突破讲练二 圆柱的体积（导图+五大题型讲练+优选题拔尖练 共40题）-苏教版数学六年级下册专项培优讲练

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理圆柱体积单元内容，涵盖旋转构成法、体积公式推导、特殊体积计算等核心知识点，结合几何直观呈现圆柱与长方体转化关系，突出体积与容积、比例倍数等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如排水法求不规则物体体积、等积变形等题型，通过典例精讲与变式训练培养运算能力和推理意识，基础题巩固公式应用，综合题提升空间观念，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

突破讲练二 圆柱的体积 （第二单元 圆柱和圆锥） 【原卷版】 知识点一：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点二：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点三：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点四：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点五：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 题型一：圆柱的体积计算与应用 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下面圆柱的体积。（单位：cm） 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）如果两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，那么小圆柱的体积是大圆柱体积的（    ）。 A． B． C． 【变式训练2】（25-26六年级下·全国·课后作业）用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【变式训练3】（24-25六年级上·河南周口·期末）一根圆柱形钢材长2米，横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这根钢材重多少千克？ 题型二：圆柱的容积 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）如下图，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初模拟）一个无盖圆柱形铁桶，底面直径为4dm，高为3dm。这个铁桶的容积是( )L，做这样一个铁桶至少需要( )dm2铁皮。（铁皮厚度和材料损失忽略不计） 【变式训练2】（2025·福建宁德·小升初真题）母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 (1)李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ (2)妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 【变式训练3】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 题型三：组合体的体积（圆柱） 【典例精讲】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【变式训练1】（2025·河北衡水·小升初真题）计算下面图形的体积。 【变式训练2】（24-25六年级下·河南信阳·期末）如图，一个箱子上半部分的形状是圆柱的一半，下半部分是一个长方体。算出它的表面积和体积。 【变式训练3】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）求如图所示图形的体积。（单位：cm） 题型四：不规则物体体积的算法 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）下图是测量1颗铁球体积的实验过程。①将200毫升的水倒入一个容量为500毫升的杯子里；②将5颗相同的铁球放入水中，水没有满；③再放入1颗相同的铁球，结果水满溢出。根据以上过程，推测1颗这样的铁球体积大约（    ）。 A．大于40立方厘米，小于45立方厘米 B．大于45立方厘米，小于50立方厘米 C．大于50立方厘米，小于60立方厘米 D．大于60立方厘米，小于70立方厘米 【变式训练1】（24-25六年级上·广东·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练2】（24-25六年级下·山东德州·期末）我们曾经用图1的方法解决了求三角形面积的问题，请根据此经验，求出图2中这个几何体的体积。 【变式训练3】（24-25六年级下·湖南长沙·期末）妈妈买了一个40克重的金手镯，想知道里面是不是“空心”的。山山想到了“阿基米德称皇冠”的办法。他把手镯放入了一个底面半径为4厘米的圆柱形量筒中，水面上升了0.1厘米（通过和AI的对话，他了解到40克黄金的体积应该是2.07立方厘米），请判断妈妈买的金手镯是否存在“空心”的现象？ 题型五：体积的等积变形 【典例精讲】（24-25六年级下·山东枣庄·期中）如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 【变式训练1】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）有一个盛有水的圆柱形水桶，它的底面直径为60厘米，现在把一个体积为1766.25立方厘米的长方体铁块放进这个圆柱形水桶中（水未溢出），长方体铁块恰好有的体积浸在水中，水桶中的水面升高了多少厘米？ 【变式训练2】（24-25六年级下·河南商丘·期中）把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱形铁块，它的高是多少厘米？ 【变式训练3】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，底面周长是31.4米，高是3米。把这些沙子平铺在宽10米的路上，平均厚度为2厘米，这些沙子能铺多长的路？ 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆柱形水桶的容积是，里面装了桶的水。已知水桶的内底面积是，水面的高是（    ）dm。 A．20 B．30 C．40 D．50 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 4．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）。 A． B． C． D． 5．（21-22六年级下·河南南阳·期末）如下图，一个饮料瓶的饮料高度为5cm，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是7cm，已知这个饮料瓶的容积是504mL，则瓶内的饮料为（    ）mL。 A．294 B．280 C．210 D．200 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是( )。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，它的侧面积( )，体积( )。 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是( )。这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。 9．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 10．（20-21六年级下·天津南开·期末）把一个底面周长是60厘米的圆柱体，拼成一个近似的长方体（如图所示），表面积增加了40平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。    11．（24-25六年级下·广东江门·期末）圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的6倍。( )（判断对错） 12．（24-25六年级下·湖南邵阳·期末）一个棱长是的正方体木块，把它削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·河北廊坊·期中）一个圆柱的底面半径扩大为原来的3倍，高扩大为原来的2倍，则体积扩大为原来的18倍。( )（判断对错） 14．（24-25六年级下·辽宁鞍山·期中）正方体和圆柱体积相等，如果它们的底面周长相等，那么高一定相等。( )（判断对错） 15．（2026六年级下·全国·专题练习）如下图，圆柱形容器甲的底面半径是5cm，容器内部是空的；长方体容器乙中的水深6.28cm。现将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 16．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 17．（25-26六年级·全国·随堂练习）一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？请说明理由。 18．（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，一只乌鸦口渴了，它找了很久，找到一个盛有水的圆柱形容器，这个容器高25cm，底面积为50cm2，但水面太低，乌鸦喝不到水。于是乌鸦衔来许多小石子放入容器内，水面上升后，聪明的乌鸦终于喝到了水。 （1）乌鸦一共在容器内放了多少立方厘米的小石子？ （2）乌鸦喝了多少升的水？ 19．（2026六年级下·全国·专题练习）用如下图所示的3块铁皮做成一个油桶，那么做好的油桶能装多少千克油？（每升油的质量是0.7kg） 20．（25-26六年级·全国·随堂练习）为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练二 圆柱的体积 （第二单元 圆柱和圆锥） 【解析版】 知识点一：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点二：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点三：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点四：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点五：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 题型一：圆柱的体积计算与应用 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下面圆柱的体积。（单位：cm） 【答案】 【思路引导】由图可知，圆柱的底面直径是40厘米，半径是厘米，高是50厘米，圆柱的体积（π取3.14，r表示半径，h表示高），据此列式计算即可。 【完整解答】 所以圆柱的体积是62800立方厘米。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）如果两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，那么小圆柱的体积是大圆柱体积的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】根据题意，已知大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，设小圆柱的底面半径为r，则大圆柱的底面半径是2r；两个圆柱的高相等，设小圆柱和大圆柱的高都是h；根据圆柱的体积分别求出大圆柱和小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以大圆柱的体积，即可求解。 【完整解答】设小圆柱的底面半径为r，则大圆柱的底面半径是2r，设小圆柱和大圆柱的高都是h。 大圆柱的体积： 小圆柱的体积： 因此，如果两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，小圆柱的体积是大圆柱体积的。 故答案为：C 【变式训练2】（25-26六年级下·全国·课后作业）用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【答案】75 【思路引导】用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，根据圆锥的体积公式，代入数据即可求出圆锥的容积，也就是水的体积；水的体积不变，把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，根据，求出圆柱的底面半径；根据圆的面积公式，代入数据求出圆柱的底面积；最后用水的体积除以圆柱的底面积，求出水的高度，据此解答。 【完整解答】水的体积：（cm3） 圆柱的底面半径：（cm） 圆柱的底面积：（cm2） 水的高度：（cm） 因此，用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为75cm。 【变式训练3】（24-25六年级上·河南周口·期末）一根圆柱形钢材长2米，横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这根钢材重多少千克？ 【答案】19.5936千克 【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据，求出圆柱的体积，再用圆柱的体积×每立方厘米的重量，即可解答，注意单位名数的统一以及换算。 【完整解答】2米＝200厘米 3.14×（4÷2）2×200×7.8 ＝3.14×22×200×7.8 ＝3.14×4×200×7.8 ＝12.56×200×7.8 ＝2512×7.8 ＝19593.6（克） 19593.6克＝19.5936千克 答：这根钢材重19.5936千克。 题型二：圆柱的容积 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）如下图，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 【答案】7杯 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积高、底面积＝半径的平方（取3.14）、圆锥的体积＝底面积高，先分别计算出圆柱形易拉罐和圆锥形酒杯的容积，然后用易拉罐的容积除以酒杯的容积，得到能倒满的杯数。据此解答。 【完整解答】 （cm） （cm） （杯） 答：每听易拉罐饮料大约能倒满7杯。 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初模拟）一个无盖圆柱形铁桶，底面直径为4dm，高为3dm。这个铁桶的容积是( )L，做这样一个铁桶至少需要( )dm2铁皮。（铁皮厚度和材料损失忽略不计） 【答案】 37.68 50.24 【思路引导】①根据圆柱的体积＝，即可求出这个底面半径为（4÷2＝2）dm，高为3dm无盖的铁桶的体积，再根据1dm³＝1L即可将体积转化为容积； ②这个铁桶的侧面积＝，底面为半径为（4÷2＝2）dm的圆，根据圆的面积＝即可求出铁桶的底面积，用铁桶的侧面积再加上铁桶的底面积即可求出做这样一个铁桶至少需要多少铁皮。 【完整解答】①3.14×（4÷2）²×3 ＝3.14×2²×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm³） 37.68 dm³＝37.68L 即这个铁桶的容积是37.68L。 ②3.14×4×3＋3.14×（4÷2）² ＝37.68＋3.14×2² ＝37.68＋12.56 ＝50.24（dm2） 即做这样一个铁桶至少需要50.24dm2铁皮。 【变式训练2】（2025·福建宁德·小升初真题）母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 (1)李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ (2)妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 【答案】(1)576平方厘米 (2)能达到（理由见详解） 【思路引导】（1）要用一个长方体的盒子包装它，盒子的长至少是60毫米，宽至少是60毫米，高至少是210毫米。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出这个盒子的表面积，注意单位名数的换算。 （2）因为水杯是圆柱形，根据题意可知，圆柱形水杯的底面直径是60毫米，高是210毫米；根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，求出这个水杯的容积，再乘3，求出3杯水的容积，再和1500毫升比较，即可解答，注意单位名数的换算。 【完整解答】（1）（1）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米 （6×6＋6×21＋6×21）×2 ＝（36＋126＋126）×2 ＝（162＋126）×2 ＝288×2 ＝576（平方厘米） 答：这个盒子的表面积至少576平方厘米。 （2）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米。 3×（6÷2）2×21×3 ＝3×32×21×3 ＝3×9×21×3 ＝27×21×3 ＝567×3 ＝1701（立方厘米） 1701立方厘米＝1701毫升 1701毫升＞1500毫升，喝这样的3杯，能达到要求。 答：喝这样的3杯，能达到要求。 【变式训练3】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【思路引导】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【考点剖析】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 题型三：组合体的体积（圆柱） 【典例精讲】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【答案】2512立方厘米 【思路引导】由图可知，大圆柱的底面直径是12厘米，小圆柱的底面直径是8厘米，它们的高都是40厘米，，圆柱体空心钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，据此解答。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝800×3.14 ＝2512（立方厘米） 所以，圆柱体空心钢管的体积是2512立方厘米。 【变式训练1】（2025·河北衡水·小升初真题）计算下面图形的体积。 【答案】429.44立方分米 【思路引导】这个图形包括圆柱和长方体两部分： 圆柱体的高为6分米，底面圆直径为8分米，，代入数据即可求出圆柱体体积； 长方体的长为8分米，宽为8分米，高为2分米，，代入数据即可求出长方体的体积； 将二者的体积加在一起即可求出图形的体积。 【完整解答】 （立方分米） （立方分米） 301.44＋128＝429.44（立方分米） 即这个图形的体积为429.44立方分米。 【变式训练2】（24-25六年级下·河南信阳·期末）如图，一个箱子上半部分的形状是圆柱的一半，下半部分是一个长方体。算出它的表面积和体积。 【答案】1192.5平方厘米；2785立方厘米 【思路引导】箱子上半部分的形状是圆柱的一半，两个底面可以拼成一个完整的圆，下半部分是没有上面的长方体，它的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋圆柱底面积＋圆柱侧面积÷2，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高； 它的体积＝长方体体积＋圆柱体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高。据此计算。 【完整解答】10×20＋10×10×2＋20×10×2＋3.14×（10÷2）2＋3.14×10×20÷2 ＝200＋200＋400＋3.14×52＋314 ＝800＋3.14×25＋314 ＝800＋78.5＋314 ＝1192.5（平方厘米） 10×20×10＋3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝2000＋3.14×52×20÷2 ＝2000＋3.14×25×20÷2 ＝2000＋1570÷2 ＝2000＋785 ＝2785（立方厘米） 答：它的表面积和体积分别是1192.5平方厘米、2785立方厘米。 【变式训练3】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）求如图所示图形的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3 【思路引导】可通过“补全法”，用大长方体体积减去挖去部分（半圆柱）的体积来计算该组合图形的体积。 由图形可知，半圆柱的直径为20－5－5＝10cm，那么半径为10÷2＝5cm，高为30cm。根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出圆柱的体积，再除以2，即是半圆柱的体积。 长方体的长为30cm，宽为20cm，高为15cm，根据长方体体积公式V＝abh，代入数据计算求出长方体的体积。 然后用长方体体积减去半圆柱的体积即可得到该图形的体积。 【完整解答】20－5－5＝10（cm） 10÷2＝5（cm） 3.14×52×30÷2 ＝3.14×25×30÷2 ＝2355÷2 ＝1177.5（cm3） 20×30×15＝9000（cm3） 9000－1177.5＝7822.5（cm3） 该图形的体积是7822.5cm3。 题型四：不规则物体体积的算法 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）下图是测量1颗铁球体积的实验过程。①将200毫升的水倒入一个容量为500毫升的杯子里；②将5颗相同的铁球放入水中，水没有满；③再放入1颗相同的铁球，结果水满溢出。根据以上过程，推测1颗这样的铁球体积大约（    ）。 A．大于40立方厘米，小于45立方厘米 B．大于45立方厘米，小于50立方厘米 C．大于50立方厘米，小于60立方厘米 D．大于60立方厘米，小于70立方厘米 【答案】C 【思路引导】先把毫升换算成立方厘米。根据题意，将5颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知5颗铁球的体积要小于500－200＝300立方厘米；那么1颗铁球的体积就小于300÷5＝60立方厘米； 再将1颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知6颗铁球的体积要大于500－200＝300立方厘米；那么1颗铁球的体积就大于300÷6＝50立方厘米，据此推测出1颗铁球的体积范围。 【完整解答】500毫升＝500立方厘米；200毫升＝200立方厘米 根据分析可知： 1颗铁球的体积小于： （500－200）÷5 ＝300÷5 ＝60（立方厘米） 1颗铁球的体积大于： （500－200）÷6 ＝300÷6 ＝50（立方厘米） 推测1颗这样的铁球体积大约大于50立方厘米，小于60立方厘米。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25六年级上·广东·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【思路引导】已知圆柱体玻璃器皿的底面半径是6厘米，当把圆锥体铅锤浸没在水中，水面下降了0.5厘米，水面下降部分水的体积等于圆锥的体积，根据圆柱体积公式即可计算出圆锥体铅锤的体积； 已知圆锥体铅锤的高为9厘米，根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥体铅锤的体积乘3除以高可得到圆锥体铅锤的底面积。据此解答。 【完整解答】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥体铅锤的底面积是18.84平方厘米。 【变式训练2】（24-25六年级下·山东德州·期末）我们曾经用图1的方法解决了求三角形面积的问题，请根据此经验，求出图2中这个几何体的体积。 【答案】6280立方厘米 【思路引导】图1中，将三角形补成平行四边形，利用平行四边形面积公式推导出三角形面积公式。图2中的几何体可看作是“半个斜圆柱”，可以把一个完全相同的几何体，将它们拼接成一个完整的圆柱，然后计算这个圆柱的体积，再取一半就是该几何体的体积。 由图可知为底面直径为20厘米，那么底面半径为20÷2＝10厘米。拼接后圆柱的高为15＋25＝40厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为高），把数据代入公式计算后，再除以2即可得出图2几何体的体积。 【完整解答】20÷2＝10（厘米） 15＋25＝40（厘米） 3.14×102×40÷2 ＝3.14×100×40÷2 ＝314×40÷2 ＝12560÷2 ＝6280（立方厘米） 答：图2中几何体的体积是6280立方厘米。 【变式训练3】（24-25六年级下·湖南长沙·期末）妈妈买了一个40克重的金手镯，想知道里面是不是“空心”的。山山想到了“阿基米德称皇冠”的办法。他把手镯放入了一个底面半径为4厘米的圆柱形量筒中，水面上升了0.1厘米（通过和AI的对话，他了解到40克黄金的体积应该是2.07立方厘米），请判断妈妈买的金手镯是否存在“空心”的现象？ 【答案】存在“空心”的现象 【思路引导】水面上升的体积就是金手镯的体积，圆柱形量筒底面积×水面上升的高度＝金手镯的体积，与40克黄金的体积比较即可。 【完整解答】3.14×42×0.1 ＝3.14×16×0.1 ＝5.024（立方厘米） 5.024＞2.07 答：妈妈买的金手镯存在“空心”的现象 题型五：体积的等积变形 【典例精讲】（24-25六年级下·山东枣庄·期中）如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 【答案】（1）50% （2）6厘米 【思路引导】（1）根据酒瓶正放或倒放时，空气的体积是一样的，即可将正放时的空气部分，替换成倒放时的空气部分，即10厘米高的圆柱，则整个容器，可以看成是一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱，其中酒占10厘米，即可算出酒的体积占酒瓶的百分之几。 （2）先计算出酒的体积，然后除以20，即可得出这个圆锥形酒杯一杯的容积。结合圆锥的体积公式：，即可得出酒杯的高度。 【完整解答】（1）30－20＝10（厘米） 10÷（10＋10）＝50% 答：酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的50%。 （2）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 502.4÷20＝25.12（立方厘米） 4÷2＝2（厘米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥形酒杯的高是6厘米。 【考点剖析】第一题找到前后两种摆放，空气体积相同，将不规则的部分进行等积转化，转化成规则的圆柱体，是解决此题的关键，同时，需要熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式。 【变式训练1】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）有一个盛有水的圆柱形水桶，它的底面直径为60厘米，现在把一个体积为1766.25立方厘米的长方体铁块放进这个圆柱形水桶中（水未溢出），长方体铁块恰好有的体积浸在水中，水桶中的水面升高了多少厘米？ 【答案】0.5厘米 【思路引导】当长方体铁块放入圆柱形水桶，水未溢出时，铁块浸入水中的体积等于水面上升部分的圆柱体积 。我们需要先算出铁块浸入水中的体积（利用分数乘法，求铁块体积的，再根据水桶底面直径求出底面积（用圆的面积公式），最后依据圆柱体积公式的变形求出水面升高的高度，据此解答。 【完整解答】计算铁块浸入水中的体积： 浸入体积为：1766.25×＝1413（立方厘米） 计算水桶的底面积： 水桶底面直径是60厘米，那么半径r＝60÷2＝30厘米。 根据圆的面积公式S＝πr2，可得底面积：S＝3.14×302＝3.14×900＝2826（平方厘米） 计算水面升高的高度： 由圆柱体积公式V＝Sh（V是体积，S是底面积，h是高），变形可得h＝V÷S。 h＝1413÷2826＝0.5（厘米） 答：水桶中的水面升高了0.5厘米。 【变式训练2】（24-25六年级下·河南商丘·期中）把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱形铁块，它的高是多少厘米？ 【答案】 16厘米 【思路引导】已知长方体铁块长8厘米，宽5厘米，高4厘米，先根据“长方体体积＝长 ×宽×高”算出一个长方体铁块的体积，再乘2得到两个长方体铁块的总体积，这个体积也就是铸造成的圆柱形铁块的体积；已知圆柱的底面积是20平方厘米，然后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用圆柱体积除以底面积，就能求出圆柱的高。 【完整解答】8×5×4×2 ＝40×4×2 ＝160×2 ＝320（立方厘米） 320÷20＝16（厘米） 答：它的高是16厘米。 【变式训练3】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，底面周长是31.4米，高是3米。把这些沙子平铺在宽10米的路上，平均厚度为2厘米，这些沙子能铺多长的路？ 【答案】392.5米 【思路引导】圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形状的沙堆的底面半径，再根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出沙堆的体积；把铺的路看作一个长方体，长方体的体积＝圆锥形沙堆的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，长＝体积÷宽÷高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【完整解答】2厘米＝0.02米 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 3.14×52×3×÷10÷0.02 ＝3.14×25×3×÷10÷0.02 ＝78.5×3×÷10÷0.02 ＝235.5×÷10÷0.02 ＝78.5÷10÷0.02 ＝7.85÷0.02 ＝392.5（米） 答：这些沙子能铺392.5米长的路。 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意，把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径就是4dm，圆柱的高是4dm，那么底面半径是（dm）；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可解答。 【完整解答】底面半径：（dm） 圆柱的体积：（dm3） 故答案为：A 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆柱形水桶的容积是，里面装了桶的水。已知水桶的内底面积是，水面的高是（    ）dm。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【思路引导】用水桶的容积乘，求出水的容积，再除以水桶的内底面积，可得到水的高度，再根据1米＝10分米，把单位换算成分米作单位，据此解答。 【完整解答】（立方米） （米） 2米＝20分米 所以水面的高是20分米。 故答案为：A 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 【答案】B 【思路引导】铁块放入盛水容器中，水上升的体积就是铁块的体积，据此解答。 【完整解答】 （cm3） 故答案为：B 4．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】瓶子倒过来后上面空白的容积等于正放时上面空白的容积，所以正方时上面空白容积可转化成高是6厘米同底的圆柱体积，这样整个瓶子容积可以转化成高为18厘米的等底圆柱体积，水的体积是高度12厘米同底的圆柱，用水的高度除以18厘米即可得水的体积占瓶子容积的几分之几。 【完整解答】（厘米） 瓶中水的体积占瓶子容积的。 故答案为：D 5．（21-22六年级下·河南南阳·期末）如下图，一个饮料瓶的饮料高度为5cm，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是7cm，已知这个饮料瓶的容积是504mL，则瓶内的饮料为（    ）mL。 A．294 B．280 C．210 D．200 【答案】C 【思路引导】从图中可知，瓶子的两种放法，饮料、无水部分的容积是不变的，将右图中圆柱形的无水部分移到左图，替换掉左图不规则的无水部分，则这个饮料瓶的体积相当于一个以瓶子的底面为底面，高为（5＋7）cm的圆柱的体积； 已知这个饮料瓶的容积，根据圆柱的底面积公式S＝V÷h，求出瓶子的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，用瓶子的底面积乘5，求出瓶内饮料的体积。注意单位的换算：1mL＝1cm3。 【完整解答】504mL＝504cm3 504÷（5＋7） ＝504÷12 ＝42（cm2） 42×5＝210（cm3） 210cm3＝210mL 瓶内的饮料为210mL。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查圆柱体积（容积）计算公式的灵活运用，关键是把不规则的饮料瓶看作等体积的圆柱，利用圆柱的体积公式列式计算。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是( )。 【答案】113.04 【思路引导】将一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，圆柱的高等于长方形的长，即4cm，圆柱的底面半径等于长方形的宽，即3cm；根据圆柱的体积公式：，代入数据计算，据此解答。 【完整解答】（cm3） 因此，一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是113.04cm3。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，它的侧面积( )，体积( )。 【答案】 不变 扩大到原来的2倍 【思路引导】圆柱侧面积公式：，新半径，新高，新侧面积：，所以，侧面积不变。 圆柱体积公式：，新体积：，所以，体积扩大到原来的2倍。 【完整解答】一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，它的侧面积不变，体积扩大到原来的2倍。 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是( )。这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 圆柱 301.44 401.92 【思路引导】这个长方形以长为轴旋转一周得到的是圆柱，其中长方形的宽就是圆柱底面的半径，长就是这个圆柱的高，根据圆柱的表面积公式：，圆柱的体积公式：，将数据代入到公式中即可得解。 【完整解答】一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱。 （） （） 一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱。这个立体图形的表面积是301.44，体积是401.92。 9．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 20 251.2 【思路引导】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【完整解答】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【考点剖析】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 10．（20-21六年级下·天津南开·期末）把一个底面周长是60厘米的圆柱体，拼成一个近似的长方体（如图所示），表面积增加了40平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。    【答案】600 【思路引导】首先根据题意，把一个圆柱拼成一个近似的长方体后，表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长和圆柱的高相等，宽和圆柱的底面半径相等；然后根据表面积增加了40平方厘米，求出圆柱的底面半径和高的乘积是多少；最后根据圆柱的体积＝底面积×高，求出这个圆柱体的体积是多少立方厘米即可. 【完整解答】假定圆柱体的底面半径是r，高是h，则： ＝30×20＝600（立方厘米） 圆柱的体积是600立方厘米。 【考点剖析】此题主要考查了圆柱的表面积、体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个圆柱拼成一个近似的长方体后，表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长和圆柱的高相等，宽和圆柱的底面半径相等。 11．（24-25六年级下·广东江门·期末）圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的6倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝πr2。当底面半径扩大到原来的3倍且高不变时，底面积将扩大到原来的9倍，因此体积也会扩大到原来的9倍。 【完整解答】设圆柱底面半径为，高为， 则体积为 当半径扩大3倍即3时，新体积为： 因此，体积扩大到原来的9倍。所以原题说法错误。 故答案为：× 12．（24-25六年级下·湖南邵阳·期末）一个棱长是的正方体木块，把它削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】将正方体削成最大的圆柱时，圆柱的底面直径和高均等于正方体的棱长。计算圆柱体积后，用正方体体积减去圆柱体积即为削去部分的体积。圆柱的体积公式＝底面积×高，正方体的体积公式＝棱长×棱长×棱长。 【完整解答】正方体体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 圆柱底面半径：4÷2＝2（cm） 圆柱体积：3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（cm3） 削去部分体积：64－50.24＝13.76（cm3） 故答案为：√ 13．（24-25六年级下·河北廊坊·期中）一个圆柱的底面半径扩大为原来的3倍，高扩大为原来的2倍，则体积扩大为原来的18倍。( )（判断对错） 【答案】 √ 【思路引导】假设原来圆柱的底面半径是1厘米，高也是1厘米；底面半径扩大到原来的3倍变为1×3＝3厘米；高扩大为原来的2倍变为1×2＝2厘米；根据圆柱的体积公式分别计算出扩大前、后的圆柱体积，最后用扩大后的圆柱体积除以扩大前的圆柱体积即可。 【完整解答】假设原来圆柱的底面半径是1厘米，高也是1厘米； 3.14×12×1 ＝3.14×1×1 ＝3.14（立方厘米） 1×3＝3（厘米） 1×2＝2（厘米） 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方厘米） 56.52÷3.14＝18 因此，体积扩大为原来的18倍，原题说法正确。 故答案为：√ 14．（24-25六年级下·辽宁鞍山·期中）正方体和圆柱体积相等，如果它们的底面周长相等，那么高一定相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体和圆柱体积相等且底面周长相等时，需比较两者的高是否必然相等。设正方体底面边长为，则正方体底面周长为边长，设圆柱底面半径为，则圆柱底面周长为。由周长相等可得与的关系，再代入体积公式，因为正方体和圆柱体积相等，推导出两者的高，发现圆柱的高为正方体高的倍，故高不相等。 【完整解答】设正方体底面边长为，高为，则底面周长，体积；设圆柱底面半径为r，高为，则底面周长，体积；由它们的底面周长相等可得，解得，又正方体和圆柱体积相等，所以，化简得，正方体高，圆柱高，二者高不相等。 故答案为×。 15．（2026六年级下·全国·专题练习）如下图，圆柱形容器甲的底面半径是5cm，容器内部是空的；长方体容器乙中的水深6.28cm。现将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路引导】长方体容器中的水全部倒入圆柱体容器中，水的体积没有变化。长×宽×水的高度＝水的体积，水的体积÷圆柱形容器底面积＝水的深度。据此解答。 【完整解答】长方体容器中水深6.28厘米 水的体积： （立方厘米） 圆柱形容器中水深： （厘米） 答：这时水深8厘米。 16．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 【答案】25120立方厘米 【思路引导】取出假山石后，水下降的体积等同于假山石的体积，用π乘内半径平方得内底面积，再用内底面积乘水下降的高度就可以求出水下降的体积，也就是假山石的体积。 【完整解答】（平方厘米） （立方厘米） 答：这座假山石的体积是25120立方厘米。 17．（25-26六年级·全国·随堂练习）一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？请说明理由。 【答案】 这家果汁生产商欺骗了消费者，因为易拉罐外部体积小于标注的净含量，其内部实际容积更小。 【思路引导】要判断生产商是否欺骗消费者，需先根据圆柱体积公式计算易拉罐从外面量的体积，再与净含量比较。因为易拉罐自身有厚度，其内部容积应小于外部体积，若外部体积小于净含量，则存在欺骗。 【完整解答】圆柱体积公式为（π取3.14）。 （cm3） 因为1cm3=1mL，所以339.12cm3=339.12mL。 339.12<340。 答：这家果汁生产商欺骗了消费者，因为易拉罐外部体积小于标注的净含量，其内部实际容积更小。 18．（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，一只乌鸦口渴了，它找了很久，找到一个盛有水的圆柱形容器，这个容器高25cm，底面积为50cm2，但水面太低，乌鸦喝不到水。于是乌鸦衔来许多小石子放入容器内，水面上升后，聪明的乌鸦终于喝到了水。 （1）乌鸦一共在容器内放了多少立方厘米的小石子？ （2）乌鸦喝了多少升的水？ 【答案】（1）700立方厘米 （2）0.3升 【思路引导】（1）小石子的体积等于水面从8厘米上升到22厘米的体积，即底面积为50平方厘米，高为厘米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，列式解答即可。 （2）乌鸦喝水的体积等于水面从22厘米下降到 16厘米的体积，即底面积为50平方厘米，高为厘米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，列式解答，再换算成升即可。 【完整解答】（1） （立方厘米） 答：乌鸦一共在容器内放了700立方厘米的小石子。 （2） （立方厘米） 答：乌鸦喝了0.3升的水。 19．（2026六年级下·全国·专题练习）用如下图所示的3块铁皮做成一个油桶，那么做好的油桶能装多少千克油？（每升油的质量是0.7kg） 【答案】70.336千克 【思路引导】根据题图，可知一个底面圆直径加底面圆周长等于16.56dm，即，用16.56除以，即可求出底面圆的直径；由图可知，圆柱的高是底面直径的2倍，用底面直径乘2即可求出圆柱的高；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可求出油桶的容积；最后用油桶的容积乘0.7，即可求出油的质量，据此解答。 【完整解答】底面圆的直径：（dm） 圆柱的高：（dm） 油桶的容积：（dm3） 100.48dm3＝100.48L （千克） 答：做好的油桶能装70.336千克油。 【考点剖析】本题的关键在于将展开图中长方形的长和宽与圆柱的底面周长和高一一对应，并找到16.56dm与圆柱底面直径、底面周长之间的关系，据此求出圆柱的底面直径和高。 20．（25-26六年级·全国·随堂练习）为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 【答案】（1）②③④ （2）565.2mL 【思路引导】（1）因为瓶子无论正放、还是倒放，瓶子里水的体积不变，这个瓶子的容积相当于底面直径是6厘米，高是厘米的圆柱的容积； （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 【完整解答】（1）根据分析得：选择信息②③④可以求出这个瓶子的容积。 （2） （cm） 565.2cm＝565.2mL 答：瓶子的容积565.2mL。 【考点剖析】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $