5.5 专题1 平抛运动的临界问题 类平抛运动（重难点）-高一物理同步课堂（人教版必修第二册）

本高中物理讲义聚焦平抛运动的三大核心知识点，系统梳理平抛运动的临界问题分析方法，延伸至类平抛运动的概念与规律，再拓展到与斜面、曲面相结合的综合应用，形成从基础到复杂情境的递进式学习支架。 资料以考点精讲为基础，搭配多地期末、模考典型例题，通过模型建构（如画临界轨迹示意图）和科学推理（分解速度位移方程）培养科学思维，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过实例巩固，有效查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

5.5专题1 平抛运动的临界问题 类平抛运动 精讲考点 考点一 平抛运动的临界问题 1 考点二 类平抛运动 8 考点三 与斜面、曲面相结合的平抛运动 13 考点一 平抛运动的临界问题 考点精讲 1．与平抛运动相关的临界情况 (1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。 (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 2．平抛运动临界问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。 【例1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 【例2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法不正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 【例3】（2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　） A． B． C． D． 【例4】（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示为某一游戏的简化模型，参与者将一可看作质点的小球从高度的平台边缘水平踢出。平台前方固定A、B两个高度均为的薄挡板不计厚度，平台边缘到挡板A的水平距离，两块挡板之间的距离也为。有一个宽度、高度不计的盒子，紧靠挡板 A放置。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反，不计空气阻力，重力加速度，求： (1)若要小球落入两挡板之间，则从平台边缘飞出的速度取值范围； (2)若要小球落入盒子，则从平台边缘飞出的速度取值范围。 【例5】（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）如图所示，从高度为H的A点先后将小球1和小球2水平抛出，小球1刚好直接越过竖直挡板MN落在水平地面上的B点，小球2与地面碰撞两次后，也刚好越过竖直挡板MN，也落在B点。设小球2每次与水平地面碰撞前后水平方向分速度不变，竖直方向分速度大小不变、方向相反，忽略空气阻力。则A点与M点的高度差为（　　） A． B． C． D． 考点二 类平抛运动 考点精讲 1．类平抛运动的概念 凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。 2．类平抛运动的特点 (1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向垂直。 (2)加速度不一定等于重力加速度g，但应恒定不变。 3．类平抛运动的分析方法 (1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。 (2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。 4．类平抛运动的规律 初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。 合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。 【例6】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【例7】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，质量均为的两小球、在点以的速度向左、向右水平抛出，经过进入下方的水平风洞区域。风洞的竖直宽度，长度足够长。球在风洞中受到恒定的水平向左的风力，大小，重力加速度大小。求： (1)球进入风洞时的速度大小； (2)球、离开风洞时位置间的距离。 【例8】（24-25高二下·云南·月考）如图所示，在一个科技展览馆内，有一个可视为光滑斜面的ABCD展示装置，该斜面是边长为的正方形，倾角为。为了展示物体的运动轨迹，工作人员在斜面左上方顶点A处设置了一个小型弹射装置，可将不同质量的物块，以相同速度弹出。某次将质量为的物块（视为质点）以平行于AB边的初速度水平射入斜面。物块射出后，会在斜面上留下运动轨迹，且恰好到达底边CD的中点E。重力加速度g取，则（　　） A．可得物块弹出的速度为 B．若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变 C．若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则应减小物块从A点入射的速度 D．若仅将斜面倾角变为，射入初速度不变，则物块运动到底边的时间仍然不变 【例9】（22-23高二上·江西·开学考试）如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【例10】（24-25高二下·陕西商洛·期末）如图所示的光滑固定矩形斜面，其倾角，一小球沿斜面左上方顶点以大小的初速度水平射入斜面，恰好从边的三等分点离开斜面，已知边长，取重力加速度大小，，求： (1)边的长度； (2)小球离开边的速度大小。 考点三 与斜面、曲面相结合的平抛运动 考点精讲 1．与斜面有关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝ 已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 2．与曲面有关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示， 利用几何关系求解位移关系 x＝v0t y＝gt2 R2＝(x－R)2＋y2 【例11】（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，小球P从位于倾角的斜面上某点以一定初速度水平向右抛出，同时右侧等高处的小球Q以一定的初速度水平向左抛出。已知P、Q两球都落在了斜面上的同一点，且小球Q恰好垂直打到斜面上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球的加速度大小之比为1∶2 B．P、Q两球运动的时间之比为2∶1 C．P、Q两球抛出的初速度大小之比为2∶3 D．P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2 【例12】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）一名滑雪运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台A点处沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡B点处着陆，如图所示，测得A、B间的距离为150m，斜坡与水平方向夹角为37°，不计空气阻力，运动员可视为质点（g取10，，，计算结果均保留根号）。 (1)求运动员从A运动到B的时间； (2)求运动员从A点飞出时的速度大小。 【例13】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端点，先后将相同的小球以大小不同的水平速度和向右抛出，落在斜面上。关于两球落到斜面上的情况，说法中正确的是（　　） A．落到斜面上的瞬时速度方向相同 B．落到斜面上的位置相同 C．落到斜面上的瞬时速度大小之比是 D．落到斜面上前，在空中飞行的时间之比是4：1 【例14】（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为 【例15】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5专题1 平抛运动的临界问题 类平抛运动 精讲考点 考点一 平抛运动的临界问题 1 考点二 类平抛运动 8 考点三 与斜面、曲面相结合的平抛运动 13 考点一 平抛运动的临界问题 考点精讲 1．与平抛运动相关的临界情况 (1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。 (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 2．平抛运动临界问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。 【例1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 【答案】(1) (2)3~4m/s (3) 【详解】（1）竖直方向有 解得 小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，有 可得小球到达斜面的速度大小 （2）竖直方向有 速度最小时 解得 当小球刚好落到第2块挡板最低处，有， 解得 可得从平台边缘飞出的速度取值范围为3~4m/s。 （3）竖直方向有 与挡板碰撞一次，速度最小时 解得 速度最大时 解得 因此速度取值范围为 【例2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法不正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 【答案】ABC 【详解】A．要让乒乓球能越过球网，则在乒乓球到达球网前下落的高度为 水平方向的位移 解得最小发射速率为，故A错误，符合题意； B．从抛出点到角C、D时水平位移最大，故最大水平位移为 当发射的速率等于时，有 可知发射的速率超过时，如果发球高度满足 则，即乒乓球有可能落在界内，故B错误，符合题意； C．设置好H后，存在乒乓球刚好过网和球刚好不出界的临界条件，由A分析可知，乒乓球刚好过网的速度为 球刚好不出界的速度为 设，解得 则当时，球落在JKCD区域，故C错误，符合题意； D．结合高度求出平抛运动的时间，可以发现调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射擦网而过后直接落到CD边上，球从发射到球网的时间和球从球网到CD边的时间相等，设为T，则H的高度满足 适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球，通过球网的位置仍然是水平方向的位移的中点，即仍然是T时刻通过球网，则只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的，故D正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选ABC。 【例3】（2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】排球恰好通过球网上边缘时竖直速度 落地时竖直速度 由运动学公式 解得球网高为 故选A。 【例4】（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示为某一游戏的简化模型，参与者将一可看作质点的小球从高度的平台边缘水平踢出。平台前方固定A、B两个高度均为的薄挡板不计厚度，平台边缘到挡板A的水平距离，两块挡板之间的距离也为。有一个宽度、高度不计的盒子，紧靠挡板 A放置。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反，不计空气阻力，重力加速度，求： (1)若要小球落入两挡板之间，则从平台边缘飞出的速度取值范围； (2)若要小球落入盒子，则从平台边缘飞出的速度取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要落入两挡板之间，时间满足 最小速度为，则 得 最大速度为，则 得 若要小球落入两挡板之间，则从平台边缘飞出的速度取值范围： （2）要落入盒子，时间满足 水平距离为 所以小球要落入盒子，设最小速度为，则 解得 最大速度为，则 解得 若要小球落入盒子，则从平台边缘飞出的速度取值范围 【例5】（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）如图所示，从高度为H的A点先后将小球1和小球2水平抛出，小球1刚好直接越过竖直挡板MN落在水平地面上的B点，小球2与地面碰撞两次后，也刚好越过竖直挡板MN，也落在B点。设小球2每次与水平地面碰撞前后水平方向分速度不变，竖直方向分速度大小不变、方向相反，忽略空气阻力。则A点与M点的高度差为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，两小球从平抛到第一次落地，竖直方向有 可知两小球平抛后，从抛出到第一次落地所用时间相等，则在水平方向有， 由图可知 可得 将小球2运动倒过来看成从M运动到C点与小球1从M运动到B点时间相同，则有 由几何关系可得，AM 间水平距离与AB间水平距离之比为 则小球1由A运动到 M 与由A运动到B的时间之比为 则有， 解得 故选B。 考点二 类平抛运动 考点精讲 1．类平抛运动的概念 凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。 2．类平抛运动的特点 (1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向垂直。 (2)加速度不一定等于重力加速度g，但应恒定不变。 3．类平抛运动的分析方法 (1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。 (2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。 4．类平抛运动的规律 初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。 合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。 【例6】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【答案】ABC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B．根据牛顿第二定律知，小球的加速度，故B正确； C．小球沿加速度方向上的位移为，根据 解得，故C正确； D．小球沿初速度方向的位移 小球沿加速度方向的位移 则小球水平方向的总位移＞v0，故D错误。 故选ABC。 【例7】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，质量均为的两小球、在点以的速度向左、向右水平抛出，经过进入下方的水平风洞区域。风洞的竖直宽度，长度足够长。球在风洞中受到恒定的水平向左的风力，大小，重力加速度大小。求： (1)球进入风洞时的速度大小； (2)球、离开风洞时位置间的距离。 【答案】(1)5m/s (2)3.6m 【详解】（1）设球进入风洞时的竖直分速度为 竖直方向小球做自由落体运动，则 球进入风洞时的速度大小 解得v=5m/s （2）设球在风洞中运动的时间为，球在风洞中的水平加速度大小为a，A、B两球在风洞中的水平位移分别为、 在风洞中竖直方向有 由牛顿第二定律得 由水平方向的运动规律得 两球离开风洞时的距离x=x1+x2+2v0t 解得x=3.6m 【例8】（24-25高二下·云南·月考）如图所示，在一个科技展览馆内，有一个可视为光滑斜面的ABCD展示装置，该斜面是边长为的正方形，倾角为。为了展示物体的运动轨迹，工作人员在斜面左上方顶点A处设置了一个小型弹射装置，可将不同质量的物块，以相同速度弹出。某次将质量为的物块（视为质点）以平行于AB边的初速度水平射入斜面。物块射出后，会在斜面上留下运动轨迹，且恰好到达底边CD的中点E。重力加速度g取，则（　　） A．可得物块弹出的速度为 B．若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变 C．若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则应减小物块从A点入射的速度 D．若仅将斜面倾角变为，射入初速度不变，则物块运动到底边的时间仍然不变 【答案】B 【详解】A．物块做类平抛运动，加速度为 根据类平抛运动的规律有， 解得，，故A错误； B．结合上述可知，物块运动时间与质量无关，可知，若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变，故B正确； C．结合上述可知，物块运动速度与质量无关，可知，若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则物块从A点入射的速度不变，故C错误； D．若仅将斜面倾角变为，则加速度 射入初速度不变，根据类平抛运动的规律有 解得 可知，物块运动到底边的时间发生了变化，故D错误。 故选B。 【例9】（22-23高二上·江西·开学考试）如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律推得加速度为 有Lgt2sin θ 沿水平方向做匀速直线运动，位移Lv0t 联立解得v0＝ 故选A。 【例10】（24-25高二下·陕西商洛·期末）如图所示的光滑固定矩形斜面，其倾角，一小球沿斜面左上方顶点以大小的初速度水平射入斜面，恰好从边的三等分点离开斜面，已知边长，取重力加速度大小，，求： (1)边的长度； (2)小球离开边的速度大小。 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）若小球从靠近点的三等分点离开斜面，则，沿方向有 沿方向有， 解得 若小球从靠近点的三等分点离开斜面，同理得 （2）若小球从靠近点的三等分点离开斜面，则， 解得 若小球从靠近点的三等分点离开斜面，同理得 考点三 与斜面、曲面相结合的平抛运动 考点精讲 1．与斜面有关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝ 已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 2．与曲面有关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示， 利用几何关系求解位移关系 x＝v0t y＝gt2 R2＝(x－R)2＋y2 【例11】（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，小球P从位于倾角的斜面上某点以一定初速度水平向右抛出，同时右侧等高处的小球Q以一定的初速度水平向左抛出。已知P、Q两球都落在了斜面上的同一点，且小球Q恰好垂直打到斜面上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球的加速度大小之比为1∶2 B．P、Q两球运动的时间之比为2∶1 C．P、Q两球抛出的初速度大小之比为2∶3 D．P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2 【答案】D 【详解】A．P、Q两球均做平抛运动，加速度均为重力加速度，大小之比为1∶1，故A错误； B．两球下落高度相同，由可知，两球做平抛运动的时间之比为1∶1，故B错误； C ．对小球P，根据平抛运动规律有 解得， 对小球Q，有 解得 则，故C错误； D．根据，可知P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2，故D正确。 故选D。 【例12】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）一名滑雪运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台A点处沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡B点处着陆，如图所示，测得A、B间的距离为150m，斜坡与水平方向夹角为37°，不计空气阻力，运动员可视为质点（g取10，，，计算结果均保留根号）。 (1)求运动员从A运动到B的时间； (2)求运动员从A点飞出时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）运动员在竖直方向上做的是自由落体运动，设运动员从A到B的时间为t，则有 其中L=150m，代入上式解得 （2）运动员在水平方向上做的是匀速直线运动，则在水平方向上有Lcos37°=v0t 代入数据解得 【例13】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端点，先后将相同的小球以大小不同的水平速度和向右抛出，落在斜面上。关于两球落到斜面上的情况，说法中正确的是（　　） A．落到斜面上的瞬时速度方向相同 B．落到斜面上的位置相同 C．落到斜面上的瞬时速度大小之比是 D．落到斜面上前，在空中飞行的时间之比是4：1 【答案】A 【详解】D．根据 解得运动的时间 水平速度之比为 所以落到斜面上前，在空中飞行的时间之比是，故D错误； A．设落到斜面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为，则 所以落到斜面上的瞬时速度方向相同，故A正确； B．小球的水平位移大小 由于初速度不同，则水平位移不同，落点的位置不同，故B错误； C．落在斜面上的竖直分速度大小 根据平行四边形定则知，落在斜面上的速度大小 落到斜面上的瞬时速度大小之比是，故C错误。 故选A。 【例14】（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为 【答案】D 【详解】AC．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，由此可知甲球不可能垂直打在圆弧BC上的某点，所以乙球落点处速度方向与圆弧垂直，因为速度的反向延长线过圆心，所以乙球的水平位移为R，根据几何关系可知乙球下落的高度为 解得，故AC错误； B．根据动量定理，有 因为质量相等，下落时间相等，所以甲、乙两球在运动过程中动量变化量相同，故B错误； D．对甲球在水平方向，有 乙球在水平方向上，有 联立可得甲、乙两球初速度大小之比为，故D正确。 故选D。 【例15】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据平抛运动竖直方向的运动规律有 解得 （2）滑块在B点，竖直方向的速度为 滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，则有， 解得， 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $