9.1 线性回归分析（题型专练，7基础&2提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

9.1 线性回归分析 题型一 判断正负相关 1．（24-25高二下·河北·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 3．【多选题】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ）    A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 4．【多选题】（2026·河南开封·一模）以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（   ） A．图（1）中成对样本数据呈负相关 B．图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C．图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D．若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 5．（2026高三·全国·专题练习）对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 C．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 题型二 判断两个变量是否有相关关系 1．（25-26高二·全国·假期作业）有下列关系； ①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③柑橘的产量与气温之间的关系； ④森林的同一种树木，其横断面积直径与高度之间的关系． 其中具有相关关系的是 ．（填序号） 2．（25-26高二上·全国·课后作业）山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系. 3．（2025高二·全国·专题练习）下列关系中，是因果关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 4．（25-26高二上·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率 C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径 5．【多选题】（24-25高二下·全国·课后作业）下列关系中，是相关关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 题型三 回归方程的有关概念辨析 1．【多选题】（25-26高二上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与相互独立 B．两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱 C．线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 D．经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点的中心 2．【多选题】（25-26高三上·安徽宿州·月考）下列说法正确的有（   ） A．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好 3．（25-26高三上·天津和平·期末）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I，则两个变量正相关 B．若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 4．（24-25高二下·贵州遵义·月考）相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 5．【多选题】（25-26高三上·河南·月考）某同学在一次试验中，得到两个变量，的成对样本数据：，，⋯，，经对该组数据研究发现，变量，间具有线性相关关系，用最小二乘法求得的经验回归方程为．该同学给出如下结论，其中正确的结论有（） A．变量与具有正线性相关关系 B．在实际问题中，解释变量每增加1个单位，响应变量一定相应增加个单位 C．经验回归直线过样本点的中心 D．散点图中的点中至少有一个点在经验回归直线上 题型四 由回归方程求值 1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·陕西咸阳·一模）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数 . 5 15 24 60 40 20 3．（22-23高二上·四川广安·期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.4 m 4 4.6 5.2 其经验回归方程为 则m=（    ） A．2.8 B．3 C．3.2 D．3.4 5．（24-25高二下·天津·月考）在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用表示． 1 2 3 4 5 6.3 7.4 8.1 8.7 已知表中数据的经验回归方程同时满足：①过点；②每增加一个单位，增加个单位，则 ；当时， ． 题型五 回归方程过样本中心 1．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 2．【多选题】（福建省泉州市2026届高三质量检测（二）数学试题）某市环保部门连续10天监测甲、乙两个区域的空气质量指数（简称AQI），记日期编号为，甲、乙两个区域的AQI分别为，将数据整理如下： 日期编号   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲区域AQI    27 44 43 45 34 35 33 34 40 35 乙区域AQI    34 34 30 31 36 33 32 34 33 33 根据数据进行分析，以下说法正确的是（   ） A．甲区域AQI的极差为18 B．乙区域AQI的第65百分位数为33.5 C．甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差 D．根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点 3．（2026·河北·一模）2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为 则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 4．【多选题】（25-26高三上·浙江金华·期末）已知变量与变量的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为，则下列选项正确的是（   ） 1 2 3 4 5 9 8 7 6 6 A．变量与变量的中位数之和为10 B．变量与变量的样本相关系数 C． D．直线必过点 5．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知变量x，y的数据如下： x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 若x与y的回归直线方程为，则（   ） A．3.5 B．4 C．4.2 D．5 题型六 相关程度的判断与求线性回归方程 1．（2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷）为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 58 42 30 12 8 (1)若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度． 参考数据：． 参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：． 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）缅甸的电信诈骗事件给很多家庭带来了痛苦，也给我们敲响了安全的警钟.某市组织宣传人员对市区主要场所进行“电诈安全教育”，并对普及的有效回访人数进行了统计并得到下表： 第 天 2 4 6 8 10 12 14 16 有效回访人数 65 85 110 130 165 175 190 200 (1)从这8天的数据中任选3天的数据，用表示每天有效回访人数不少于 160 的天数，求的分布列和数学期望； (2)试用上表数据求出每天有效回访的人数关于天数的线性回归方程，并预测第29天的有效回访人数.（ 精确到0.1，人数取整数） 参考公式：线性回归方程中，， 参考数据: 3．（2026高三·全国·专题练习）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示. 年份 年份代码 (1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱） . (2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）； (3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求? 附：相关数据：，，，. 相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，. 4．（2026高三·上海·专题练习）某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 5．（2026·江西上饶·一模）2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； (2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 题型七 残差的计算 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 ． 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 3．【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 4．【多选题】（25-26高三上·江苏·期末）已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（   ） 月份x 1 2 3 4 5 利润y 5 8 10 12 15 A． B．可以估计10月份的利润为26.8（万元） C．1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元） D．5月份利润的残差为（万元） 5．【多选题】（2026·四川广安·一模）为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 假设经验回归方程为，则（    ） （参考公式：相关系数为） A． B．当时，对应的残差为0.08 C．样本数据的第40百分位数为0.8 D．去掉点后，与的样本相关系数不变 题型一 求非线性回归方程 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 3．（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 4．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 5．（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 题型二 线性回归方程与函数概率综合 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入（单位：十万元）与该款学习机的月销量（单位：千台）的数据，如表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求和的样本相关系数，并判断与是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若，则认为与具有较强的线性相关性） (2)求关于的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考公式：对于经验回归方程，，；样本相关系数. 参考数据：，，. 2．（2023·福建泉州·模拟预测）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 (3)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 3．（2025·广东惠州·模拟预测）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 4．（24-25高二下·江苏·期末）某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下： 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程； (2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：经验回归方程，其中，． 样本相关系数． 5．（2025·陕西·模拟预测）当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 1．（25-26高三上·云南昆明·月考）在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； (3)若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据： （其中，） 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）某商场为了解月投放消费券x（单位：千元）和月利润y（单位：万元）的关系，进行了数据收集整理，得到下面的表格： 月投放消费券x/千元 25 64 100 144 196 289 月利润y/万元 591 595 600 604 607 615 (1)根据表中数据，通过作散点图分析，可把作为y关于x的经验回归方程，试求出该经验回归方程； (2)该商场为进一步提高利润，推出了“购物达千元，玩游戏，送消费券”的活动.在商场游戏活动点放置甲、乙两个袋子，甲袋中放有3个相同的小盒，其中有两个小盒中放有“奖”字条，另一个是空盒，乙袋中也放有3个与甲袋中相同的小盒，都是空盒.游戏活动参加者先从甲、乙两袋中各任取一个小盒交换后再放回袋子中，重复n（）次这样的操作后，记甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条的概率为，恰有1个小盒放有“奖”字条的概率为.若甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条，参加者可得200元消费券；恰有1个小盒放有“奖”字条，参加者可得100元消费券；没有小盒放有“奖”字条，参加者可得50元消费券. （ⅰ）求，； （ⅱ）记一个游戏活动参加者参加一次活动获得消费券总数为，当时，求的数学期望，并判断游戏活动参加者所得奖券的平均值能否超过100元. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，. 3．（2025·广东·一模）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销量千辆 (1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量； (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？ 参考公式：． 4．（2025·海南·三模）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第 轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ． 5．（2018·湖北荆州·一模）已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 6．（2024·吉林长春·三模）龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. (1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 7．（2023·全国·模拟预测）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，． (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）． (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数． （i）记，．证明：． （ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）． (3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势． 注：参考公式与参考数据．；；． 8．（2023·福建厦门·二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5． (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计． (ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数． 附：样本相关系数，，，， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1 线性回归分析 题型一 判断正负相关 1．（24-25高二下·河北·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图和相关性的关系，判断结果. 【详解】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关， 且线性相关性比较强. 故选：B. 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【答案】D 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 3．【多选题】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ）    A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 4．【多选题】（2026·河南开封·一模）以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（   ） A．图（1）中成对样本数据呈负相关 B．图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C．图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D．若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 【答案】AB 【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可. 【详解】对于A：图（1）中，随着增大，整体呈减小趋势，因此成对样本数据呈负相关，A正确； 对于B：图（1）中数据点更贴近直线，线性相关程度比图（2）（数据点分散）强，B正确； 对于C：图（1）的线性相关性强，负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱，相关系数绝对值小（接近 0）. 因此图（1）的相关系数（负数，绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近 0），C错误； 对于D：从图（2）中抽取部分样本，数据分布会改变，相关系数会变化，D错误. 故选：AB. 5．（2026高三·全国·专题练习）对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 C．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 【答案】D 【分析】根据相关系数的正负判断正负相关，并根据相关系数绝对值大小得到相关性强弱. 【详解】由线性相关系数知x与y正相关， 由线性相关系数知u与v负相关， 又，所以变量u与变量v的线性相关性比变量x与变量y的线性相关性更强. 故选：D 题型二 判断两个变量是否有相关关系 1．（25-26高二·全国·假期作业）有下列关系； ①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③柑橘的产量与气温之间的关系； ④森林的同一种树木，其横断面积直径与高度之间的关系． 其中具有相关关系的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据相关关系的定义，逐一分析每个关系是否为不确定的依存关系，从而确定具有相关关系的序号. 【详解】相关关系是变量间不确定的依存关系，非函数关系. ①炼钢时钢水含碳量与冶炼时间，存在不确定依存，是相关关系； ②曲线上点与坐标是一一对应函数关系，不是相关关系； ③柑橘产量与气温，存在不确定依存，是相关关系； ④树木横断面直径与高度，存在不确定依存，是相关关系. 故答案为：①③④ 2．（25-26高二上·全国·课后作业）山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系. 【答案】(1)散点图见详解 (2)具有相关关系 【分析】（1）根据已知中表中7块并排、形状大小相同的试验田上，施化肥量x和产量y所得的数据，描点后可得散点图； （2）根据（1）中散点图中的点大致分布在一个带状区域内（一条直线附近）可得两个变量具有相关关系． 【详解】（1）根据已知表格中的数据可得施化肥量x对产量y的散点图如下所示：    （2）根据（1）中散点图可知，各组数据对应点大致分布在一个带状区域内(一条直线附近)， 故施化肥量x和产量y具有线性相关关系。 3．（2025高二·全国·专题练习）下列关系中，是因果关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 【答案】B 【分析】由两个变量的相关关系与因果关系的定义，结合各项描述理解判断. 【详解】A：学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，不是因果关系； B：教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是因果关系； C，D：学生的身高与学生的学习成绩、家庭的经济条件与学生的学习成绩都不是因果关系. 故选：B 4．（25-26高二上·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率 C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径 【答案】D 【分析】利用两变量相关关系的意义判断即可. 【详解】列表解析 选项 是否是相关关系 原因 A 是 果树亩产量与光照时间有关，是相关关系． B 是 降雪量的大小对交通事故发生率有影响，是相关关系． C 是 粮食亩产量与每亩田施肥量有关，是相关关系． D 否 圆的面积S和半径r是函数关系． 故选：D. 5．【多选题】（24-25高二下·全国·课后作业）下列关系中，是相关关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 【答案】AB 【分析】由两个变量的相关关系的定义进行判断． 【详解】A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系； B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；C，D都不具备相关关系． 故选：AB 题型三 回归方程的有关概念辨析 1．【多选题】（25-26高二上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与相互独立 B．两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱 C．线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 D．经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点的中心 【答案】ACD 【分析】对于A，利用条件概率公式可得，再根据事件相互独立的定义即可判断；对于B，由相关系数的概念即可判断；对于C，由决定系数的概念即可判断；对于D，由经验回归直线方程的性质可判断. 【详解】对于A：由，可得， 故事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，故A正确； 对于B：两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱，故B错误； 对于C：越趋近于1，说明模型对数据的解释能力越强，拟合效果越好，故C正确； 对于D：经验回归直线恒过样本中心点，但不一定经过样本点，故D正确. 故选：ACD. 2．【多选题】（25-26高三上·安徽宿州·月考）下列说法正确的有（   ） A．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好 【答案】BC 【分析】A选项，解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少0.85，A错误；B选项，根据残差的定义得到B正确；C选项，根据残差图的意义得到C正确；D选项，由决定系数的定义可知D错误. 【详解】对于A，因为， 当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少0.85，故A错误； 对于B，因为，， 所以相对于样本点的残差为，故B正确； 对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：BC 3．（25-26高三上·天津和平·期末）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I，则两个变量正相关 B．若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 【答案】D 【分析】根据回归方程的性质可判断A，B，C；根据决定系数的大小关系可判断模型的拟合效果，即可判断D. 【详解】模型I所得经验回归方程为，因为，则两个变量负相关，故A不正确； 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量估计减少1.14个单位，故B不正确； 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度可能越小，故C不正确； 由于模型I的决定系数为0.95，模型II的决定系数为0.99，由于，则模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·贵州遵义·月考）相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 【答案】D 【分析】根据回归方程的意义可判断AB的正误，根据回归系数的正负可判断C的正误，根据回归方程过样本中心可求，从而可判断D的正误. 【详解】对于A，因为回归直线方程为，故当每增加1时，增加约为 ， 故A错误； 对于B，因为回归直线方程为，故当每增加13时，增加约为， 故B错误； 对于C，因为，故与呈正相关，故C错误； 对于D，，故，故，故， 故D正确； 故选：D. 5．【多选题】（25-26高三上·河南·月考）某同学在一次试验中，得到两个变量，的成对样本数据：，，⋯，，经对该组数据研究发现，变量，间具有线性相关关系，用最小二乘法求得的经验回归方程为．该同学给出如下结论，其中正确的结论有（） A．变量与具有正线性相关关系 B．在实际问题中，解释变量每增加1个单位，响应变量一定相应增加个单位 C．经验回归直线过样本点的中心 D．散点图中的点中至少有一个点在经验回归直线上 【答案】AC 【分析】A选项：由线性回归系数的符号可判断相关性的正负，当斜率大于0时，变量之间呈正线性相关关系；B选项：回归方程中的斜率表示解释变量每增加一个单位时，响应变量预测值的平均变化量，不能断言每一个个体都会发生确定的同等变化；C选项：根据最小二乘法的性质，回归直线必然经过样本中心点，D选项：对于任意给定的样本数据，散点不一定落在拟合的回归直线上，这是模型拟合的统计特性，回归线是整体趋势的估计，并不强制经过某个样本点. 【详解】因为经验回归方程为，根据正线性相关关系的定义， 当时，随的增大而增大，所以变量与具有正线性相关关系，故选项A正确. 在实际问题中，解释变量每增加1个单位，响应变量的平均变化量为， 但不一定增加个单位，因为经验回归方程是根据样本数据拟合的，存在一定的误差，故选项B错误. 根据经验回归直线的性质，经验回归直线一定过样本点的中心，故选项C正确. 散点图中的点不一定都在经验回归直线上， 经验回归直线是根据样本数据拟合的，它不一定经过所有样本点，故选项D错误. 故选：AC 题型四 由回归方程求值 1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数运算法则将表达式化简即可求出的值. 【详解】由模型可得，所以； 令，所以，可得； 又因为回归直线方程为，因此，可得. 故选：A 2．（2026·陕西咸阳·一模）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数 . 5 15 24 60 40 20 【答案】4 【分析】由线性回归方程必过样本中心点求解. 【详解】由表数据可得， 所以线性回归方程必过点， 所以，解得， 故答案为：. 3．（22-23高二上·四川广安·期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 【答案】D 【分析】首先根据回归直线必过样本点中心，代入方程求，即可求不清楚的数据. 【详解】回归直线必过样本点中心，其中， 所以， 所以不清楚的数值为. 故选：D 4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.4 m 4 4.6 5.2 其经验回归方程为 则m=（    ） A．2.8 B．3 C．3.2 D．3.4 【答案】A 【分析】利用经验回归方程经过求出. 【详解】，，经验回归方程经过点， 所以，解得. 故选：A. 5．（24-25高二下·天津·月考）在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用表示． 1 2 3 4 5 6.3 7.4 8.1 8.7 已知表中数据的经验回归方程同时满足：①过点；②每增加一个单位，增加个单位，则 ；当时， ． 【答案】 【分析】由经验回归方程恒过样本点的中心求解，进而求得经验回归方程，即可求解时的值． 【详解】因为每增加一个单位，增加个单位，即， 因为经验回归方程过点，所以， 故，则； 又，， 代入，所以，解得， 当时，， 故答案为：，． 题型五 回归方程过样本中心 1．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据回归直线过样本中心点列方程求解即可. 【详解】由可知 ，. 因为回归直线过样本中心点，即， 将其坐标代入方程可得，解得， 故选：B. 2．【多选题】（福建省泉州市2026届高三质量检测（二）数学试题）某市环保部门连续10天监测甲、乙两个区域的空气质量指数（简称AQI），记日期编号为，甲、乙两个区域的AQI分别为，将数据整理如下： 日期编号   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲区域AQI    27 44 43 45 34 35 33 34 40 35 乙区域AQI    34 34 30 31 36 33 32 34 33 33 根据数据进行分析，以下说法正确的是（   ） A．甲区域AQI的极差为18 B．乙区域AQI的第65百分位数为33.5 C．甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差 D．根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点 【答案】ACD 【分析】根据极差、百分位数、方差和经验回归方程的定义计算判断各个选项； 【详解】对于A，甲区域AQI的极差为，A正确 对于B，乙区域AQI的数据从小到大排序：，共10个数据， 计算，第65百分位数是第个数，B错误； 对于C，甲区域AQI的平均数为， 方差 乙区域AQI的平均数为 方差，因为，故甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差，C正确； 对于D，因为，由上可知 所以根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点，D正确； 故选：ACD. 3．（2026·河北·一模）2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为 则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，进而求出新样本的中心点，再利用经验回归方程求得答案. 【详解】由及，得， 则在新样本中，， 所以. 故选：B 4．【多选题】（25-26高三上·浙江金华·期末）已知变量与变量的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为，则下列选项正确的是（   ） 1 2 3 4 5 9 8 7 6 6 A．变量与变量的中位数之和为10 B．变量与变量的样本相关系数 C． D．直线必过点 【答案】AC 【分析】根据表中数据及中位数概念判断A，根据变量的变化情况可知变量间负相关判断B，根据经验回归直线为斜率为负判断C，根据样本中心点判断D. 【详解】由表中数据可知，变量与变量的中位数分别为3，7，故中位数之和为10，故A正确； 由表可知，当变量变大时，变量有变小的趋势， 所以变量与变量成负相关，样本相关系数，故B错误； 由数据可知变量与负相关，故，回归直线必过样本中心点， 经计算，代入回归直线方程得，则， 因为，所以，故，故C正确； 由表中数据可得，而直线必过点，故D错误. 故选：AC 5．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知变量x，y的数据如下： x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 若x与y的回归直线方程为，则（   ） A．3.5 B．4 C．4.2 D．5 【答案】B 【分析】求出，，x与y的回归直线方程为过点，将代入计算得到的值. 【详解】由题意可得，， 则，解得. 故选：B. 题型六 相关程度的判断与求线性回归方程 1．（2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷）为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 58 42 30 12 8 (1)若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度． 参考数据：． 参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：． 【答案】(1)血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的，理由见解析 (2)，． 【分析】（1）由给定的数表，利用相关系数公式计算并判断得解. （2）由（1）中信息，利用最小二乘法求出回归直线方程，再预测所给问题. 【详解】（1）依题意，， ， 则， 所以，即血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的. （2）由（1）得，则， 因此血液中药物浓度与代谢时间的回归方程为，当时，， 所以代谢6.2小时后，血液中药物浓度约为. 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）缅甸的电信诈骗事件给很多家庭带来了痛苦，也给我们敲响了安全的警钟.某市组织宣传人员对市区主要场所进行“电诈安全教育”，并对普及的有效回访人数进行了统计并得到下表： 第 天 2 4 6 8 10 12 14 16 有效回访人数 65 85 110 130 165 175 190 200 (1)从这8天的数据中任选3天的数据，用表示每天有效回访人数不少于 160 的天数，求的分布列和数学期望； (2)试用上表数据求出每天有效回访的人数关于天数的线性回归方程，并预测第29天的有效回访人数.（ 精确到0.1，人数取整数） 参考公式：线性回归方程中，， 参考数据: 【答案】(1)分布列见解析；； (2)； 【分析】（1）根据超几何分布求出分布列以及期望； （2）根据线性回归方程的计算公式得出，再代入求函数值. 【详解】（1）这8天的数据有天有效回访人数不少于 160， 则的可能取值为， 则，， ，， 则的分布列为 则数学期望. （2）， ， ， 则，， 则线性回归方程为， 故第29天的有效回访人数大约为人. 3．（2026高三·全国·专题练习）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示. 年份 年份代码 (1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱） . (2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）； (3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求? 附：相关数据：，，，. 相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，. 【答案】(1)图见解析，，线性相关很强 (2) (3)符合研发要求 【分析】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数r，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论； （2）采用最小二乘法即可求得回归直线； （3）将代入回归直线可求得，进而计算得到预算为500万元时的研发费用的预估值，由此可得结论. 【详解】（1）折线图如下： 由题意得：， ， ， ， ，与线性相关很强. （2）由题意得：， ， 关于的回归直线方程为. （3）年对应的年份代码，则当时，， 预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元）， ，符合研发要求. 4．（2026高三·上海·专题练习）某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 【答案】(1) (2)作图见解析，拟合效果较好 【分析】（1）由图算出和的值，代入最小二乘法公式，得到回归方程； （2）结合（1）的回归方程，求解出对应数据，列表画图，计算残差，算出其平方和，最后比大小即可. 【详解】（1）由图得，， 则， 故， 则y关于x的经验回归方程为. （2）结合（1），计算得残差如下表： 行驶速度 60 70 80 90 100 110 油耗实际值 7.5 6.8 6.2 5.7 5.4 5 油耗估计值 7.35 6.85 6.35 5.85 5.35 4.85 残差 0.15 0.05 0.15 因此残差分布图如下： 因为， 所以经验回归方程的拟合效果较好. 5．（2026·江西上饶·一模）2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； (2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 【答案】(1)，8.7亿元 (2)分布列见解析， 【分析】（1）因为，由求出，由求出 再由回归方程求解旅游综合收入的估计值即可； （2）由题意可知，，根据二项分布概率公式求解分布列，再根据二项分布的期望求解期望. 【详解】（1）因为 所以． 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． （2）由题意可知， 则 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 题型七 残差的计算 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 ． 【答案】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 所以，解得，即经验回归方程为， 又因为，， 所以，解得， 故答案为： 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 3．【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 【答案】AC 【分析】由回归方程过样本中心点即可求解判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD. 【详解】依题意，， 将代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C正确； 将代入中，得到，则所求残差为，故D错误. 故选：AC. 4．【多选题】（25-26高三上·江苏·期末）已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（   ） 月份x 1 2 3 4 5 利润y 5 8 10 12 15 A． B．可以估计10月份的利润为26.8（万元） C．1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元） D．5月份利润的残差为（万元） 【答案】AB 【分析】先求得，的值，代入回归方程，可得a值，即可判断A的正误；将代入回归方程，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误，根据残差的求法，即可判断D的正误. 【详解】选项A：根据表中数据可得， 则，故A正确； 选项B：估计10月份的利润（万元），故B正确； 选项C：由， 则1到5月份的利润数据的第60百分位数为（万元），故C错误； 选项D：5月份利润的估计值为， 则残差为（万元），故D错误. 故选：AB 5．【多选题】（2026·四川广安·一模）为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 假设经验回归方程为，则（    ） （参考公式：相关系数为） A． B．当时，对应的残差为0.08 C．样本数据的第40百分位数为0.8 D．去掉点后，与的样本相关系数不变 【答案】AD 【分析】选项A：求出，，由一定满足线性回归方程，代入即可求解；选项B：按照残差的概念求解即可；选项C：按照百分位数求解方法求解即可；选项D：由相关系数公式计算判断即可. 【详解】选项A：，. 将代入回归方程可得，，所以，故A正确； 选项B：当时，代入回归方程可得， 所以残差，故B错误； 选项C：将样本数据值从小到大排列：0.3，0.8，1，1.2，1.7， 第40百分位数的位置：， 则第40百分位数为第2个数和第3个数的平均值：，故C错误； 选项D： . ， ， 所以. 去掉点后， ，. . ， ， 所以. 故去掉点后，与的样本相关系数不变，故D正确. 故选：AD. 题型一 求非线性回归方程 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】(1)模型的拟合程度更好 (2). 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【详解】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 3．（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)①； (2) 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可； （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则． ， ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为． 4．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）由 ，得模型线性化为：，然后利用最小二乘法的公式计算即可； （2）利用二项分布的概率计算公式与期望计算公式可得答案. 【详解】（1）由 ，则模型线性化为：， ，，， 由，， 得：， 由，， 得：， 代入最小二乘法估计公式，得： ， ， ， 故关于的回归方程为：. （2）由题意知： 服从二项分布，即. 由二项分布的概率计算公式得： ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 5．（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)13（百万辆） 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 题型二 线性回归方程与函数概率综合 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入（单位：十万元）与该款学习机的月销量（单位：千台）的数据，如表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求和的样本相关系数，并判断与是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若，则认为与具有较强的线性相关性） (2)求关于的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考公式：对于经验回归方程，，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)0.96，与具有较强的线性相关性； (2)；当时，千台； (3)选第二种方案更优惠，理由见解析. 【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）根据最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，代入可得月广告投入600万元时，该款学习机的月销量； （3）分别计算两种方案的付款期望，并比较大小，可得选第二种方案更优惠. 【详解】（1）由题可知，，所以 所以. 所以y与x具有较强的线性相关性. （2）由（1）知. 因为，， 所以. 关于的经验回归方程为，故当时，. 所以估计当月广告投入600万元时，该款学习机的月销量约为千台. （3）家长准备在该店购买两台该款学习机，选第二种方案更优惠.理由如下： 若采用方案一，可享受优惠（元）；付款总金额数学期望为（元）； 若采用方案二，记中奖次数为X，则. ；； ；； 记该家长购买两台学习机可享受优惠共为Y元，则Y的分布列如下： Y 600 1200 1600 2000 P 所以（元）. 所以若采用方案二，付款总金额数学期望为(元). 因为，所以选第二种方案更优惠. 2．（2023·福建泉州·模拟预测）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 (3)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 【答案】(1)②更适宜 (2) (3) 【分析】（1）根据散点图选择②； （2）取对数，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程即可； （3）利用（1）中回归方程，列出关于的方程求解即得. 【详解】（1）由散点图知，点的分布呈现出曲线的趋势，因此更适宜的回归方程为②，即. （2）由，得，对等式两边取自然对数，得， 令，则， ， ， 结合表中数据，得， 结合参考数据可得，由，得结合参考数据可得， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为. （3）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳， 即，整理得， 于是，解得， 所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳饮用口感. 3．（2025·广东惠州·模拟预测）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】(1)（i）；（ⅱ），7.5 (2)答案见解析 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【详解】（1）（i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 4．（24-25高二下·江苏·期末）某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下： 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程； (2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：经验回归方程，其中，． 样本相关系数． 【答案】(1)，与线性相关性很强；． (2)分布列见解析，数学期望为1，方差为. 【分析】（1）由题意求出相关系数并求出回归方程即可； （2）由全概率公式计算，利用二项分布计算概率，列出分布式，由公式计算期望和方差可得. 【详解】（1）依题意，，而，，， ． 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合． ， 因此，回归方程为． （2）“甲从东门出学校”为事件，“甲从南门进学校”为事件，“甲从东门进学校”为事件，“甲从北门进学校”为事件， 由题意可得，，，，， 由全概率公式得： 同理乙、丙、丁从东门出景区的概率也为， 为4人中从东门出景区的人数，则， ，，，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ，． 5．（2025·陕西·模拟预测）当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 【答案】(1)更适合作为关于的回归方程类型， (2)54千万元 (3)2.27元 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，对两边取对数，，代入公式，结合表格数据得到回归方程； （2）在（1）基础上，得到，求导，得到函数单调性，从而求出最值； （3）求出，，利用期望公式求出答案. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型， 因为呈线性变化，不合要求，故选， 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为； （2）因为，所以， ，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以预计下一年投入千万元时， 年利润取得最大值为千万元. （3）因为，， 所以 ， ， （元）. 1．（25-26高三上·云南昆明·月考）在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； (3)若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据： （其中，） 【答案】(1)分布列见解析， (2)，10.8 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意，确定X的取值可能为1，2，3，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）利用将y关于t的回归方程化成线性方程，将相关数据代入公式依次计算，即得回归方程，并进行计算预测； （3）根据（1）的分析总结，得出在前n轮就成功的概率为，利用累乘法化简求解得，即可证得，即得. 【详解】（1）由题意知，X的取值可能为1，2，3， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望． （2）令，则．由题意知，， ，． 则，则，则有， 故回归方程为．当时，，故预测y的值约为10.8． （3）由题意知在前n轮就成功的概率为 ． 则在前n轮没有成功的概率为 ， 即，所以．故． 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）某商场为了解月投放消费券x（单位：千元）和月利润y（单位：万元）的关系，进行了数据收集整理，得到下面的表格： 月投放消费券x/千元 25 64 100 144 196 289 月利润y/万元 591 595 600 604 607 615 (1)根据表中数据，通过作散点图分析，可把作为y关于x的经验回归方程，试求出该经验回归方程； (2)该商场为进一步提高利润，推出了“购物达千元，玩游戏，送消费券”的活动.在商场游戏活动点放置甲、乙两个袋子，甲袋中放有3个相同的小盒，其中有两个小盒中放有“奖”字条，另一个是空盒，乙袋中也放有3个与甲袋中相同的小盒，都是空盒.游戏活动参加者先从甲、乙两袋中各任取一个小盒交换后再放回袋子中，重复n（）次这样的操作后，记甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条的概率为，恰有1个小盒放有“奖”字条的概率为.若甲袋中恰有2个小盒放有“奖”字条，参加者可得200元消费券；恰有1个小盒放有“奖”字条，参加者可得100元消费券；没有小盒放有“奖”字条，参加者可得50元消费券. （ⅰ）求，； （ⅱ）记一个游戏活动参加者参加一次活动获得消费券总数为，当时，求的数学期望，并判断游戏活动参加者所得奖券的平均值能否超过100元. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，. 【答案】(1) (2)（i），； （ii），可以 【分析】（1）根据线性回归方程计算； （2）（i）利用全概率公式计算； （ii）计算概率，写出分布列，计算数学期望判断即可. 【详解】（1）设，则，，，，，， 所以，， 所以 ， 而， 所以，， 所以关于的经验回归方程为. （2）（i）由题意得，， 由全概率公式得， ； （ii）由题意得，， 则时，参加者得到50元消费券的概率为， 所以的分布列为： ， 所以游戏活动参加者所得奖券的平均值可以超过100元. 3．（2025·广东·一模）近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销量千辆 (1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量； (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？ 参考公式：． 【答案】(1)，千辆； (2)预计最多可调整人去其他部门． 【分析】（1）根据所给数据计算，即可得到关于的线性回归方程，由此可得结果. （2）根据条件可得培训后能使用人工智能工具的人数，计算，根据宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前可得结果. 【详解】（1）由题意得， ， 所以，， 所以关于的线性回归方程为， 由题意得，年月份的月份代码为，当时，， 所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆． （2）记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”， 则， 设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为， 设为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，故， 调整后年净利润预计为：万元， 由题意得， 解得， 所以预计最多可调整人去其他部门． 4．（2025·海南·三模）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第 轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）按照试验规则，分别求出直接摸出红球和先摸出黑球且试验成功的概率，然后利用互斥事件概率加法公式求解即可； （2）先根据给定的回归方程相关公式计算出，从而求出经验回归方程，再根据试验轮数足够大时x的变化趋势预测试验成功志愿者的比例； （3）通过对试验成功概率的递推关系进行分析，利用放缩法证明即可. 【详解】（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为， 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为； （2） ， 所以，则所求经验回归方程为， 当试验轮数足够大，即足够大时，x接近于0，则y接近于， 故预测成功志愿者的比例为； （3）依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能，直接摸出白球，概率为， 或者摸出黑球后再摸出白球，概率为， 所以， 则，因此. 【点睛】关键点点睛：（3）解答的关键在于求出试验失败的概率，然后利用乘法公式及对立事件的概率公式求出试验成功的概率，利用放缩法证明. 5．（2018·湖北荆州·一模）已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 【答案】(1)适宜 (2) (3) 【分析】(1)散点图的变化趋势不是线性的，所以更适宜； (2)对函数两边取对数得，再根据数据可得，即可得到答案； (3) 将代入回归方程即可求鸡的时段产蛋量，继而求出时段投入成本的预报值. 【详解】（1）适宜； （2）由得， 令， ， ， 由图表中的数据可知， ， 所以， 则关于的回归方程为； （3）时，由回归方程，， 即鸡舍的温度为时，即的时段产量的预报值为，投入的陈本预报值为. 6．（2024·吉林长春·三模）龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. (1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 【答案】(1) (2) (3)①最大值为 ，最小值为；②证明见解析 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的回归方程； （2）由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解； ②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【详解】（1）解：剔除第10天的数据，可得， ， 则， 所以， 可得，所以. （2）解：由题意知，其中， 所以，又由， 所以是首项为1的常数列，所以 所以，又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以. （3）解：①当为偶数时，单调递减， 最大值为； 当 为奇数时，单调递增，最小值为， 综上可得，数列的最大值为，最小值为. ②证明：对任意总存在正整数，其中 表示取整函数， 当 时，， 所以数列收敛. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 7．（2023·全国·模拟预测）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，． (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）． (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数． （i）记，．证明：． （ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）． (3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势． 注：参考公式与参考数据．；；． 【答案】(1)0.70 (2)（i）证明见解析；（ii） (3)答案见解析 【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可； （2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的与 得值，然后用“斯皮尔曼相关系数”的公式进行计算即可； （3）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可 【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以 ， ， 从而和的平均数都是． 因此， ， 同理可得， 由于 ， 所以； （ii）由题目数据，可写出与的值如下： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20 所以，并且． 因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是 （3）答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 8．（2023·福建厦门·二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5． (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计． (ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数． 附：样本相关系数，，，， 【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强. (2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户. 【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强. （2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值； (ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数. 【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关. 因为, 所以 , 所以 , 所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强. （2）(i) ， 要使取得最小值，当且仅当. (ii) 由(i)知 ， 所以y关于x的经验回归方程，又， 所以当 时，则， 所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $