阅读理解题 专题复习（热点+高频+类型齐全+详细解析）2025- 2026学年北师大版八年级数学下册

热点+高频+类型齐全+详细解析——2026年北师大版八下数学《阅读理解题》专题复习 第一大类：数形结合，与乘法公式有关的阅读理解题 1. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积 2. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式 . 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）. 如图3中的几何体的体积为 ， 如图4中的几何体的体积为 ， 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：= .（结果写成整式的积形式） 【知识运用】 （1）因式分解：= . （2）已知，，则的值为 . 3. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 4. [阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则______． 5. 综合与实践： 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式． 探索整式乘法的一些法则和公式． （1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ． （2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ； （3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，，，，长方形①的体积为． 类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简） （4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ． （5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 第二大类：与不等式（组）有关的阅读理解题 6. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得① ② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为_______； （2）解一元二次不等式； （3）解分式不等式 7. [实际问题] 小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿做好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？ [类比探究] 为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题． 探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC = a，AC = b，AB = c，则a + b与c之间有什么数量关系？ 解：在△ABC中，∵AC⊥BC ∴BC2 + AC2 = AB2，即a2 + b2 = c2 ∵（a-b）2≥0 ∴a2 + b2 - 2ab≥0 ∴a2 + b2≥2ab ∴c2≥2ab ∴c2 + a2 + b2≥2ab + a2 + b2 ∴2c2≥（a+b）2 ∵a，b，c均大于0 ∴a + b与c之间的数量关系是a + b≤c． 探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？ 解：∵AB⊥BC，AC⊥CD ∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ∴a2 + b2 + c2 = d2 ∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0 ∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc 将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc ∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc ∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2 ∴ ____ d2≥（a+b+c）2 ∵a，b，c，d均大于0 ∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤ _________ d． 探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线， AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，则a + b + c + d与e之间的数量关系是 _________ ． [归纳结论] 当a1 > 0，a2 > 0，…an > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + an2 = m2，则a1+ a2 + … + an，与m之间的数量关系是 _________ ． [问题解决] 小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_________米． [拓展延伸] 公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为400平方米，则水池的最大周长为_________米． 第三大类：新定义类型 8. 图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 9. 【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为 ； 【模型应用】 （2）如图2，P为等边△ABC内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接的度数是 ；如果，则 ； （3）如图3，点P是等腰直角中内一点， ，且，，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则的度数是是 ；的长为是 ； 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤⑥平分，恒成立的结论有 　 　 ． 【拓展提高】 （5）如图5，在中，，，若点是内一点，则的最小值为 ． （6）如图6，，，则BD的长为 ． 10. 【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式的一个子集 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 第四大类：坐标系中的阅读理解题 11. 平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． 　　 　 　 （1）如图①，在菱形中，若点，则点B坐标为 ． （2）如图②，线段、关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为 ． （3）如图③，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标为 ． （4）如图④，已知正方形的边长为5，E、F分别是边、上的点，、交于点P，，写出求长的解题思路． 12. 【问题情境】 小明在探究平面直角坐标系中图形的平移规律的综合实践课上，作了如下操作． 如图1，他在平面直角坐标系的坐标轴上选取了两点，，并用直尺过，两点画出直线，他发现直线上的任意一点沿直线移动时，其坐标变化是有规律的． 【发现规律】 （1）将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了1个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；因此，他归纳：将直线上任意一点沿直线平移至点，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________（用含，的式子表示）； 【规律运用】 （2）如图2，三角形的一边与直线重合，三角形三个顶点坐标为，，，将三角形沿直线平移至三角形，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，求点的坐标．（（1）中规律可直接使用） 【拓展探究】 （3）①小明在图2中画出三角形，并连接平移前后的三对对应顶点，他发现连接各组对应点的线段具有____________的位置关系． ②连接，，请直接写出三角形的面积为__________． 13. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为___________； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当___________时，函数有最小值，最小值为___________； ②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________； （4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________． 第五大类：举一反三图形变式 14.班级数学兴趣小组开展“直角三角板拼拼拼”活动．爱思考的小华拿到了两块相同的直角三角板，已知三角板的最小边长为．他先把两块三角板的斜边拼在一起，并画出如图1所示图形． 活动一：将一块三角板固定，另一块三角板以角的顶点为中心，按逆时针方向旋转，如图2． （1）若旋转到两块三角板较长直角边垂直，连接两角顶点，如图3所示，则△ABD的面积为__________； （2）在旋转过程中，小华想探究两直角顶点连线与角顶点连线的位置关系，设旋转角为α，若旋转角为α满足，则这两条连线有什么位置关系？写出你的结论，并说明理由． （3）活动二：将一块三角板固定，另一块直角三角板沿着斜边所在射线向上平移dcm，两直角顶点连线与斜边所在射线交点设为F，探究：当为等腰三角形时，求d的值为多少？(直接写出答案) 15. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在△ABC中，，，点D，E在BC边上，且，求证：． ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段，，之间的数量关系； ②小强同学经过分析后，将，分别沿，进行翻折，得到和，如 图3，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的分析，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答：如图4，在△ABC中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形ABCD中，，，．若，，，求的长． 16. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB=CD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线． 根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 17. 【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 18. 【问题探究】 （1）已知：在锐角中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，．求证：． 【思维提升】 （2）如图2，在中，以为边向外作等边，连接，，，，求长． 【拓展应用】 （3） 如图3，在中，，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段，求的最小值． 热点+高频+类型齐全+详细解析——2026年北师大版八下数学《阅读理解题》专题复习解析 第一大类：数形结合，与乘法公式有关的阅读理解题 1. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积 【答案】（1）（2m+n）（m+3n）． （2）272 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，代数式2m2+7mn+3n2表示长方形纸片分成12块图形的面积之和，长方形的纸片的面积还可以用长×宽，即（2m+n）（m+3n）； （2）根据小长方形的周长是20，得到m+n＝10；每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，得到m2﹣n2＝40；根据上述关于m、n的方程求出m，n的值代入（1）中的代数式即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 长方形纸板分成12块，其中2块边长为m的大正方形的面积为2m2； 3块边长为n的小正方形的面积为3n2； 7块长为m，宽为n的全等小长方形的面积为7mn． ∴代数式2m2+7mn+3n2表示的是长方形纸板分成12块图形的面积之和． ∵长方形纸板的边长分别为：（2m+n），（m+3n）． ∴2m2+7mn+3n2＝（2m+n）（m+3n）． 故答案为：（2m+n）（m+3n）． 小问2详解】 由题意得， ． 解得． ∴长方形纸板的面积为：（2m+n）（m+3n）＝17×16＝272． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，主要用到以图形面积为背景的二次三项式的因式分解以及平方差公式的应用． 2. 【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式 . 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）. 如图3中的几何体的体积为 ， 如图4中的几何体的体积为 ， 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：= .（结果写成整式的积形式） 【知识运用】 （1）因式分解：= . （2）已知，，则的值为 . 【答案】知识再现：a2-b2=(a+b)(a-b)；知识迁移：a3-b3；a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)= (a-b)( a2+ab+b2)；=(a-b)( a2+ab+b2)；知识运用：（1） (2x-1)( 4x2+2x+1)（2）100. 【解析】 【分析】知识再现：根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； 知识迁移：图三的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为a3-b3;图4的几何体由3个几何体拼接而成，故可写出；再根据体积相等，故可写出等式； 知识运用：（1）根据公式直接因式分解即可；（2）先利用完全平方公式求出a2+b2，再根据题中求得的公式进行求解. 【详解】知识再现：根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于、的等式a2-b2=(a+b)(a-b) 知识迁移：如图3中的几何体的体积为a3-b3; 图4几何体体积为a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)= (a-b)( a2+ab+b2) ； 根据它们的体积关系得到关于、的等式为：=(a-b)( a2+ab+b2) 知识运用：（1）=(2x)3-1=(2x-1)( 4x2+2x+1) （2）∵，， ∴(a-b)2=a2+b2-2ab=16， ∴a2+b2=16+2ab=22， ∴=(a-b)( a2+ab+b2)=4×（22+3）=100. 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解. 3. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】（1）③ （2） （3）代数式有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键： （1）如果两个多项式A、B满足，那么A就叫做完全平方式，据此求解即可； （2）根据题意可知两平方项为，据此确定一次项即可得到答案； （3）仿照题意利用完全平方公式把原式变形为，再根据偶次方的非负性即可得到答案． 【小问1详解】 解：①不是完全平方式；②不是完全平方式；③是完全平方式；④不是完全平方式， 故答案为：③； 小问2详解】 解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 4. [阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则______． 【答案】（1）9 （2） （3）6 （4） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 由于，所以， 即的最小值为6； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法在因式分解、解方程、求最值问题中的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 5. 综合与实践： 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式． 探索整式乘法的一些法则和公式． （1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ． （2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ； （3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，，，，长方形①的体积为． 类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简） （4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ． （5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3），； （4） （5）252 【解析】 【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案； （3）根据长方体的体积公式即可得； （4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案； （5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 可得一个多项式的分解因式为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，得到的几何体的体积为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：， 长方体②的体积为， ， 长方体③的体积为， 故答案为：，． 【小问4详解】 解：由（2）和（3）得：， 则可以得到恒等式（将一个多项式因式分解）为， 故答案为：． 【小问5详解】 解：，， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． 第二大类：与不等式（组）有关的阅读理解题 6. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得① ② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为_______； （2）解一元二次不等式； （3）解分式不等式 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （2）利用因式分解法得到，把原不等式可转化①或②，然后解两个不等式组即可； （3）利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可． 【小问1详解】 解：， ， ①或②， 解①得；解②得， 故一元二次不等式的解集为：或； 【小问2详解】 ， ， ①或②， 解①得；解②无解， 故一元二次不等式的解集为：； 【小问3详解】 ． ①或②， 解①得；解②得． 故不等式的解集为或． 【点睛】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则． 7. [实际问题] 小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿做好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？ [类比探究] 为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题． 探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC = a，AC = b，AB = c，则a + b与c之间有什么数量关系？ 解：在△ABC中，∵AC⊥BC ∴BC2 + AC2 = AB2，即a2 + b2 = c2 ∵（a-b）2≥0 ∴a2 + b2 - 2ab≥0 ∴a2 + b2≥2ab ∴c2≥2ab ∴c2 + a2 + b2≥2ab + a2 + b2 ∴2c2≥（a+b）2 ∵a，b，c均大于0 ∴a + b与c之间的数量关系是a + b≤c． 探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？ 解：∵AB⊥BC，AC⊥CD ∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ∴a2 + b2 + c2 = d2 ∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0 ∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc 将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc ∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc ∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2 ∴ ____ d2≥（a+b+c）2 ∵a，b，c，d均大于0 ∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤ _________ d． 探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线， AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，则a + b + c + d与e之间的数量关系是 _________ ． [归纳结论] 当a1 > 0，a2 > 0，…an > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + an2 = m2，则a1+ a2 + … + an，与m之间的数量关系是 _________ ． [问题解决] 小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_________米． [拓展延伸] 公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为400平方米，则水池的最大周长为_________米． 【答案】探究2：3；；探究3：；[归纳结论]；[问题解决]3；[拓展延伸]40 【解析】 【分析】探究2，根据a2 + b2 + c2 = d2，即可合并，再根据完全平方公式即可得到结论； 探究3，根据a2 + b2 + c2 +d2=e2，仿照探究1,2的结论即可求解； [归纳结论]根据探究1,2,3故可得到结论； [问题解决]由探究得到的结论及长2+宽2+高2=32，故可代入求解； [拓展延伸]由探究得到的结论及a2+b2+c2+d2=400，故可代入求解． 【详解】探究2，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？ 解：∵AB⊥BC，AC⊥CD ∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ∴a2 + b2 + c2 = d2 ∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0 ∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc 将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc ∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc ∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2 ∴ 3d2≥（a+b+c）2 ∵a，b，c，d均大于0 ∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤d． 探究3：∵在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE ∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ，AD2 + ED2 = AE2 由AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e， 可得a2 + b2 + c2 +d2=e2， ∴a + b + c + d≤ ∴a + b + c + d与e之间的数量关系是； [归纳结论] ∵a2 + b2 + c2 = d2，a，b，c，d均大于0，可得a + b + c≤d； a2 + b2 + c2 +d2=e2，a，b，c，d，e均大于0，可得 ∴当a1 > 0，a2 > 0，…an > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + an2 = m2，则a1+ a2 + … + an，与m之间的数量关系是：； [问题解决]由题意及勾股定理可得长2+宽2+高2=32 ∴长+宽+高≤×3=3， ∴电梯的长、宽、高和的最大值是3米； [拓展延伸]根据题意及正方形的面积可得a2+b2+c2+d2=400， ∴， ∴则水池的最大周长为40米； 【点睛】此题主要考查勾股定理的探究应用，解题的关键是熟知勾股定理及完全平方公式的运用． 第三大类：新定义类型 8. 图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3） 【解析】 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义可得，，结合即可求解； （2）延长至，使得，证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，等量代换可得； （3）延长至，使得，证明，推出，过点D作交于点N，解即可求解． 【详解】（1）解： 四边形为对角互补四边形， ，， ， ， ， , 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 平分． 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和△CDM ， ， ， ， ， ， ， ， 过点D作交于点N， ， N为中点， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是理解“对角互补四边形”的定义，正确作出辅助线构造全等三角形． 9. 【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为 ； 【模型应用】 （2）如图2，P为等边△ABC内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接的度数是 ；如果，则 ； （3）如图3，点P是等腰直角中内一点， ，且，，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则的度数是是 ；的长为是 ； 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤⑥平分，恒成立的结论有 　 　 ． 【拓展提高】 （5）如图5，在中，，，若点是内一点，则的最小值为 ． （6）如图6，，，则BD的长为 ． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）①②③⑤；（5）；（6） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识： （1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可； （2）由与都是等边三角形，得出，，，易证，由证得，得出，，则，推出，得出是直角三角形，得出，则，分别求出的面积即可得出结果． （3）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明， （4）①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出．③先证明，即可判断出，③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；⑥根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误； （5）根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题． （6）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴．， ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （2）∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴ 作交于点 ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴； 故答案为：； （3）如图，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点B，点D共线， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （4）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 没有条件证出，④错误； ∵， ∴， ∴， ∴结论⑤正确． 过点C作于H，于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故⑥错误，符合题意； 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． （5）解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、PP′，如图所示， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值就是的值， 即的最小值就是的值， ∵， ∴， 又 ∴， ∴， 故答案为：． （6）过点A作，且，连接，如图所示： 则是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△DCE中，， ∵， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 10. 【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式的一个子集 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）A （3） （4）120 （5） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及新定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）由题意根据“子集”的定义进行解答即可； （2）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （3）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （4）由题意根据“子集”的定义得到，．即可代入原式计算求出值； （5）根据题题意解得．由m，n为正整数，求的最大值，则m最大为2，n最小为10，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）． 故答案为：．（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：解不等式组A得：； 解不等式组B得：； 解不等式组M得：． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． 【小问3详解】 解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为．且． ∴． 故答案为：． 【小问4详解】 解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴． ∴． ∵D是E的“子集”，D：， ∴． ∴． ∴． 故答案为：120． 【小问5详解】 解：∵不等式组G：有解， ∴解集为：． ∵不等式组H：是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值为． 故答案为：． 第四大类：坐标系中的阅读理解题 11. 平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． 　　 　 　 （1）如图①，在菱形中，若点，则点B坐标为 ． （2）如图②，线段、关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为 ． （3）如图③，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标为 ． （4）如图④，已知正方形的边长为5，E、F分别是边、上的点，、交于点P，，写出求长的解题思路． 【答案】（1） （2） （3），， （4）由勾股定理可求的长 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，根据勾股定理求得，即可得到； （2）由点B、C关于点P对称，先求出P点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点C的坐标； （3）分三种情况，由平行的四边形的性质得出答案； （4）①以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系；②求点P的坐标；③由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形 ∴， 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 ∵、关于点P对称， ， ∴点P的坐标为 设点 ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 当平行且等于时，四边形是平行四边形， ∵，N在y轴上 ∴M的横坐标为 当平行且等于时，四边形是平行四边形 ∵，N在y轴上 ∴M的横坐标为 当为对角线时，四边形是平行四边形 ∵， ∴M的横坐标为 故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为，， 故答案为：，，． 【小问4详解】 解题思路是：①以点B为坐标原点 ，建立平面直角坐标系， ②求点P的坐标， ③由勾股定理可求的长． 【点睛】此题考查了坐标与图形，菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12. 【问题情境】 小明在探究平面直角坐标系中图形的平移规律的综合实践课上，作了如下操作． 如图1，他在平面直角坐标系的坐标轴上选取了两点，，并用直尺过，两点画出直线，他发现直线上的任意一点沿直线移动时，其坐标变化是有规律的． 【发现规律】 （1）将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了1个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；因此，他归纳：将直线上任意一点沿直线平移至点，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________（用含，的式子表示）； 【规律运用】 （2）如图2，三角形的一边与直线重合，三角形三个顶点坐标为，，，将三角形沿直线平移至三角形，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，求点的坐标．（（1）中规律可直接使用） 【拓展探究】 （3）①小明在图2中画出三角形，并连接平移前后的三对对应顶点，他发现连接各组对应点的线段具有____________的位置关系． ②连接，，请直接写出三角形的面积为__________． 【答案】（1）；（2）；（3）平行或重合，． 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，平移的性质，平行线的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平移的性质即可求解； （2）利用（1）中得到的规律，求出的值，即可求解； （3）根据平移的性质即可得到对应点连线的位置关系，等定系数法求出直线的解析，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点， ∴将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了4个单位长度， ∵，， ∴点向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴横坐标增加了个单位长度，纵坐标则减少了个单位长度， ∵点沿直线平移至点，若点的横坐标为， ∴点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴横坐标增加了个单位长度，纵坐标则减少了个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点， 故答案为：； （2）∵点的对应点是点， ∴由（1）中结论可得： ， ∴， ∵点的对应点是点， ∴， ∴， 联立，得： ， 解得：， ∴把代入， ∴， ∵，点的对应点是点， ∴点的横坐标为：，纵坐标为， ∴点； （3）对应点的连线平行或重合，理由如下： 如图， ∵将三角形沿直线平移至三角形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ∴根据平移的性质可知，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：， ∵点都在直线上， ∴与重合， ∴对应点的连线平行或重合， 故答案为：平行或重合； 由（2）可知，点，，交轴于点如图∶ 设直线的解析式为：， 把，，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴三角形的面积为， 故答案为： ． 13. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为___________； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当___________时，函数有最小值，最小值为___________； ②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________； （4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________． 【答案】（1）①2；②见解析 （2）①，0；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据解析式即可求出的值； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解； （4）绕点旋转形成的直线簇，找到满足条件的临界位置即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， 故的值为， 故答案为：2； ②函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示： 交点坐标为和 故当时，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：绕绕点旋转形成的直线簇： 当直线平行于直线左侧部分时， 当直线经过点时， 故当时，直线与有2个交点， 故答案为：． 【点睛】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． 第五类型：举一反三图形变式 14.班级数学兴趣小组开展“直角三角板拼拼拼”活动．爱思考的小华拿到了两块相同的直角三角板，已知三角板的最小边长为．他先把两块三角板的斜边拼在一起，并画出如图1所示图形． 活动一：将一块三角板固定，另一块三角板以角的顶点为中心，按逆时针方向旋转，如图2． （1）若旋转到两块三角板较长直角边垂直，连接两角顶点，如图3所示，则△ABD的面积为__________； （2）在旋转过程中，小华想探究两直角顶点连线与角顶点连线的位置关系，设旋转角为α，若旋转角为α满足，则这两条连线有什么位置关系？写出你的结论，并说明理由． （3）活动二：将一块三角板固定，另一块直角三角板沿着斜边所在射线向上平移dcm，两直角顶点连线与斜边所在射线交点设为F，探究：当为等腰三角形时，求d的值为多少？(直接写出答案) 【答案】（1） （2），详见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，由题意得，可求得及的长，从而可求得三角形的面积； （2）过点A作于点M，交于点N．由等腰三角形的性质易得，由，则可得，再由等腰三角形的性质可得； （3）分两种情况：；，分别计算出d的值即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点H，如图， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 解： 理由：当是，过点A作于点M，交于点N． ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 又， ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图； 此时点D与点F重合，则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴, 即； 当时，如图， 则， ∴； 取中点P，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查了含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质等知识，综合运用这些知识是解题的关键． 15. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在△ABC中，，，点D，E在BC边上，且，求证：． ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段，，之间的数量关系； ②小强同学经过分析后，将，分别沿，进行翻折，得到和，如 图3，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的分析，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答：如图4，在△ABC中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形ABCD中，，，．若，，，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． （1）①利用旋转的性质，证明△AED≌△AFE即可； ②根据翻折的性质得，，，，再利用勾股定理即可解决问题； （2）作，使，连接，．证明，得出，，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图5中，在上取一点G，使得，证明△ABE≌△ADG(SAS)，推出，，证明△AFE≌△AFG(SAS)，推出，设，则，， ，在中，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：（1）． ①理由如下： ，， ， 如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 则， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； ②如图3，根据题意可知：，，，， ， ， ； （2）． 作，使，连接，． 则． ∵， ∴． 在和△CAF中， ，，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ． 在和中， ，，， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，，即． （3）如图5，在上取一点G，使得， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，则， ， ， 在中， ， ， ， ． 16. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB=CD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线． 根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】解：（1）SAS；△AFE． （2）∠B+∠D=180°． （3）BD2+EC2=DE2．理由见解析 【解析】 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 详解】解：（1）思路梳理 ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1， AI ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线， 则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG， ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF， 即∠EAF=∠FAG， 在△EAF和△GAF中，， ∴△AFG≌△AEF（SAS）． ∴EF=FG=DG+DF=BE+DF； 故答案为：SAS；△AFG； （2）类比引申 ∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下： ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示： ∴∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC+∠B=180°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：∠B+∠ADC=180°； （3）联想拓展 猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下： 把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示： 则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°， ∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C， ∴∠FAE=∠BAC=90°， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=90°-45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△ADF和△ADE中， ∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴DF=DE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=45°， ∴∠C=∠ABF=45°， ∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD2+BF2=DF2， ∴BD2+EC2=DE2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 17. 【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由角平分线定义得，，再由平行线的性质得，，则，，证出，，进而得出结论； （2）同（1）证出，，进而得出结论； （3）同（1）证出，，进而得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图②， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 即； （2）；理由如下： 如图③， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，， ； （3），理由如下： 如图④， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 18. 【问题探究】 （1）已知：在锐角中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，．求证：． 【思维提升】 （2）如图2，在中，以为边向外作等边，连接，，，，求长． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段，求的最小值． 【答案】（1）证明过程详见解答；（2）4；（3）． 【解析】 【分析】（1）可证明，从而得出结论； （2）作等边三角形，连接，可，从而得出； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到线段，可证得，从而得出，所以点在与定线段成30°的直线m上运动，作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时的最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作等边三角形，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：； （3）解：如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 将绕点A按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∵线段绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在与定线段成30°的直线m上运动， 作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时最小，最小值是的长， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：的最小值为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关注是作辅助线，构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $