专题12.3 复数的几何意义（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，系统梳理复平面（实轴、虚轴）、复数与点/向量的一一对应关系，复数的模及模的几何意义（距离、圆、圆环），复数加减法的几何意义（向量加减），构建从基础表示到综合应用的递进学习支架。 该资料以9大题型为框架，例题与变式题结合，通过坐标表示、象限判断等培养几何直观（数学眼光），参数求解问题发展推理能力（数学思维），向量与坐标语言强化表达（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题12.3 复数的几何意义（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 复数的坐标表示】 2 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 3 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 3 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 4 【题型5 复数的向量表示】 5 【题型6 复数的模的计算】 6 【题型7 由复数模求参数】 7 【题型8 复数的模的几何意义】 7 【题型9 复数加、减法的几何意义的应用】 9 知识点1 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 【题型1 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【变式2-1】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【变式2-3】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 【例3】（24-25高一下·浙江·期中）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（24-25高一下·北京丰台·月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（24-25高一下·河南·月考）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例4】（24-25高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【变式4-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【题型5 复数的向量表示】 【例5】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数1、、、，在复平面内画出这些复数对应的向量. 【变式5-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 知识点2 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数的几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【注意】 1．a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环. 2．|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆. 【题型6 复数的模的计算】 【例6】（24-25高一下·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【变式6-1】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【变式6-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值. 【变式6-3】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【题型7 由复数模求参数】 【例7】（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式7-1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（24-25高三下·河南·月考）设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（    ） A．2i B． C． D． 【变式7-3】（2025·四川攀枝花·三模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型8 复数的模的几何意义】 【例8】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【变式8-1】（25-26高三上·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【变式8-2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【变式8-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 知识点3 复数加法、减法的几何意义 1．复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型9 复数加、减法的几何意义的应用】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【变式9-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 复数的几何意义（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 复数的坐标表示】 2 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 3 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 5 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 6 【题型5 复数的向量表示】 8 【题型6 复数的模的计算】 10 【题型7 由复数模求参数】 12 【题型8 复数的模的几何意义】 13 【题型9 复数加、减法的几何意义的应用】 16 知识点1 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 【题型1 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【解答过程】复数对应的点为， 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【解答过程】复数对应的点，则复数. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义可得，即可求解. 【解答过程】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为. 故选：A. 【变式1-3】（2025高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【解答过程】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【解答过程】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【答案】B 【解题思路】由复平面和复数的概念逐项判断. 【解答过程】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确； B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误； C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确； D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确； 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【解题思路】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【解答过程】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【变式2-3】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【解题思路】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【解答过程】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 【例3】（24-25高一下·浙江·期中）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义求出即可. 【解答过程】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·北京丰台·月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义直接判断. 【解答过程】由 又，则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】利用复数的几何意义可得出结论. 【解答过程】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一下·河南·月考）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【解题思路】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【解答过程】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例4】（24-25高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义即可得解. 【解答过程】根据题意得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【解答过程】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【解答过程】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 【变式4-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解题思路】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 【题型5 复数的向量表示】 【例5】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【解答过程】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D. 【变式5-1】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【解答过程】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数1、、、，在复平面内画出这些复数对应的向量. 【答案】答案见解析 【解题思路】复平面上画出复数对应的向量即可. 【解答过程】设复数1对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数6-7i对应的向量为，其中. 如图所示. 【变式5-3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可； （2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解； （3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解. 【解答过程】（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，； （2）； （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为. 知识点2 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数的几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【注意】 1．a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环. 2．|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆. 【题型6 复数的模的计算】 【例6】（24-25高一下·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【解题思路】利用复数的模的公式计算求解即可 【解答过程】因为复数，所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【解题思路】由复数模长公式直接计算即可. 【解答过程】由题. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值； （2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出. 【解答过程】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合以上两个条件，可得. （2）将代入，可得： . 根据复数模的计算公式可得：. 【变式6-3】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【解答过程】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 【题型7 由复数模求参数】 【例7】（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据复数模的公式求解. 【解答过程】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 【变式7-1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高三下·河南·月考）设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（    ） A．2i B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解. 【解答过程】因为复数z在复平面内对应的点为，所以. 因为，所以，解得. 故选:C. 【变式7-3】（2025·四川攀枝花·三模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解答过程】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【题型8 复数的模的几何意义】 【例8】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【解答过程】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高三上·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【解答过程】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B．    【变式8-2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆； (2)以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【解题思路】（1）根据复数模长的几何意义求解即可. （2）根据复数模长的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2， 即点到原点的距离等于2， 因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可以化为不等式组 不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合． 所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.      【变式8-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 知识点3 复数加法、减法的几何意义 1．复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型9 复数加、减法的几何意义的应用】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解答过程】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解答过程】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为； （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【解答过程】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为； （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【变式9-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $