6.5 专题2 圆周运动的临界状态（重难点）-2025-2026学年高一物理同步课堂（人教版必修第二册）

本讲义聚焦圆周运动的临界状态核心知识点，系统梳理水平面内静摩擦力与弹力临界、竖直面内轻绳（过山车）模型最高点速度临界、轻杆（管道）模型弹力方向临界、斜面上重力分解与摩擦力临界等考点，构建从基础到复杂场景的学习支架。 该资料通过20道不同地区期末、月考真题例题，覆盖多种临界模型，助力学生在分析临界受力与运动突变中提升科学思维（模型建构、科学推理）。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过例题巩固，查漏补缺，培养解决实际圆周运动问题的能力。

6.5专题2 圆周运动的临界状态 精讲考点 考点一 水平面内的圆周运动的临界问题 1 考点二 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 6 考点三 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 13 考点四 斜面上圆周运动的临界问题 18 考点一 水平面内的圆周运动的临界问题 考点精讲 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 【例1】（25-26高一上·北京·期末）如图所示，水平放置的圆盘以角速度匀速转动，圆盘上有两个质量均为的物块P和Q（两物块均可视为质点），它们随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块距圆心的距离分别为和，。物块与转盘间的动摩擦因数为，重力加速度为。下列说法不正确的是（　　） A．它们受到的静摩擦力方向都指向圆心 B．它们所受静摩擦力大小之比为 C．若圆盘突然停止转动，两物块将沿半径反方向飞出 D．若不断提高圆盘转速，物块将先被甩出 【例2】（25-26高三上·甘肃临夏·期末）服务员快速摆放餐盘的视频最近火遍全网，服务员把盘子均匀放到餐桌中间的转盘边缘上后，缓慢增大转盘转动的角速度，达到某一角速度时，餐盘从转盘边缘飞出，落在餐桌上后很快停下。已知餐盘和转盘间的动摩擦因数为，餐盘到转盘中心的距离为，忽略餐盘的大小，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘到桌面的高度为，重力加速度为，忽略空气阻力及餐盘做圆周运动时的切向加速度，下列说法正确的是（　　） A．餐盘从转盘边缘飞出时的速度 B．餐盘落到餐桌上前瞬间的速度大小为 C．餐盘落到餐桌上前瞬间的速度大小为 D．餐盘落到餐桌上后继续做圆周运动，直至停止 【例3】（25-26高二上·海南·期末）如图所示，家用小石磨的圆盘上放着一堆总质量为m的黄豆。转动把手，使圆盘由静止开始绕中心加速转动，黄豆堆与圆盘始终相对静止。转动一周时黄豆堆的速度大小变为v，黄豆堆视为质点，圆盘视为水平面，黄豆堆与中心的距离为r，关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．黄豆堆所受合力做的功为 B．黄豆堆所受的摩擦力一定指向中心 C．黄豆堆的速度大小为v时，黄豆堆所受的摩擦力一定小于 D．黄豆堆的速度大小为v时，圆盘的角速度为vr 【例4】（25-26高三上·河南南阳·期末）如图所示，水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，A、B、C三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上，已知B的质量为2m，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A和C的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，OA、OB、BC长均为L，开始时，圆盘匀速转动时的角速度ω比较小，随后使圆盘转动的角速度ω不断缓慢增大，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．随着圆盘转动的角速度ω不断增大，木块与圆盘发生相对滑动的顺序依次是C、A、B B．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度时，轻绳无张力 C．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度时，B、C均与圆盘发生相对滑动 D．若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度时，A、B均不能与圆盘保持相对静止 【例5】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．此时绳子张力为 B．此时圆盘的角速度为 C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 考点二 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 考点精讲 1．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 【例6】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）如图所示，质量的小球（可视作质点）在长为的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，不计阻力，。 (1)若小球通过最高点时的速度，求此时小球对绳的拉力大小； (2)若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求小球落地时的速度。 【例7】（2025·福建·模拟预测）如图所示，半径为R、质量为3m的光滑竖直四分之一圆弧体静止在光滑水平面上，质量为m的小球B用足够长轻质细线悬挂，刚好与水平面接触，细线能承受的最大拉力为7mg，一根小钉子紧贴细线固定在悬点正下方。将质量为2m的小球A在圆弧体的最高点由静止释放，当小球A刚运动到圆弧体最低点时，圆弧体与水平面上固定挡板碰撞并立即停止运动，小球A离开圆弧体后，继续在水平面上向右运动并与小球B发生弹性正碰，重力加速度为g，不计小球的大小，圆弧体最低点与水平面相切。 (1)求小球A未释放时，圆弧体最高点离挡板的水平距离； (2)求圆弧体碰后静止的瞬间，小球对圆弧体的压力大小； (3)要使小球B能在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子离地面的距离应满足的条件（结果可保留分数）。 【例8】（25-26高三上·山东滨州·期末）如图所示，一半径R=0.5m的圆形轨道竖直放置在粗糙水平地面上，轨道内壁光滑，O点为圆形轨道的圆心，B点为最高点，，轨道在A处与水平地面相切。在A处放置一小物块，质量m=1kg，给它一水平向左的初速度，使其沿圆形轨道运动，从C点抛出后落至D点。已知重力加速度，不计空气阻力。小物块从A点到D点的运动过程中，圆形轨道始终保持静止，则（　　） A．小物块经过C点时，速度大小为 B．小物块经过C点时，轨道对小物块的压力大小为32N C．小物块经过C点时，地面对圆形轨道的摩擦力方向水平向右 D．CD两点间的水平距离为 【例9】（25-26高三上·青海西宁·期中）如图所示，质量m=0.1kg的小球（可视为质点）用长L=1.25m的轻质细线悬于点。将小球向左拉起使悬线呈水平伸直状态后，无初速地释放小球，小球运动到最低点O时细线恰好被拉断，B为O点正下方地面上的点，且OB高度h=5m。取g=10m/s2，求： (1)小球到O点时的速度大小； (2)细线所能承受的最大拉力； (3)小球落地点与B点距离。 【例10】（25-26高三上·安徽·期中）滚筒式洗衣机的脱水功能是利用高速离心运动实现衣物干燥。如图所示，脱水时，筒内一件质量为m的棉质衣物紧贴筒壁，在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面半径为r，A、C分别为滚筒的最高和最低点，B、D为与圆心等高的位置。衣物可视为质点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．衣物在C处和A处对筒壁的压力相等 B．滚筒转动一周的过程中，衣物在B点和D点向心加速度的大小相等 C．衣物A、B、C、D四点的线速度相同 D．衣物在B、D两处所受摩擦力方向相反 考点三 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 考点精讲 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2．小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 【例11】（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，一个半径为的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75，不计空气阻力，重力加速度。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：（结果可用根号表示） (1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率； (2)若此刻环对小球的摩擦力大小为，求此刻环对小球的作用力大小； (3)若此刻环对小球的摩擦力大小为，求此刻小球的速率。 【例12】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，我国男子体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动已知运动员的质量为m，重心到手支撑点的距离为L，运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，重力加速度为g，下列说法错误的是（　　） A．运动员在最高点时速度为0 B．运动员在最高点时向心力为0 C．若运动员在最低点速度变大，则他对单杠的作用力可能减小 D．若运动员在最高点速度变大，则他对单杠的作用力可能增大，也可能减小 【例13】（24-25高一下·吉林·期末）如图所示，半径均为R的圆心为的圆轨道和圆心为的圆形管状轨道在同一竖直平面内固定，与水平地面分别相切于B、D点，现让质量均为m的小球（均可视为质点）在两轨道内运动，小球直径略小于管内径，管内径远小于轨道半径R，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)若小球刚好能通过圆轨道最高点C，求此时小球在C点的速度大小； (2)若小球通过圆形管状轨道最高点E时，对轨道的压力大小为，求此时小球在E点的速度大小； (3)若小球在圆轨道内向上运动至F点时恰好脱离轨道，此时连线与水平方向间的夹角为，，。求此时小球在F点的速度大小。 【例14】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴，现给球一初速度，使杆和球一起绕轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用表示球到达最高点时杆对球的作用力，则（    ） A．一定是拉力 B．一定是支持力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零 【例15】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，某电机质量为，在距轴为处固定一质量为的铁块。电机启动后，铁块以角速度绕轴匀速转动，求电机对地面的最大压力和最小压力之差。 考点四 斜面上圆周运动的临界问题 考点精讲 1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 【例16】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，游乐场里有一个半径、盘面与水平面的夹角的倾斜匀质圆盘，圆盘可绕过圆盘圆心且垂直于盘面的固定对称轴以一定的角速度匀速转动。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距点距离处。已知小孩与盘面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则角速度可能的取值是（　　） A．0.5rad/s B． C． D．2.5rad/s 【例17】（25-26高三上·安徽·期中）如图所示，漏斗状容器绕竖直对称轴OO'匀速转动，倾斜侧壁的倾角为θ。可视为质点的物块P放在容器的倾斜侧壁上，在容器转动的角速度缓慢增大的过程中，物块始终能相对于容器静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则在这一过程中，下列说法正确的是（　　） A．倾斜侧壁对物块的支持力大小一定一直增大 B．倾斜侧壁对物块的摩擦力大小一定一直增大 C．若倾斜侧壁对物块的摩擦力大小减小时，则侧壁对物块的支持力大小也一定减小 D．若不论容器转得多快，物块P都不相对于容器滑动，则物块与容器之间动摩擦因数的最小值为tanθ 【例18】（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，一倾斜圆盘可绕垂直于盘面且过圆心的固定轴以恒定的角速度旋转，圆盘上放有物块A、B，其中物块B到轴的距离较近，两物块均能随圆盘一起转动且始终与圆盘相对静止，已知当两物块分别位于最低点时均恰好不滑动，当物块A位于最高点时，物块A所受摩擦力方向沿圆盘向上，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．物块A的质量一定大于物块B的质量 B．物块A与圆盘间的动摩擦因数小于物块B与圆盘间的动摩擦因数 C．物块B位于最高点时所受摩擦力方向沿圆盘向上 D．两物块分别位于最高点时，物块A所受摩擦力大于物块B所受摩擦力 【例19】（25-26高三上·河南商丘·月考）如图1所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，圆盘上距离转轴处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2所示为物块在随圆盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的图线，图中、两时刻的时间间隔。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，取10。下列判断中正确的是（    ） A．物块所受向心力大小一定为3N B．圆盘的倾角可能为30° C．物块的质量可能为 D．时刻摩擦力一定指向圆心 【例20】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5专题2 圆周运动的临界状态 精讲考点 考点一 水平面内的圆周运动的临界问题 1 考点二 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 6 考点三 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 13 考点四 斜面上圆周运动的临界问题 18 考点一 水平面内的圆周运动的临界问题 考点精讲 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 【例1】（25-26高一上·北京·期末）如图所示，水平放置的圆盘以角速度匀速转动，圆盘上有两个质量均为的物块P和Q（两物块均可视为质点），它们随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块距圆心的距离分别为和，。物块与转盘间的动摩擦因数为，重力加速度为。下列说法不正确的是（　　） A．它们受到的静摩擦力方向都指向圆心 B．它们所受静摩擦力大小之比为 C．若圆盘突然停止转动，两物块将沿半径反方向飞出 D．若不断提高圆盘转速，物块将先被甩出 【答案】C 【详解】A．两个物块随圆盘一起做匀速圆周运动，合力提供向心力，它们水平方向只受到摩擦力，因此它们受到的静摩擦力方向都指向圆心，故A不符合题意； B．摩擦力提供向心力，角速度均为，因此有， 它们所受静摩擦力大小之比为，故B不符合题意； C．若圆盘突然停止转动，由于惯性作用，两物块将保持原来运动的方向飞出，即垂直于半径飞出，故C符合题意； D．假设有可知半径越大，做匀速圆周运动需要的摩擦力越大，因此若不断提高圆盘转速，物块将先达到最大静摩擦力，先被甩出，故D不符合题意。 故选C。 【例2】（25-26高三上·甘肃临夏·期末）服务员快速摆放餐盘的视频最近火遍全网，服务员把盘子均匀放到餐桌中间的转盘边缘上后，缓慢增大转盘转动的角速度，达到某一角速度时，餐盘从转盘边缘飞出，落在餐桌上后很快停下。已知餐盘和转盘间的动摩擦因数为，餐盘到转盘中心的距离为，忽略餐盘的大小，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘到桌面的高度为，重力加速度为，忽略空气阻力及餐盘做圆周运动时的切向加速度，下列说法正确的是（　　） A．餐盘从转盘边缘飞出时的速度 B．餐盘落到餐桌上前瞬间的速度大小为 C．餐盘落到餐桌上前瞬间的速度大小为 D．餐盘落到餐桌上后继续做圆周运动，直至停止 【答案】C 【详解】A．餐盘从转盘边缘飞出时，满足 故飞出时速度为，故A错误； BC．餐盘飞出后做平抛运动，有，， 餐盘落到餐桌上的速度为，故B错误，C正确； D．餐盘落到餐桌上后，水平方向只受与速度方向相反的摩擦力，餐盘做匀减速直线运动，直至停止，故D错误。 故选C。 【例3】（25-26高二上·海南·期末）如图所示，家用小石磨的圆盘上放着一堆总质量为m的黄豆。转动把手，使圆盘由静止开始绕中心加速转动，黄豆堆与圆盘始终相对静止。转动一周时黄豆堆的速度大小变为v，黄豆堆视为质点，圆盘视为水平面，黄豆堆与中心的距离为r，关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．黄豆堆所受合力做的功为 B．黄豆堆所受的摩擦力一定指向中心 C．黄豆堆的速度大小为v时，黄豆堆所受的摩擦力一定小于 D．黄豆堆的速度大小为v时，圆盘的角速度为vr 【答案】A 【详解】A．合力做功等于动能的变化量，故A正确； B．黄豆堆从静止到运动，不是做匀速圆周运动，因此摩擦力除了提供向心力，还提供速度增大的力，两个分力的合力不指向中心，故B错误； C．黄豆堆的速度大小为v时，不知是否是匀速圆周运动，因此摩擦力除了提供向心力，大小为，可能还提供速度增大的力，大小为，两个分力垂直，摩擦力，故C错误； D．角速度，故D错误。 故选A。 【例4】（25-26高三上·河南南阳·期末）如图所示，水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，A、B、C三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上，已知B的质量为2m，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A和C的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，OA、OB、BC长均为L，开始时，圆盘匀速转动时的角速度ω比较小，随后使圆盘转动的角速度ω不断缓慢增大，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．随着圆盘转动的角速度ω不断增大，木块与圆盘发生相对滑动的顺序依次是C、A、B B．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度时，轻绳无张力 C．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度时，B、C均与圆盘发生相对滑动 D．若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度时，A、B均不能与圆盘保持相对静止 【答案】AC 【详解】A．木块与圆盘发生相对滑动的临界条件是木块与圆盘间的最大静摩擦力提供它们做圆周运动的向心力，对A、B、C分别有，， 解得，， 则随着圆盘转动的角速度不断增大，木块与圆盘发生相对滑动的顺序依次是C、A、B，故A正确； B．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，结合A分析可知，当时，轻绳开始有张力，则当圆盘转动的角速度时，轻绳可能有张力，故B错误； C．根据题意可知，若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，B、C均与圆盘发生相对滑动时，则有 解得，故C正确； D．若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来，A、B均与圆盘发生相对滑动时，则有 解得，故D错误。 故选AC。 【例5】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．此时绳子张力为 B．此时圆盘的角速度为 C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 【答案】B 【详解】ABC．两物体刚好还未发生滑动时，B有沿半径向外运动的趋势，则B受静摩擦力指向圆心，A受静摩擦力背离圆心，则对B， 对A， ，解得，，选项AC错误，B正确； D．此时烧断绳子，则A所需向心力 B所需向心力 则AB都将做离心运动，选项D错误。 故选B。 考点二 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 考点精讲 1．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 【例6】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）如图所示，质量的小球（可视作质点）在长为的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，不计阻力，。 (1)若小球通过最高点时的速度，求此时小球对绳的拉力大小； (2)若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求小球落地时的速度。 【答案】(1)10N (2)，方向与水平方向夹角为45° 【详解】（1）根据牛顿第二定律，在最高点有 解得 又由牛顿第三定律得，小球对绳的拉力大小 （2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为 设此时小球的速度大小为，小球在最低点时由牛顿第二定律有 绳拉断后小球做平抛运动，在竖直方向上有， 小球落地时的速度 解得 又 得，方向与水平方向夹角为 【例7】（2025·福建·模拟预测）如图所示，半径为R、质量为3m的光滑竖直四分之一圆弧体静止在光滑水平面上，质量为m的小球B用足够长轻质细线悬挂，刚好与水平面接触，细线能承受的最大拉力为7mg，一根小钉子紧贴细线固定在悬点正下方。将质量为2m的小球A在圆弧体的最高点由静止释放，当小球A刚运动到圆弧体最低点时，圆弧体与水平面上固定挡板碰撞并立即停止运动，小球A离开圆弧体后，继续在水平面上向右运动并与小球B发生弹性正碰，重力加速度为g，不计小球的大小，圆弧体最低点与水平面相切。 (1)求小球A未释放时，圆弧体最高点离挡板的水平距离； (2)求圆弧体碰后静止的瞬间，小球对圆弧体的压力大小； (3)要使小球B能在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子离地面的距离应满足的条件（结果可保留分数）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球A未释放时圆弧体离挡板的距离为x，小球A沿圆弧体向下运动过程中，小球A与圆弧体在水平方向动量守恒，则 即，即 解得 （2）设小球A运动到圆弧面最低点时速度大小为，圆弧体的速度大小为，水平方向动量守恒 机械能守恒 解得 当圆弧体速度瞬间为零时，设圆弧体对A球的支持力为N，根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律可知，小球对圆弧面最低点压力大小 （3）设A、B两球碰撞后一瞬间，A球速度大小为，小球B的速度大小为v，则根据动量守恒 根据机械能守恒 解得 设当钉子离地面的高度为时，碰撞后一瞬间，细线刚好要断开，则 解得 设当钉子离地面的高度为时，小球B恰好能做完整的圆周运动，则小球B在最高点时，根据牛顿第二定律 碰后到上升到最高点过程中，根据机械能守恒 解得 因此小球B要能做完整的圆周运动，钉子离地面的高度h应满足的条件是 【例8】（25-26高三上·山东滨州·期末）如图所示，一半径R=0.5m的圆形轨道竖直放置在粗糙水平地面上，轨道内壁光滑，O点为圆形轨道的圆心，B点为最高点，，轨道在A处与水平地面相切。在A处放置一小物块，质量m=1kg，给它一水平向左的初速度，使其沿圆形轨道运动，从C点抛出后落至D点。已知重力加速度，不计空气阻力。小物块从A点到D点的运动过程中，圆形轨道始终保持静止，则（　　） A．小物块经过C点时，速度大小为 B．小物块经过C点时，轨道对小物块的压力大小为32N C．小物块经过C点时，地面对圆形轨道的摩擦力方向水平向右 D．CD两点间的水平距离为 【答案】D 【详解】A．设水平地面为零势能面，从A点到C点，根据机械能守恒得 解得，故A错误； B．小物块在圆形轨道做圆周运动，在C点合力的指向圆心方向分量充当向心力得 解得，故B错误； C．小物块在C点受到圆形轨道的支持力指向圆心，根据牛顿第三定律，圆形轨道受到小物块的压力方向背离圆心。由于圆形轨道静止不动，其受力平衡，圆形轨道受到小物块压力的水平方向分量与圆形轨道受到地面的摩擦力平衡，即等大反向。由于圆形轨道受到小物块压力的水平方向分量水平向右，所以圆形轨道受到地面的摩擦力水平向左，故C错误； D．小物块从C点抛出后落至D点，对运动进行水平竖直分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动（竖直下抛运动）。 竖直方向： 初速度 高度 根据位移-时间公式得 解得运动时间或(舍) 水平方向： 速度 位移，故D正确。 故选D。 【例9】（25-26高三上·青海西宁·期中）如图所示，质量m=0.1kg的小球（可视为质点）用长L=1.25m的轻质细线悬于点。将小球向左拉起使悬线呈水平伸直状态后，无初速地释放小球，小球运动到最低点O时细线恰好被拉断，B为O点正下方地面上的点，且OB高度h=5m。取g=10m/s2，求： (1)小球到O点时的速度大小； (2)细线所能承受的最大拉力； (3)小球落地点与B点距离。 【答案】(1)5m/s (2)3N (3)5m 【详解】（1）小球由A到O的过程，由机械能守恒定律得 解得v0=5m/s （2）在O点由牛顿第二定律得 解得F=3N （3）绳被拉断后，小球做平抛运动 水平方向x=v0t 竖直方向 解得 x=5m 【例10】（25-26高三上·安徽·期中）滚筒式洗衣机的脱水功能是利用高速离心运动实现衣物干燥。如图所示，脱水时，筒内一件质量为m的棉质衣物紧贴筒壁，在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面半径为r，A、C分别为滚筒的最高和最低点，B、D为与圆心等高的位置。衣物可视为质点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．衣物在C处和A处对筒壁的压力相等 B．滚筒转动一周的过程中，衣物在B点和D点向心加速度的大小相等 C．衣物A、B、C、D四点的线速度相同 D．衣物在B、D两处所受摩擦力方向相反 【答案】B 【详解】A．根据牛顿第二定律 ，在最高点A点时有 在最低点C点时有 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，说明速度v大小不变，衣物在每个点的合力的大小不变，即 因此，故A错误； B．衣物做匀速圆周运动，根据 所以在B点和D点向心加速度的大小相等，故B正确； C．衣物在A、B、C、D位置的线速度大小相等，但方向不同，故C错误； D．匀速圆周运动的合外力大小不变，方向始终垂直于速度方向且指向圆心，因此衣物在B、D两处的合外力方向都是水平指向圆心的，竖直方向上摩擦力平衡重力，合力为零，即摩擦力的方向都与重力方向相反，都竖直向上，故D错误。 故选B。 考点三 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 考点精讲 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2．小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 【例11】（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，一个半径为的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75，不计空气阻力，重力加速度。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：（结果可用根号表示） (1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率； (2)若此刻环对小球的摩擦力大小为，求此刻环对小球的作用力大小； (3)若此刻环对小球的摩擦力大小为，求此刻小球的速率。 【答案】(1) (2)mg (3)2m/s或6m/s 【详解】（1）摩擦力，则环对小球的弹力N=0，对小球受力分析，根据牛顿第二定律有 解得小球速率 （2）滑动摩擦力 解得环对小球的弹力 由平行四边形法则，环对小球的作用力 （3）由第二小题可知，环对小球的弹力N=0.8mg，当环对小球的弹力向上时，根据牛顿第二定律有 解得小球的速率 当环对小球的弹力向下时，根据牛顿第二定律有 解得小球的速率 【例12】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，我国男子体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动已知运动员的质量为m，重心到手支撑点的距离为L，运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，重力加速度为g，下列说法错误的是（　　） A．运动员在最高点时速度为0 B．运动员在最高点时向心力为0 C．若运动员在最低点速度变大，则他对单杠的作用力可能减小 D．若运动员在最高点速度变大，则他对单杠的作用力可能增大，也可能减小 【答案】C 【详解】AB．本题是轻杆模型。运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，此时运动员的重力和单杠对他的支持力平衡，则在最高点时速度为0，向心力为0，故AB正确； C．运动员在最低点时，向心力，，若 速度变大，则单杠对他的作用力就越大，据牛顿第三定律可知，他对单杠的作用力也变大，故C错误； D．若运动员在最高点，恰好由重力提供向心力，即 ，解得此时运动员的速度 当时，有，速度v增大，F减小；当时， 速度v增大，F增大，故D正确。 故选C。 【例13】（24-25高一下·吉林·期末）如图所示，半径均为R的圆心为的圆轨道和圆心为的圆形管状轨道在同一竖直平面内固定，与水平地面分别相切于B、D点，现让质量均为m的小球（均可视为质点）在两轨道内运动，小球直径略小于管内径，管内径远小于轨道半径R，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)若小球刚好能通过圆轨道最高点C，求此时小球在C点的速度大小； (2)若小球通过圆形管状轨道最高点E时，对轨道的压力大小为，求此时小球在E点的速度大小； (3)若小球在圆轨道内向上运动至F点时恰好脱离轨道，此时连线与水平方向间的夹角为，，。求此时小球在F点的速度大小。 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）若小球刚好能通过圆轨道最高点C，则重力提供向心力，有 解得 （2）若小球通过圆形管状轨道最高点E时，对轨道的压力向上，则轨道对球的力向下，大小为，有 解得 若小球通过圆形管状轨道最高点E时，对轨道的压力向下，则轨道对球的力向上，大小为，有 解得 （3）若小球在圆轨道内向上运动至F点时恰好脱离轨道，则重力沿半径方向的分力提供向心力，有 解得 【例14】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴，现给球一初速度，使杆和球一起绕轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用表示球到达最高点时杆对球的作用力，则（    ） A．一定是拉力 B．一定是支持力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零 【答案】D 【详解】设杆的长度为L，在最高点时杆对小球的作用力为F，由圆周运动公式 若在最高点的速度，此时小球靠重力提供向心力，杆的作用力为零，若最高点的速度，则杆表现为拉力，若最高点的速度，则杆表现为支持力。因此可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零。 故选D。 【例15】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，某电机质量为，在距轴为处固定一质量为的铁块。电机启动后，铁块以角速度绕轴匀速转动，求电机对地面的最大压力和最小压力之差。 【答案】 【详解】对系统：当物块转到最低点时（取向上为正方向） 当物块转到最高点时（取向下为正方向） 两式相加得 考点四 斜面上圆周运动的临界问题 考点精讲 1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 【例16】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，游乐场里有一个半径、盘面与水平面的夹角的倾斜匀质圆盘，圆盘可绕过圆盘圆心且垂直于盘面的固定对称轴以一定的角速度匀速转动。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距点距离处。已知小孩与盘面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则角速度可能的取值是（　　） A．0.5rad/s B． C． D．2.5rad/s 【答案】A 【详解】当小孩转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设此时最大角速度为，根据牛顿第二定律有 解得 故角速度的范围为 故选A。 【例17】（25-26高三上·安徽·期中）如图所示，漏斗状容器绕竖直对称轴OO'匀速转动，倾斜侧壁的倾角为θ。可视为质点的物块P放在容器的倾斜侧壁上，在容器转动的角速度缓慢增大的过程中，物块始终能相对于容器静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则在这一过程中，下列说法正确的是（　　） A．倾斜侧壁对物块的支持力大小一定一直增大 B．倾斜侧壁对物块的摩擦力大小一定一直增大 C．若倾斜侧壁对物块的摩擦力大小减小时，则侧壁对物块的支持力大小也一定减小 D．若不论容器转得多快，物块P都不相对于容器滑动，则物块与容器之间动摩擦因数的最小值为tanθ 【答案】A 【详解】ABC．对物块P受力分析，则有， 解得， 所以随着角速度的增加，支持力在缓慢变大，而摩擦力可能先减小再反向增加，故A正确，BC错误； D．竖直方向，此时重力远小于其它力可不计，有，解得，故D错误。 故选A。 【例18】（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，一倾斜圆盘可绕垂直于盘面且过圆心的固定轴以恒定的角速度旋转，圆盘上放有物块A、B，其中物块B到轴的距离较近，两物块均能随圆盘一起转动且始终与圆盘相对静止，已知当两物块分别位于最低点时均恰好不滑动，当物块A位于最高点时，物块A所受摩擦力方向沿圆盘向上，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．物块A的质量一定大于物块B的质量 B．物块A与圆盘间的动摩擦因数小于物块B与圆盘间的动摩擦因数 C．物块B位于最高点时所受摩擦力方向沿圆盘向上 D．两物块分别位于最高点时，物块A所受摩擦力大于物块B所受摩擦力 【答案】C 【详解】AB．设圆盘倾角为θ，角速度为ω，在最低点时，由于物块恰好不滑动，对物块，根据牛顿第二定律有 即 由于A做圆周运动的半径大于B的半径，可得物块A与圆盘间的动摩擦因数大于物块B的动摩擦因数，而两物块的质量无法比较，故AB错误； C．物块A位于最高点时，对物块A，根据牛顿第二定律有 则有 又 可知，当B位于最高点时也有 即物块B位于最高点时所受摩擦力方向沿圆盘向上，故C正确； D．由于不知道两物块的质量关系，故无法确定两物块分别位于最高点时所受摩擦力的大小关系，故D错误。 故选C。 【例19】（25-26高三上·河南商丘·月考）如图1所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，圆盘上距离转轴处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2所示为物块在随圆盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的图线，图中、两时刻的时间间隔。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，取10。下列判断中正确的是（    ） A．物块所受向心力大小一定为3N B．圆盘的倾角可能为30° C．物块的质量可能为 D．时刻摩擦力一定指向圆心 【答案】BC 【详解】BC．图中、两时刻的时间间隔，所以周期 当在最高点，摩擦力指向圆心时：在时刻 在时刻 联立解得， 当在最高点，摩擦力背离圆心时：在时刻 联立解得， 此时，故BC正确； A．由于倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，物块相对圆盘保持静止，则无论物块在哪里，当时， 物块所受向心力大小都为，当时，物块所受向心力大小都为，故A错误； D．时刻摩擦力最小，在最高点，可能指向圆心也可能背离圆心，故D错误。 故选BC。 【例20】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设图（b）圆与轴正方向的交点的纵坐标为，则 解得 结合图（b）知，滑块运动至最高点时，所受的静摩擦力最小，方向指向圆心，大小为 由牛顿第二定律得 滑块运动至最低点时，所受的静摩擦力最大，方向指向圆心，大小为 由牛顿第二定律得 且满足 联立知，滑块与圆盘之间的动摩擦因数 故选C。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $