8.6专题4 多物体组成的系统机械能守恒问题（重难点）-高一物理同步课堂（人教版必修第二册）

8.6专题4 多物体组成的系统机械能守恒问题 精讲考点 考点一 多物体组成的系统机械能守恒问题 1 考点二 非质点类物体的机械能守恒问题 7 考点三 功能关系及其应用 12 考点一 多物体组成的系统机械能守恒问题 考点精讲 1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。 一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示： 2．机械能守恒定律表达式的选取技巧 (1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。 (2)当研究对象为两个物体组成的系统时： ①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。 ②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。 ③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。 3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。 【例1】如图所示，小滑块、的质量均为，套在固定光滑竖直杆上，放在光滑水平面上。、间通过铰链用长为的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为，一水平轻弹簧右端与相连，左端固定在竖直杆上。当时，弹簧处于原长，由静止释放，下降到最低点时变为，整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　） A．、和弹簧组成的系统机械能守恒 B．竖直杆对滑块的弹力始终大于弹簧弹力 C．弹簧弹性势能最大值为 D．滑块的动能达到最大时，受到地面的支持力大于 【例2】如图所示，长为L的轻杆一端连接在光滑活动铰链O上，另一端固定一个质量为4m的小球A，穿过固定板光滑小孔P的足够长细线一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用水平拉力F拉着小球A，使小球A处于静止状态。这时轻杆与竖直方向夹角为53°，A、P间细线与竖直方向夹角为37°，重力加速度为g，小球均可视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)水平拉力F的大小； (2)撤去拉力后，小球A摆至最低点时的速度大小； (3)撤去拉力的一瞬间，小球A的加速度大小和绳AB的张力大小。 【例3】一长为L、质量不计的刚性硬杆，左端通过铰链固定于O点，中点及右端分别固定质量为m和质量为2m的小球，两球与杆可在竖直平面内绕O点无摩擦地转动。开始时使杆处于水平状态并由静止释放，如图1所示，当杆下落到竖直位置时，求在杆中点的球的速率。 【例4】质量分别为和的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离P球处有一个光滑固定转轴Q，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则（重力加速度为）（  ） A．在此过程中小球Q的机械能增加 B．在最低点时小球P和Q的线速度大小相等 C．此时小球Q的线速度为 D．轻质杆对小球Q做功 【例5】如图所示，水平地面上的O处固定一竖直光滑杆，质量为m的小滑块P套在杆上，质量为2m的小滑块Q放在地面上。滑块P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一水平轻弹簧右端与Q相连，左端与固定在地面上的竖直挡板连接。已知Q在初始位置A处时两杆夹角，弹簧为原长，两小滑块均恰好静止。现给滑块Q一水平外力F，使Q从A位置运动到B位置，此处两杆夹角为53°，该过程中P、Q始终在同一竖直平面内，已知弹簧劲度系数，且弹簧始终在弹性限度内，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，。求： (1)滑块Q静止在位置A时，滑块Q受到的摩擦力f大小及支持力大小； (2)若P以向下做匀加速运动，滑块Q到达位置B时的速度大小； (3)若P缓慢向下运动，Q从A位置运动到B位置过程中，力F对滑块Q做的功。 考点二 非质点类物体的机械能守恒问题 考点精讲 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 【例6】如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【例7】如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【例8】如图所示，长度为的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，现让链条由静止释放，不计一切摩擦阻力，重力加速度为，当链条全部离开桌面时，其速度大小为（　　） A． B． C． D． 【例9】如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【例10】如图所示，甲为一长度为的均匀链条，总质量为，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙为两个质量均为的小球，中间用不计质量的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，水平部分和竖直部分细绳的长度均为，小球可以视为质点。不计一切摩擦，用外力使甲和乙静止在图示位置，撤去外力到甲、乙刚好离开桌面。取水平桌面所在的平面为零势能面，重力加速度大小为，这个过程中，下列说法不正确的是（　　） A．甲刚离开桌面时，甲的速度为 B．两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率 C．甲的重力的做功为，乙的重力的做功为 D．甲重力势能的减少量小于乙重力势能的减少量 考点三 功能关系及其应用 考点精讲 1．几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ffx 2.两种摩擦力做功特点的比较 　　　　　　类型 比较 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不同点 能量的转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值 相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 【例11】一游戏装置竖直截面如图所示。固定在水平直轨道A的弹射器、长的传送带BC、水平直轨道CD组成一个高台。高台下方有一质量的小车静止在光滑水平面上，小车上表面是以O为圆心，圆心角的弧形槽，O与G等高，F为圆弧最低点。某次游戏时，弹射器弹簧的弹性势能，质量的小物块从静止弹出，经D点水平飞出后恰好从E点无碰撞进入小车，经过最低点时小车对小物块的弹力。已知传送带以速度顺时针匀速转动，小物块与传送带之间的动摩擦因数，其余轨道均光滑。小物块可视为质点，经过各轨道衔接处和弹射过程的机械能损失忽略不计。，，取重力加速度。求小物块 (1)经过A点时的速度大小； (2)通过传送带摩擦所产生的热量Q； (3)弧形槽的半径R。 【例12】在某智能物流仓库的包裹分拣系统中，水平传送带是核心输送设备。如图所示，某物流分拣中心用水平传送带将质量为m的包裹从A端运送到B端。AB之间的距离为L，传送带始终保持速率匀速运动，包裹与传送带间的动摩擦因数为μ。将包裹轻轻放在传送带上后，包裹在传送带上留下一段长度为的摩擦滑动痕迹。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩擦力对包裹做的功为 B．摩擦力对包裹做的功为 C．摩擦力对传送带做功-μmgl D．一对滑动摩擦力对包裹与传送带系统做功之和为-2μmgl 【例13】如图，用抽水机抽水来灌溉农田，抽水机距离水面的高度为h，出口的横截面积为S，在t时间内出口喷水的质量为m，水的密度为，则在t时间内，抽水机的输出功率是（　　） A． B． C． D． 【例14】如图所示，倾角的固定斜面顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数，过程Ⅰ：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。（弹簧的弹性势能可以表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）（    ） A．P、M两点之间的距离为 B．Q在从P点单向运动到O点的过程中，系统损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点 【例15】图为一“永动机”玩具的模型，abcd是一组光滑细金属双轨，轨道间距l=0.8cm，bc段水平。按下一个隐蔽开关后，把质量m=3.6g的钢球从软木盘中心洞口O无初速度释放，钢球便沿轨道运动至d 点斜向上飞出，速度与水平方向成53°角，之后恰好落到洞口O点附近的G点，接着在洞口附近来回运动一段时间后，再次从洞口无初速度落下，此后不断重复以上过程。不计空气阻力，隐蔽的加速装置在ab段对钢球做功，重力加速度大小 (1)已知钢球直径d=1cm，求钢球在bc段上滚动时，每条轨道对钢球的支持力F。 (2)若将钢球视作质点，G、O、d处在同一高度，G、d水平距离s=60cm，求钢球从d点飞出后能上升的最大高度h。 (3)要使钢球能“永动”，求小球每运动一圈，玩具中隐蔽的加速装置需对小球做的功W。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6专题4 多物体组成的系统机械能守恒问题 精讲考点 考点一 多物体组成的系统机械能守恒问题 1 考点二 非质点类物体的机械能守恒问题 7 考点三 功能关系及其应用 12 考点一 多物体组成的系统机械能守恒问题 考点精讲 1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。 一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示： 2．机械能守恒定律表达式的选取技巧 (1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。 (2)当研究对象为两个物体组成的系统时： ①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。 ②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。 ③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。 3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。 【例1】如图所示，小滑块、的质量均为，套在固定光滑竖直杆上，放在光滑水平面上。、间通过铰链用长为的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为，一水平轻弹簧右端与相连，左端固定在竖直杆上。当时，弹簧处于原长，由静止释放，下降到最低点时变为，整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　） A．、和弹簧组成的系统机械能守恒 B．竖直杆对滑块的弹力始终大于弹簧弹力 C．弹簧弹性势能最大值为 D．滑块的动能达到最大时，受到地面的支持力大于 【答案】AC 【详解】A．整个过程中只有重力和弹簧弹力做功，根据机械能守恒定律的条件，、和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确； B．以、整体为研究对象，系统水平方向先向右加速运动后向右减速运动，所以水平方向所受合力先向右，后向左，因此水平方向加速阶段竖直杆对滑块的弹力大于弹簧弹力，水平方向减速阶段竖直杆对滑块的弹力小于弹簧弹力，故B错误； C．由机械能守恒可得弹簧弹性势能的最大值。故C正确； D．由静止释放，开始向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，的速度达到最大，此时滑块的动能最大，对、和弹簧组成的系统整体受力分析，在竖直方向，根据牛顿第二定律可得 解得。故D错误。 故选AC。 【例2】如图所示，长为L的轻杆一端连接在光滑活动铰链O上，另一端固定一个质量为4m的小球A，穿过固定板光滑小孔P的足够长细线一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用水平拉力F拉着小球A，使小球A处于静止状态。这时轻杆与竖直方向夹角为53°，A、P间细线与竖直方向夹角为37°，重力加速度为g，小球均可视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)水平拉力F的大小； (2)撤去拉力后，小球A摆至最低点时的速度大小； (3)撤去拉力的一瞬间，小球A的加速度大小和绳AB的张力大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）在F作用下，A、B均处于静止状态，对A进行受力分析，设杆中弹力为FN，绳中拉力为T，有， 以B为研究对象，有 解得 （2）当A运动到最低点时，B也到达最低点，此时 在A下摆的过程中，A下降的高度 B下降的高度 在A开始运动至摆到最低点的过程中，根据系统机械能守恒可得 解得 （3）撤去F的一瞬间，A、B沿绳方向加速度相等，即 以A为研究对象，有 以B为研究对象，有 解得， 【例3】一长为L、质量不计的刚性硬杆，左端通过铰链固定于O点，中点及右端分别固定质量为m和质量为2m的小球，两球与杆可在竖直平面内绕O点无摩擦地转动。开始时使杆处于水平状态并由静止释放，如图1所示，当杆下落到竖直位置时，求在杆中点的球的速率。 【答案】 【详解】两球转动的角速度相同，则由圆周运动角速度与线速度的关系知，杆中点的小球的速度为外端小球速度的一半。设中点的小球的速度大小为v，由质点系动能定理（或系统机械能守恒定律）有 解得 【例4】质量分别为和的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离P球处有一个光滑固定转轴Q，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则（重力加速度为）（  ） A．在此过程中小球Q的机械能增加 B．在最低点时小球P和Q的线速度大小相等 C．此时小球Q的线速度为 D．轻质杆对小球Q做功 【答案】C 【详解】BC．对于P球和Q球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则有 两球共轴转动，角速度大小始终相等，根据 则有 联立解得，，故B错误，C正确； AD．对Q分析，根据动能定理有 解得 所以的机械能减少，故AD错误。 故选C。 【例5】如图所示，水平地面上的O处固定一竖直光滑杆，质量为m的小滑块P套在杆上，质量为2m的小滑块Q放在地面上。滑块P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一水平轻弹簧右端与Q相连，左端与固定在地面上的竖直挡板连接。已知Q在初始位置A处时两杆夹角，弹簧为原长，两小滑块均恰好静止。现给滑块Q一水平外力F，使Q从A位置运动到B位置，此处两杆夹角为53°，该过程中P、Q始终在同一竖直平面内，已知弹簧劲度系数，且弹簧始终在弹性限度内，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，。求： (1)滑块Q静止在位置A时，滑块Q受到的摩擦力f大小及支持力大小； (2)若P以向下做匀加速运动，滑块Q到达位置B时的速度大小； (3)若P缓慢向下运动，Q从A位置运动到B位置过程中，力F对滑块Q做的功。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）滑块Q静止在A位置时，两小滑块均恰好静止，对P受力分析有 解得 对P、Q整体有， 解得， （2）Q从A位置运动到B位置过程中，对P有 又 解得 杆连接P、Q，根据关联速度有 解得 （3）Q从A位置运动到B位置过程中，Q通过的位移 解得 摩擦力对Q做的功 解得 弹簧弹力对Q做的功 解得 对P、Q系统有 解得 考点二 非质点类物体的机械能守恒问题 考点精讲 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 【例6】如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【答案】AC 【详解】AB．若要把链条全部拉回桌面上，只要克服垂于桌面外的部分的重力做功即可，至少要克服重力做的功，A正确，B错误； CD．若自由释放链条，只有重力做功整个链条的机械能守恒，取桌面为参考平面，则有 解得，C正确，D错误。 故选AC。 【例7】如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为 然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为 设链条运动至底端的速度为v，有 解得 故选B。 【例8】如图所示，长度为的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，现让链条由静止释放，不计一切摩擦阻力，重力加速度为，当链条全部离开桌面时，其速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设链条的质量为m，重力势能的减小量为 由机械能守恒定律可得 解得 故选A。 【例9】如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【答案】A 【详解】A．甲图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有 解得，故A正确； B．乙图中链条触地时，根据机械能守恒定律有 解得，故B错误； C．甲图中平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，链条在触地之前做加速度逐渐增大，故C错误； D．乙图中，平台右侧悬垂部分与小球总的重力等于链条与小球整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，乙链条在触地之前加速度逐渐增大，对小球进行分析，根据牛顿第二定律可知，链条对小球的拉力在不断减小，故D错误。 故选A。 【例10】如图所示，甲为一长度为的均匀链条，总质量为，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙为两个质量均为的小球，中间用不计质量的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，水平部分和竖直部分细绳的长度均为，小球可以视为质点。不计一切摩擦，用外力使甲和乙静止在图示位置，撤去外力到甲、乙刚好离开桌面。取水平桌面所在的平面为零势能面，重力加速度大小为，这个过程中，下列说法不正确的是（　　） A．甲刚离开桌面时，甲的速度为 B．两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率 C．甲的重力的做功为，乙的重力的做功为 D．甲重力势能的减少量小于乙重力势能的减少量 【答案】D 【详解】A．设桌面所在平面为零势能面，则对甲由机械能守恒定律 解得，甲刚离开桌面时，甲的速度为，故A正确； B．设桌面所在平面为零势能面，则对乙由机械能守恒定律 解得，乙刚离开桌面时，乙的速度为 因为，则。故两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率，B正确； C．甲的重力的做功为 乙的重力的做功为，故C正确； D．由可知重力势能的减少量等于重力做的功，因为 所以甲重力势能的减少量大于乙重力势能的减少量，故D错误。 本题选择不正确的，故选D。 考点三 功能关系及其应用 考点精讲 1．几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ffx 2.两种摩擦力做功特点的比较 　　　　　　类型 比较 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不同点 能量的转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值 相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 【例11】一游戏装置竖直截面如图所示。固定在水平直轨道A的弹射器、长的传送带BC、水平直轨道CD组成一个高台。高台下方有一质量的小车静止在光滑水平面上，小车上表面是以O为圆心，圆心角的弧形槽，O与G等高，F为圆弧最低点。某次游戏时，弹射器弹簧的弹性势能，质量的小物块从静止弹出，经D点水平飞出后恰好从E点无碰撞进入小车，经过最低点时小车对小物块的弹力。已知传送带以速度顺时针匀速转动，小物块与传送带之间的动摩擦因数，其余轨道均光滑。小物块可视为质点，经过各轨道衔接处和弹射过程的机械能损失忽略不计。，，取重力加速度。求小物块 (1)经过A点时的速度大小； (2)通过传送带摩擦所产生的热量Q； (3)弧形槽的半径R。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据能量守恒定律有 解得经过A点时的速度大小 （2）传送带以速度顺时针匀速转动，根据牛顿第二定律有 小物块与传送带共速时有 解得 减速时间 传送带运动位移 共速后二者相对静止，可知小物块相对皮带运动位移 因摩擦产生的热量 （3）小物块平抛的初速度为，小物块恰好从点无碰撞进入小车，根据平抛运动可知 小物块与小车水平方向动量守恒，有 小物块经过最低点时，根据牛顿第二定律有 小物块与小车组成的系统能量守恒 联立方程可得弧形槽半径 【例12】在某智能物流仓库的包裹分拣系统中，水平传送带是核心输送设备。如图所示，某物流分拣中心用水平传送带将质量为m的包裹从A端运送到B端。AB之间的距离为L，传送带始终保持速率匀速运动，包裹与传送带间的动摩擦因数为μ。将包裹轻轻放在传送带上后，包裹在传送带上留下一段长度为的摩擦滑动痕迹。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩擦力对包裹做的功为 B．摩擦力对包裹做的功为 C．摩擦力对传送带做功-μmgl D．一对滑动摩擦力对包裹与传送带系统做功之和为-2μmgl 【答案】B 【详解】AB．设包裹与传送带的速度相等时，所用的时间为t，且包裹相对于地面的位移为x，则 由于包裹在传送带上留下一段长度为的摩擦滑动痕迹，则有 联立解得 根据动能定理可得 联立得摩擦力对包裹做的功为，故A错误，B正确； C．摩擦力对传送带做功为，故C错误； D．一对滑动摩擦力对包裹与传送带系统做功之和为，故D错误。 故选B。 【例13】如图，用抽水机抽水来灌溉农田，抽水机距离水面的高度为h，出口的横截面积为S，在t时间内出口喷水的质量为m，水的密度为，则在t时间内，抽水机的输出功率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设出口喷水的速率为v，则在t时间内出口喷水的质量 则 由功能关系得t时间内，抽水机做的功 则在t时间内，抽水机的输出功率 故选A。 【例14】如图所示，倾角的固定斜面顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数，过程Ⅰ：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。（弹簧的弹性势能可以表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）（    ） A．P、M两点之间的距离为 B．Q在从P点单向运动到O点的过程中，系统损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点 【答案】BC 【详解】A．过程Ⅰ：从P点至O点，设P点至O的距离为，根据动能定理有 解得 设M点至O的距离为，在M点（图中未画出）时速度最大，加速度为0，有 P、M两点之间的距离为 联立解得P、M两点之间的距离为，故A错误； B．Q在从P点单向运动到O点的过程中，系统损失的机械能为，故B正确； C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为，根据能量关系可得 解得，故C正确； D．因为，可得，所以物块Q在O点的加速度不为0，在M点，有 故滑块Q可以静止在M点上方一点，此时有 静摩擦力小于最大静摩擦力，故D错误。 故选BC。 【例15】图为一“永动机”玩具的模型，abcd是一组光滑细金属双轨，轨道间距l=0.8cm，bc段水平。按下一个隐蔽开关后，把质量m=3.6g的钢球从软木盘中心洞口O无初速度释放，钢球便沿轨道运动至d 点斜向上飞出，速度与水平方向成53°角，之后恰好落到洞口O点附近的G点，接着在洞口附近来回运动一段时间后，再次从洞口无初速度落下，此后不断重复以上过程。不计空气阻力，隐蔽的加速装置在ab段对钢球做功，重力加速度大小 (1)已知钢球直径d=1cm，求钢球在bc段上滚动时，每条轨道对钢球的支持力F。 (2)若将钢球视作质点，G、O、d处在同一高度，G、d水平距离s=60cm，求钢球从d点飞出后能上升的最大高度h。 (3)要使钢球能“永动”，求小球每运动一圈，玩具中隐蔽的加速装置需对小球做的功W。 【答案】(1)0.03N (2)0.2m (3) 【详解】（1）钢球在段上滚动时，支持力与竖直方向夹角满足 竖直方向根据受力平衡可得 联立解得 （2）Gd间的运动可以视为两段平抛运动，利用平抛知识可知，水平方向有 竖直方向有 d点速度与水平方向夹角满足 又 联立代入相关已知数据，解得， （3）d点抛出时的竖直分速度为 d点速度为 每次补偿的能量为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $