，三角形的底是圆锥底面直径，三角形高是圆锥的高。先求出圆锥的高，再根据圆锥体积公式求出体积即可。 【完整解答】48÷2÷8÷＝6（cm）　 3.14×（8÷2）2×6×＝3.14×16×6×＝100.48（cm3） 答：这个圆锥的体积是100.48cm3。 【考点剖析】本题考查了立体图形的切拼及圆锥的体积，要理解一刀切开增加俩面。 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 【答案】120.576立方米 【思路引导】根据题图可知，就是求圆柱和圆锥的体积，根据、求出圆柱和圆锥的体积，相加即可； 【完整解答】 （立方米） 答：这个蒙古包内部的空间是120.576立方米。 【变式训练1】（2025·福建漳州·小升初真题）陀螺在我国有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木质陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少？（取3.14） 【答案】113.04立方厘米 【思路引导】由图可知，这个陀螺由圆柱和圆锥两部分组成，且它们的底面直径都是6厘米，高都是3厘米，利用“”和“”分别求出圆柱和圆锥的体积，最后求出它们的体积之和就是这个陀螺的体积，据此解答。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝36×3.14 ＝113.04（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是113.04立方厘米。 【变式训练2】（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）园博园A区推出的溪上露营地，作为中原鲜有的溪畔自然露营地，将自然园趣、特色文化与自在露营相结合，吸引了不少游客前来露营游玩。下图是其中一款露营帐篷的样式。 （1）制作这款帐篷的侧面（顶部除外）至少需要多少材料？ （2）这款帐篷的空间大约是多少立方米？ 【答案】（1）28.26平方米 （2）58.875立方米 【思路引导】（1）根据圆柱的侧面积＝底面周长×高解决，圆的周长＝πd。 （2）根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h解决。 【完整解答】（1）3.14×5×1.8＝28.26（平方米） 答：制作这款帐篷的侧面（顶部除外）至少需要28.26平方米的材料。 （2）r＝5÷2＝2.5（米） 3.14×2.52×1.8＋×3.14×2.52×3.6 ＝3.14×6.25×1.8＋×3.14×6.25×3.6 ＝35.325＋23.55 ＝58.875（立方米） 答：这款帐篷的空间大约是58.875立方米。 【变式训练3】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 【答案】（1）平方厘米 （2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。 【思路引导】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积； （2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。 【完整解答】（1） 答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。 （2）9÷2＝4.5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 因为 所以 纸杯体积： 因为 答：这个杯子能装下400毫升的饮料。 【考点剖析】求解扇形的面积，通过扇形对应的圆心角构建扇形与圆形的关系，扇形的面积＝。 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·河北保定·期中）一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】188.4立方厘米 【思路引导】当把钢材竖着拉出水面6厘米时，拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，拉出钢材的部分是一个圆柱，根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），可得拉出钢材部分的体积，因为拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，用拉出钢材部分的体积除以水面下降的高度，即可求出容器的底面积，已知当钢材全部浸入水中时，水面上升5厘米，钢材的总体积等于水面上升5厘米水的体积，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），即可求出钢材的体积。 【完整解答】拉出钢材部分的体积： （立方厘米） 容器的底面积：（平方厘米） 钢材的体积：（立方厘米） 答：这段钢材的体积是188.4立方厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·河南商丘·期中）一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】37.5厘米 【思路引导】水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积。根据圆柱体积＝×半径的平方×高，计算出下降的水的体积，也就是圆锥形铁块的体积，用下降的水的体积乘3，再除以圆锥形铁块的底面积即可解答。 【完整解答】3.14××2×3÷（3.14×） ＝3.14×100×6÷3.14÷16 ＝600÷16 ＝37.5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是37.5厘米。 【变式训练2】如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【答案】（1）753.6毫升 （2）8杯 【思路引导】（1）瓶子正放或倒放时的容积与饮料的体积不变，则瓶子正放或倒放时瓶子里空气的体积相等，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。圆柱的体积V＝πr2h，据此求出左图中水的体积，右图中空气的体积，再把二者加起来即可求出瓶子的容积。 （2）已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，则这个圆锥底面积半径是这个饮料瓶的底面半径的，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥形杯子的容积，再用这些饮料的容积除以圆锥形杯子的容积，如果有余数，根据“去尾法”即可求出可以倒满几杯；如果没有余数，商是几就是可以倒满几杯。 【完整解答】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 3.14×42×9 ＝3.14×16×9 ＝50.24×9 ＝452.16（立方厘米） 301.44＋452.16＝753.6（立方厘米） 753.6立方厘米＝753.6毫升 答：这个饮料瓶容积是753.6毫升。 （2）4×＝2（厘米） 3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝37.68（立方厘米） 301.44÷37.68＝8（杯） 答：这些饮料可以倒满8杯。 【考点剖析】求不规则物体的体积或容积，可以利用转化思想将其转化成规则的物体进行计算。 【变式训练3】（22-23六年级下·河南南阳·期中）在一个底面半径是7厘米，高是18厘米的圆柱形容器中，装有16厘米的水，把一个圆锥形铁块放入水中并完全浸没，此时溢出144.44毫升的水，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多31.68厘米，这个圆锥形铁块的高是( )厘米。 【答案】12 【思路引导】根据题意，圆锥形铁块的体积等于水面上升的体积加上溢出水的体积，水面上升的高度是（18－16）厘米，水面上升的体积可利用圆柱的体积公式：V＝求出，继而求出圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多31.68厘米，即，求出圆锥形铁块的半径，再利用圆锥的体积公式：V＝，代入数据即可求出这个圆锥形铁块的高。 【完整解答】144.44毫升＝144.44立方厘米 3.14×72×（18－16）＋144.44 ＝3.14×49×2＋144.44 ＝307.72＋144.44 ＝452.16（立方厘米） 解：设圆锥形铁块的半径为r， ＝ ＝ ＝12（厘米） 即这个圆锥形铁块的高是12厘米。 【考点剖析】此题的解题关键是理解圆锥形铁块的体积＝水面上升的体积＋溢出水的体积，灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）24个相同的铁圆锥，可以熔铸成（    ）个与它等底等高的铁圆柱。（不考虑损耗） A．12 B．8 C．72 【答案】B 【思路引导】圆柱的体积是等底等高圆锥的体积的3倍，即3个铁圆锥才能熔铸成1个铁圆柱，个，所以24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个铁圆柱。 【完整解答】24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个与它等底等高的铁圆柱。 故答案为：B 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，则圆锥的体积是（    ）。 A．1177.5 B．392.5 C．8 D．14.1 【答案】B 【思路引导】根据题意，已知一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，用15cm乘即可求出圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式，代入数据计算，即可解答。 【完整解答】底面半径：（cm） 圆锥的体积：（cm3） 故答案为：B 3．（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图显示一个水箱的形状和尺寸。一开始水箱是空的，然后以每秒一公升的速度注水。下列（    ）图能显示出水箱注水时，水面高度随时间变化的情形。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察水箱的形状可知，水箱下部是圆锥形，上部是圆柱形。在注水初期，水先注入圆锥部分，由于圆锥的尖端朝下，圆锥的横截面积从下往上逐渐增大，所以相同时间内注入相同体积的水，水面高度开始上升较快，然后越来越慢。当水注满圆锥开始注入圆柱部分时，由于圆柱的横截面积不变，所以相同时间内注入相同体积的水，水面高度匀速上升。 【完整解答】A．水面高度先匀速上升，不符合圆锥部分注水时水面高度变化情况；然后水面高度不变，不符合圆柱部分注水时水面高度变化情况； B．水面高度开始上升速度较快，之后上升速度变慢，符合圆锥部分注水时水面高度变化情况；然后匀速上升，符合圆柱部分注水时水面高度变化情况； C．水面高度开始时上升较慢，不符合圆锥部分注水时的水面高度变化情况； D．水面高度先上升，符合圆锥部分注水时水面高度变化情况；然后水面高度不变，不符合圆柱部分注水时水面高度变化情况。 故答案为：B 4．（24-25六年级下·贵州黔西·期末）在一个容积是15L，内高24cm的长方体花瓶里倒入12.5L水，又将一个底面直径为22cm的圆锥形零件浸没水中后，测得水位高度23cm，圆锥形零件的高约是（    ）cm。 A．2 B．4.93 C．9.86 D．14.80 【答案】D 【思路引导】已知长方体的容积和高，则可通过长方体体积公式＝，先求出长方体的底面积，再根据浸没圆锥时，水位高23cm，则可求出此时容器内水和圆锥的总体积，而水的体积已知，作差就可求出圆锥的体积，根据＝，即可求出圆锥的高。计算时，注意将单位统一。 【完整解答】15L＝15dm3＝15000cm3 12.5L＝12.5dm3＝12500cm3 15000÷24×23－12500 ＝625×23－12500 ＝14375－12500 ＝1875（cm3） 22÷2＝11（cm） 1875×3÷（3.14×112） ＝1875×3÷（3.14×121） ＝5625÷379.94 ≈14.80（cm） 因此，圆锥形零件的高约是14.80cm。 故答案为：D 【考点剖析】解题的关键是先根据长方体的体积公式求出放入圆锥后水上升的体积，该体积即为圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式求出圆锥的高。 5．（2026六年级下·全国·专题练习）一个棱长是4dm的正方体容器装满水，现将其中的水倒入一个底面积是的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是( )dm。 【答案】16 【思路引导】已知正方体容器的棱长是4dm，根据正方体的体积，代入数据即可求出正方体的容积，也就是水的体积；将水倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器装满，圆锥的体积等于水的体积，由圆锥的体积公式可知：，即可求出圆锥的高，据此解答。 【完整解答】正方体的体积：（dm3） 圆锥的体积：64dm3 圆锥的高：（dm） 因此，这个圆锥形容器的高是16dm。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形。这个圆柱的体积是( )，与它等底等高的圆锥的体积是( )。 【答案】 169.56 56.52 【思路引导】一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形，说明圆柱的底面直径和高相等，都是6厘米，圆柱的体积（π取3.14，d表示直径，h表示高），先据此求出圆柱的体积，再除以3，即可求出等底等高的圆锥的体积。 【完整解答】 （立方厘米） （立方厘米） 所以这个圆柱的体积是169.56，与它等底等高的圆锥的体积是56.52。 7．（2025·河北保定·小升初模拟）把一个底面周长是12.56分米、高是3分米的圆柱形钢材熔铸成一个圆锥体。已知圆锥体的底面积是28.26平方分米，那么它的高是( )分米。 【答案】4 【思路引导】圆柱形钢材熔铸成圆锥体的过程中体积始终不变，利用圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），结合已知的圆柱底面周长12.56分米求出底面半径；再代入圆柱体积公式V柱＝πr2h（π取3.14）求出圆柱的体积，这个体积就是圆锥的体积；最后根据圆锥体积公式V锥＝Sh变形得到求高公式h＝3V锥÷S，代入圆锥底面积28.26平方分米和已求出的体积，求出圆锥的高。 【完整解答】半径：12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（分米） 圆柱体积：3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方分米） 圆锥高：3×37.68÷28.26 ＝113.04÷28.26 ＝4（分米） 所以圆锥的高是4分米。 8．（2025·浙江台州·小升初模拟）把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【答案】4 【思路引导】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。 【完整解答】24π÷2＝12π（立方分米） 12π×3÷π÷32 ＝12π×3÷π÷9 ＝36π÷π÷9 ＝4（分米） 所以，圆柱的高是4分米。 【考点剖析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍。 9．（24-25六年级下·河南信阳·期中）一个圆柱与一个圆锥底面直径比是1∶3，高相等，圆柱与圆锥体积比是1∶3。( )（判断对错） 【答案】√ 【完整解答】圆柱体积公式：V＝πr2h（r为圆柱底面半径，h为高）。圆锥体积公式：V＝πr2h（r为圆锥底面半径，h为高）。已知底面直径比是1∶3，则半径比与直径比相同，即1∶3；高相等。假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为3，代入公式计算，然后相比即可。 【思路引导】假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为3。 圆柱体积：π×12×h＝π×12×h＝πh 圆锥体积：π×32×h＝π×9×h＝3πh 圆柱体积∶圆锥体积＝πh∶3πh＝（πh÷πh）∶（3πh÷πh）＝1∶3 所以圆柱与圆锥体积比是1∶3，原说法正确。 故答案为：√ 10．（24-25六年级下·河北唐山·期中）等底等高的圆柱和圆锥的体积和是36立方厘米，其中圆锥的体积是12立方厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，一共是（1＋3）份；用等底等高的圆柱和圆锥的体积和除以总份数，求出一份数，即是圆锥的体积。 【完整解答】36÷（1＋3） ＝36÷4 ＝9（立方厘米） 圆锥的体积是9立方厘米。 原题说法错误。 故答案为：× 11．（24-25六年级下·贵州黔东南·期中）圆柱的体积一定比与它等底等高的圆锥体积大。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据圆柱和圆锥的体积公式，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h，可知等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此解答。 【完整解答】当圆柱与圆锥等底等高时，V圆柱＝3V圆锥，因此圆柱体积一定比与它等底等高的圆锥体积大。 故答案为：√ 12．（2025·浙江宁波·小升初真题）从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 【答案】159.48立方分米 【思路引导】正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为正方体的棱长），已知正方体的棱长为6分米，所以正方体的体积为：6×6×6＝216（立方分米）。要在正方体中挖去一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，即圆锥的底面直径为6分米，高为6分米。圆锥的底面半径为6÷2＝3分米。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），所以圆锥的体积为：×3.14×32×6＝56.52（立方分米）。剩余部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，用216减56.52计算即可。 【完整解答】6×6×6＝216（立方分米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 剩余部分的体积是159.48立方分米。 13．（2025·浙江宁波·小升初真题）从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积。（单位：分米） 【答案】159.48立方分米 【思路引导】根据题意，从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，那么圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长6分米。 观察图形可知，剩余部分的体积＝正方体的体积－圆锥的体积，根据V正方体＝棱长×棱长×棱长，V圆锥＝，代入数据计算求解。 【完整解答】V正方体＝棱长×棱长×棱长 ＝6×6×6 ＝216（立方分米） V圆锥＝ ＝×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方分米） V剩余＝V正方体－V圆锥 ＝216－56.52 ＝159.48（立方分米） 所以，剩余部分的体积是159.48立方分米。 14．（2026六年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 【答案】37.68t 【思路引导】圆锥的底面是圆形，首先根据圆的底面周长÷3.14÷2求出底面半径，再根据圆锥的体积公式：，求出沙堆的体积，然后用沙堆的体积乘每立方米沙的质量即可。 【完整解答】（m） （） （t） 答：这堆沙有37.68t。 15．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 【答案】78.5立方分米 【思路引导】先根据圆锥体积＝底面积×高×，求出水的体积，再除以其占圆柱形容器容积的比例，得到圆柱形容器的容积，据此解答。 【完整解答】圆锥体积： （立方分米） （立方分米） 答：这个圆柱形容器的容积是78.5立方分米。 16．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆锥形容器中装有3L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 【答案】21升 【思路引导】首先根据水面高度正好是圆锥高度的一半，求出，其体积正好是圆锥体积的，所以还能再装水升。据此解答。 【完整解答】 （升） 答：这个容器还能装21升水。 17．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 【答案】 50.24米 【思路引导】根据圆锥的体积＝底面积高，长方体的体积＝长宽高，1m＝100cm，据此进行分析。 【完整解答】1.5厘米＝0.015米 （米） 答：能铺50.24米。 18．（25-26六年级·全国·假期作业）一个圆锥形铅锤，底面半径是3厘米，高10厘米。每立方厘米铅锤重7.8克，这个铅锤重多少克？ 【答案】734.76克 【思路引导】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铅锤体积，铅锤体积乘每立方厘米铅锤的质量即可解答。 【完整解答】3.14×32×10÷3×7.8 ＝3.14×9×10÷3×7.8 ＝28.26×10÷3×7.8 ＝282.6÷3×7.8 ＝94.2×7.8 ＝734.76（克） 答：这个铅锤重734.76克。 19．（24-25六年级下·云南德宏·期末）底面半径为2米，高为3米的不锈钢圆柱形无盖水塔（如图）。（钢材的厚度忽略不计） （1）制作这个水塔需要多少平方米的钢材？ （2）水塔注满水后容积是多少升？ （3）水塔注满水后，将其的水抽到底面周长为12.56米的圆锥形容器内，刚好装满，这个圆锥形容器的高是多少米？ 【答案】（1）50.24平方米 （2）37680升 （3）1.5米 【思路引导】（1）制作无盖圆柱形水塔所需钢材面积为圆柱的侧面积加上一个底面积。公式为：S＝πr2＋2πrh（r为底面半径，h为高，π取3.14），已知半径为2米，高为3米，把数据代入计算即可解答。 （2）水塔注满水后的容积，就是圆柱的容积，圆柱容积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），半径为2米，高为3米，把数据代入公式计算即可解答。 （3）水塔的的水抽到底面周长为12.56米的圆锥形容器内，即圆柱容积×＝圆锥容积，圆锥底面周长是12.56米，根据底面周长公式：C＝2πr（π取3.14，r为底面半径），则r＝C÷2÷π，把数据代入计算即可得出圆锥底面半径。根据圆锥体积公式：V＝πr2h，则h＝V÷÷π÷r2，已知体积为：圆柱容积（由（2）已得出）×，把体积和半径代入计算即可解答。 【完整解答】（1）3.14×22＋2×3.14×2×3 ＝3.14×4＋2×3.14×2×3 ＝12.56＋6.28×2×3 ＝12.56＋12.56×3 ＝12.56＋37.68 ＝50.24（平方米） 答：制作这个水塔需要50.24平方米的钢材。 （2）3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方米） 1立方米＝1000升 37.68×1000＝37680（升） 答：水塔注满水后容积是37680升。 （3）37.68×＝6.28（立方米） 12.56÷2÷3.14＝2（米） 6.28÷÷3.14÷22 ＝6.28×3÷3.14÷4 ＝18.84÷3.14÷4 ＝6÷4 ＝1.5（米） 答：这个圆锥形容器的高是1.5米。 【考点剖析】本题主要考查对圆柱表面积公式，圆柱体积公式和圆锥体积公式的运用，通过公式变形计算解答。 20．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 【答案】（1）8厘米 （2）13厘米 （3）3.2厘米 【思路引导】（1）已知装满水的圆锥形容器的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 再将这些水全部倒入一个长方体水槽中，则水的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此求出这个长方体水槽中水的深度。 （2）根据题意，放入圆柱形铁块A后，铁块仍有露出水面的部分；那么长方体水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去圆柱形铁块的底面积，根据长方体的底面积S＝ab，圆柱的底面积S＝πr2，代入数据计算，求出此时水槽内水的底面积；水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度，也就是铁块浸入水中的长度； 把圆柱形铁块的全长看作单位“1”，露出水面的部分占全长的，则铁块浸入水中的部分占全长的（1－），单位“1”未知，用铁块浸入水中的长度除以（1－），求出圆柱形铁块的全长。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分；仿照（2）的解法，此时水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去2个圆柱形铁块的底面积，水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度；再与圆柱形铁块的高度进行比较，得出两个铁块没有露出水面的部分，即是完全浸入。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出两个铁块的体积之和，再加上原来水的体积，即是两个铁块完全浸入水中的总体积；用总体积除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的高度，再减去（2）的水深，求出水面上升的高度。 【完整解答】（1）水的体积： ×3×42×30 ＝×3×16×30 ＝480（立方厘米） 水的深度： 480÷（10×6） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：这个长方体水槽中水的深度是8厘米。 （2）放入圆柱形铁块A后水的深度： 480÷（10×6－3×22） ＝480÷（10×6－3×4） ＝480÷（60－12） ＝480÷48 ＝10（厘米） 铁块A的高度： 10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝13（厘米） 答：圆柱形铁块A的高度是13厘米。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，此时水的深度为： 480÷（10×6－3×22×2） ＝480÷（10×6－3×4×2） ＝480÷（60－24） ＝480÷36 ＝（厘米） ＞13，两个铁块没有露出水面的部分。 两个铁块的体积： 3×22×13×2 ＝3×4×13×2 ＝312（立方厘米） 放入两个铁块后水槽内水的深度： （480＋312）÷（10×6） ＝792÷60 ＝13.2（厘米） 水面上升了： 13.2－10＝3.2（厘米） 答：此时两个铁块没有露出水面的部分。长方体水槽中的水面上升了3.2厘米。 【考点剖析】（1）本题考查圆锥、长方体的体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 （2）因为往长方体水槽内放入1个圆柱形铁块后，铁块有露出水面的部分；此时水的底面积不再是长方体水槽的底面积，而是水槽的底面积减去圆柱的底面积的差，因为水的体积不变，根据公式h＝V÷S即可求出此时水槽内水的深度，再根据分数除法的意义求出铁块的高度。 （3）先假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，仿照上一题的算法，求出此时水的深度，与圆柱形铁块的高度进行比较，确定铁块没有露出水面，即完全浸入。根据完全浸入时水的深度的求法，用原来水的体积加上2个铁块的体积，再除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的深度。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $