第4章因式分解单元测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第4章因式分解单元测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共10题.共30分） 1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.x+4)x-4=x2-16 B.x2+2x+1=xx+2+1 C.ab2+a=a(b+1) D.4m2+4m+1=(2m+1)2 2.把多项式2a2m-6a2因式分解，结果正确的是() A.2a(am-3) B.2a2(m-3) C.m(a-3)2 D.m(a+3)(a-3 3.下列因式分解中，结果正确的是() A.4x2-1=4x+1(4x-1 B.-m2+9=m+3)m-3 C.x4-16=x2-4)x2+4 D.4-(2m-n)2=(2+2m-n)(2-2m+n） 4.若ABC三边a,b,c满足a2-b2+ca-b=0,则ABC是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 5.因式分解x2+mx-12=x+p)(x+q),其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值 是() A.1 B.4 C.11 D.12 6.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：α-b,m-n,8, a+b,a+b,m,分别对应下列六个字：爱，我，丰，城，学，校.现将 8ma2-b2)）-8na2-b2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.丰城爱学 B.我爱丰城 C.丰城学校 D.我爱学校 7.若a≠b,且a2-2a=3,b2-2b=3,则a+b的值是() A.2 B.-2 C.3 D.-3 试卷第1页，共3页 8.己知a=2026x+2025,b=2026x+2026,c=2026x+2027,那么 a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 9.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如： 5=32-22,5就是一个“智慧数”.下列各数不是“智慧数”的是() A.15 B.16 C.17 D.18 10.密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码， 将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y-9y.将其分解因式为 y(x-3x+3),若取x=22,y=26,则有y=26,x-3=19,x+3=25,其中26,19， 25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519.已知多项式 a-16b4,当a,b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8,4， 则该多项式生成的密码为(). A.4184 B.4084 C.4284 D.4384 二、填空题（每题3分，共6题.共18分） 1.分解因式：x3-9x炒2=一 2.因式分解：x3-2x2y-7xy2-4y3= 3.若关于x的二次三项式x2-mx+6有一个因式为x-2,则m的值为」 4.多项式x2+5x+b因式分解的结果为ax+1(x+b),则a+b的值为 5.若m+n=5,则2m2+4mn+2n2-6的值为 6.已知三角形的三边为a,b,c,满足a2+b2-12a-16b+100=0,c为最长边且为偶数，则 该三角形的周长为， 三、解答题（每题9分，共8题.共72分） 1.把下列各式因式分解： (1)6m3-15m; (2)ax2-2ax+a. 2.1)计算：2--+目+- (2)分解因式：3ax2-6a.y+3ay2 3.分解因式：m3-4m. 试卷第1页，共3页 4.自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的 世界中实现自我价值.通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力， 实现终身成长.例：已知二次三项式x2-3x+m分解因式后，有一个因式(x+2),求另一个 因式及m的值. 解：设另一个因式为(x+m),得x2-3x+m=(x+2)(x+n), 则x2-3x+m=x2+(n+2)x+2n, .n+2=-3,2n=m,解得m=-10,n=-5, :另一个因式为(x-5),m的值为-10. 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若x2+bx+c=(x-2)(x+1),则b=, C= (2)已知二次三项式3x2+2x-k分解因式后，有一个因式(3x-1),求另一个因式以及k的值. (3)若(x+a)(x+b)=x2-3x-1,则a+b+ab= (4当多项式x2-mx+n(m,n是常数)分解因式后，有一个因式是x-2)时，直接写出代 数式的值。 5.已知a+b=2,ab=2,求2a2b+2ab2的值. 6.已知9m2-n+c=0,n2-3m+4c=0. (1)若c=0,m,n均为正数， ①当m=亏时，求的值： ②求”的值： (2)若c=3m-n,且c<0,则m+n 0(填“><”或“=)，请说明理由. 7.配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分 通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.定义：若一个整数能表示成 p2+g2(p、q为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”. (1)判断17是否为“圆梦数”，并说明理由； (②若A、B均为圆梦数”，其中4为奇数，B为偶数，证明：4：B为圆梦数 2 8.材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因 试卷第1页，共3页 式的方法还有分组分解法、添项法等等 ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法， 例如：x2+xy+x2+2xy+y2=(x2+xy)+x2+2xy+y2）=x(x+y)+(x+y)2=(x+y)2x+y). ②添项法：给一个多项式添加一项后，再减去这一项，然后进行适当分组，最后运用提公因 式法或公式法继续分解的方法， 例如：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a2-4a2=(x+a2-(2a2=(x+3a(x-aj 请你根据上述材料解答下列问题： (1)因式分解：x2-y2+3x-3y; (②)已知S=x2+4x+k(x是整数，k是常数)，要使S能够表示成两个整数平方和的形式， 则k的值为 ·(写出一个符合条件的数即可) (3)对于任意的整数a、b、c、d,若m=a2+b2,n=c2+d2,判断m是否能够表示成两个 整数平方和的形式，并说明理由. 试卷第1页，共3页 第4章因式分解单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共10题.共30分) 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且等式成立，据此进行逐项分析，即可作答 【详解】解：A：左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B、右边不是积的形式，不是因式分解； C、，不是因式分解； D、是因式分解； 故选：D 2．把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 结果为 ， 故选：B． 3．下列因式分解中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 利用公式法分别将各选项分解因式，进而判断得出即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选：D． 4．若三边a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，将方程因式分解得，由于三角形三边之和，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 5．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 6．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，8，，，m，分别对应下列六个字：爱，我，丰，城，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．丰城爱学 B．我爱丰城 C．丰城学校 D．我爱学校 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 又, , , ，对应汉字：丰、城、爱、我， 组合为“我爱丰城”， 故选：B． 7．若，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．由已知条件，通过将两个方程相减并因式分解，可求出的值． 【详解】解：∵，， 将两式相减：， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．已知，，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题的关键． 由的值，求出的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，，，   ∴， ， ，   故选：D． 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 10．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 先利用计算公式，将变形为，结合因式分解的公式，得到，对 部分先提取公因式y，再利用十字相乘法进行因式分解，得到，再整体提取公因式，对余下部分利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 3．若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法． 根据一个因式为得到另一个因式应为，计算，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的二次三项式有一个因式为， ∴另一个因式应为， ∵， ∴． 故答案为：5． 4．多项式因式分解的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 5．若，则的值为 ． 【答案】44 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式，再代入求值是解题的关键． 将代数式因式分解，利用完全平方公式简化后代入已知条件计算． 【详解】解： ， 当时， 原式  ． 故答案为：． 6．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∵三角形的三边为，满足， ∴， ∴， ∵c为最长边， ∴， ∵c为偶数， 故或或， 则或或， ∴该三角形的周长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题(每题9分,共8题.共72分) 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记提公因式法、公式法因式分解是解决问题的关键． （1）提公因式因式分解即可得到答案； （2）先提公因式，再由完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（1）计算：． （2）分解因式： 【答案】（1）5，（2） 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和平方，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂和平方，然后计算加减即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 3．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式．先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 5．已知，，求的值． 【答案】；8． 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和整体代入思想，掌握提取公因式将代数式转化为已知条件的形式，再整体代入求值是解题的关键． 先提取公因式，将代数式转化为含和的形式，再整体代入已知条件求值． 【详解】解：原式． 当，时， 原式． 6．已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【答案】(1)①② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数求值，求一个数的立方根，因式分解等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）①代数求值即可； ②表示出，代入求值即可； （2）原式进行相减，因式分解整理，然后进行分析即可． 【详解】（1）解：①将，代入得， 解得； ②将代入和得， ，， ∴，， ∵，均为正数， ∴， 解得， ∴ ∴； （2）解： 由得，， 将代入上式得，， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 7．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 【答案】(1)是“圆梦数”，理由见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，核心是紧扣“能表示为两个整数的平方和的正整数是圆梦数”这一关键． （1）判断是否为“圆梦数”，只需找到两个整数，使它们的平方和等于，若能找到，则是“圆梦数”，反之则不是； （2）要证明是“圆梦数”，需先根据“圆梦数”定义设出、的表达式，再对进行代数变形，将其转化为两个整数的平方和形式，同时验证变形后的结果为整数，即可完成证明． 【详解】（1）解：∵，且4、1均为整数， ∴是“圆梦数”； （2）证明：设，， 则 ． ∵为奇数，为偶数， ∴一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数；同为奇数或同为偶数， 令，，则， 当同为奇数时，均为奇数，则，均为整数， 当同为偶数时，均为偶数，，均为整数， ∴为“圆梦数”． 8．材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如：． ②添项法：给一个多项式添加一项后，再减去这一项，然后进行适当分组，最后运用提公因式法或公式法继续分解的方法． 例如：． 请你根据上述材料解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知（x是整数，k是常数），要使S能够表示成两个整数平方和的形式，则k的值为________．（写出一个符合条件的数即可） (3)对于任意的整数a、b、c、d，若，，判断是否能够表示成两个整数平方和的形式，并说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)能，证明见解析 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、完全平方公式以及多项式乘以多项式是解题的关键． （1）前半部分进行公式法因式分解，后半部分提取公因数，然后提取公因式即可得出结果； （2）根据题意将变形成，即可得出当为一个整数的平方时，可满足题意要求； （3）将m，n代入后运用分组分解法和添项法进行因式分解，即可证明． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 若要满足S能够表示成两个整数平方和的形式， 即为一个整数的平方，如、等均满足要求， 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：能够表示成两个整数平方和的形式，理由如下： ∵a、b、c、d为整数， ∴，也为整数， ∴能够表示成两个整数平方和的形式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $