5.4 抛体运动的规律（重难点）-2025-2026学年高一物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦抛体运动规律核心知识点，系统梳理平抛运动的位移、速度、轨迹方程及基本规律，延伸至平抛运动的两个推论（速度反向延长线过水平位移中点、速度与位移偏向角关系），最终拓展到斜抛运动的速度、位移及对称性特点，构建递进式学习支架。 该资料精选各地期末、月考及模拟题作为例题，通过推导过程培养科学思维中的模型建构与科学论证能力，结合实际情境问题提升物理观念应用。课中辅助教师授课深化理解，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，强化知识运用。

5.4抛体运动的规律 精讲考点 考点一 平抛运动 1 考点二 平抛运动的两个推论 7 考点三 斜抛运动 13 考点一 平抛运动 考点精讲 1．抛体运动 (1)水平位移：x＝v0t 竖直位移：y＝gt2 (2)水平分速度：vx＝v0 竖直分速度：vy＝gt 2．以初速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。 (1)水平方向：vx＝v0。 (2)竖直方向：vy＝gt。 (3)合速度 大小：v＝＝； 方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角)。 3.做平抛运动的物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图。运动时间t后，其水平位移：x＝v0t 竖直位移：y＝gt2 合位移大小：l＝＝ 合位移方向：tan α＝＝(α为位移与水平方向的夹角)。 4．轨迹方程：y＝x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 5．平抛运动的基本规律的理解 (1)飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 (2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 (3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。 (4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 【例1】（25-26高一上·辽宁本溪·期末）如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．玻璃珠在竖直方向做自由落体运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的竖直位移之比为，则，故A错误； B．玻璃珠在水平方向做匀速直线运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的水平位移之比为，则，故B错误； C．由得，故C正确； D．玻璃珠落在点时的速度大小，可得，故D错误。 故选C。 【例2】（25-26高一上·吉林长春·期末）关于平抛运动的速度和位移规律，下列说法正确的是（　　） A．任意相等时间内，速度的变化量大小相等、方向竖直向下 B．任意相等时间内，水平方向的位移相等 C．平抛运动的物体在某时刻的速度方向一定与从开始到该时刻的位移方向垂直 D．平抛运动的水平分速度随时间逐渐增大，竖直分速度保持不变 【答案】AB 【详解】A．平抛运动的加速度为重力加速度g，方向竖直向下。速度变化量，在相等时间内的大小相等且方向竖直向下，故A正确； B．平抛运动在水平方向是匀速直线运动，所以任意相等时间内水平方向的位移相等，故B正确； C．根据平抛运动规律可知，位移方向与水平方向的夹角正切值 速度方向与水平方向的夹角正切值 则有 可知，两方向不垂直，故C错误； D．平抛运动水平方向做匀速直线运动，则水平分速度保持不变，竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度，随时间增大，故D错误。 故选AB。 【例3】（24-25高一上·广东广州·期末）如图所示，可视为质点的小球从盒子（厚度和直径不计）正上方处以初速度水平抛出，与此同时盒子以某一初速度被推出，盒子在摩擦力作用下做匀减速直线运动，小球恰好能落入盒子中。已知盒子与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力，求： (1)小球从抛出到刚落入盒子中的水平位移大小； (2)盒子的初速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球在空中做平抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 解得 （2）对盒子受力分析，由牛顿第二定律有 假设盒子在停止前小球落入盒中，有 解得 此时盒子的速度，说明假设正确。 即盒子的初速度为 【例4】（25-26高三上·辽宁·期末）如图所示，一水平放置的水管，距水池水面高，有水从管口处以不变的速度源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，假定水在空中做平抛运动，并假设水流在空中不散开，水在水池中的落点与管口的水平距离为，管内横截面积。取重力加速度，水的密度为，不计空气阻力。 (1)水从管口到水面的运动时间和的大小； (2)水流稳定后在空中水的质量。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）水在空中做平抛运动，则竖直方向有 解得 水平方向有 解得 （2）水流稳定后在空中水的体积 水流稳定后在空中水的质量 解得 【例5】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，光滑水平桌面上A、B两物块叠放在一起，空间中始终存在水平恒力F作用在物块B上（物块A始终不受此恒力作用），使物块A、B恰好一起向右加速运动，物块A质量，物块B质量，A、B间的动摩擦因数，桌面长L=1m，桌边高H=0.8m，桌面右边缘正下方为Ｏ点，A、B可看作质点（g=10m/s2），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)A、B恰好不相对滑动的临界力F0； (2)若F=6N，使A、B从桌面左端由静止开始运动，求物块A落地点距Ｏ点的水平距离x； (3)在第（2）问情况下，求A、B落地的水平距离差。 【答案】(1)15N (2)0.8m (3)0.24m 【详解】（1）A、B恰好不相对滑动，摩擦力达到最大静摩擦力，对A进行分析，根据牛顿第二定律有 对A进行分析，根据牛顿第二定律有 解得 （2）由于F=6N<F0=15N 则A、B保持相对静止向右做匀加速直线运动，从桌面左端由静止开始运动，对A、B整体进行分析，根据牛顿第二定律有 根据速度与位移的关系有 A做平抛运动过程有， 解得x=0.8m （3）B滑出后水平方向，根据牛顿第二定律有 B水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有 A、B落地的水平距离差 解得 考点二 平抛运动的两个推论 考点精讲 1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝＝① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ＝＝② 联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。 2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则。 推导：速度偏向角的正切值tan θ＝① 位移偏向角的正切值 tan α＝＝＝② 联立①②式可得tan θ＝2tan α。 【例6】（25-26高二上·广西柳州·期中）2022年，北京举行了第24届冬季奥林匹克运动会。冬季奥运会比赛项目之一的“跳台滑雪”，可简化为如图所示的模型，质量为60kg的运动员由高处下滑后从平台末端A点水平跃出，落在水平地面上的B处。已知A点离地面高度，从A点到B的水平距离，忽略一切阻力，取。求运动员： (1)从A点运动到B点的时间； (2)从A点水平跃出时的速度大小； (3)到B点时的速度大小及速度与水平方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）因为从点到B的运动是平抛运动，且点到离地面高度，则 解得 （2）从点到B的水平距离，则 解得 （3）由题可知 则 联立可得， 点时的速度与水平方向夹角的正切值为。 【例7】（25-26高三上·江西·月考）如图所示，AC是倾角θ=30°、长度为L的斜面，CD部分为水平面，第一次将小球从斜面顶端A点以大小为v0的初速度水平向右抛出，小球落在斜面的中点B。第二次将小球从斜面顶端A点以大小为2v0的初速度水平向右抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（   ） A．小球第一次与第二次在空中运动过程中的时间之比为1∶2 B．小球第一次与第二次在空中运动过程中的水平位移之比为1∶4 C．第二次小球恰好落在C点 D．第二次小球的落点与C点间的距离为 【答案】D 【详解】A．第一次与第二次小球下落高度之比，根据 解得 所以时间之比为，故A错误； B．根据可得水平位移之比为，故B错误； C．小球在水平方向上有，在竖直方向上有 由数学知识有 解得 小球落在斜面上时，设落点距斜面顶端的距离为s，则有 若第一次与第二次小球均落在斜面上，落点距斜面顶端的距离之比为， 解得斜面的长度L，可知以大小为2v0的初速度水平向右抛出时小球落在水平面上，故C错误； D．由几何关系可知 且 第二次小球的落点与C点间的距离为，故D正确。 故选D。 【例8】（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【答案】B 【详解】A．由分析可知，两个毽子均为平抛运动，由几何关系，两毽子竖直方向的位移相等为 可得 则两个毽子会同时落到轨道上，A选项错误； B．由两毽子平抛运动水平方向位移为 可知，B选项正确； C．由平抛运动仅受重力，故加速度始终为竖直方向，速度变化量公式 可知速度变化量方向与加速度方向一致，故两个毽子速度变化量方向相同，C选项错误； D．由平抛运动推论，末速度的反向延长线与轴的交点为水平位移的中点，由几何关系可知O点不是水平位移中点，则落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点，D选项错误。 故选B。 【例9】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，圆心为点，、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球（可视为质点）获得一个水平向右的初速度，不计空气阻力，则小球从点离开后运动到圆弧上某点过程说法正确的是（    ） A．初速度越大，小球落在圆弧上时速度越大 B．初速度越大，小球平抛运动过程速度的变化量越大 C．改变初速度的大小，落在圆弧上不同位置速率可能相等 D．改变初速度的大小，落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线 【答案】C 【详解】AC．由，与几何关系 可得， 通过求导化简可知当,即时,末速度最小，故A错误，C正确； B．初速度越大，时间越短，速度的变化量越小，故B错误； D．若落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线，则速度的反向延长线过点，不能过水平位移的中点而不合理，故D错误。 故选C。 【例10】（25-26高三上·广西·月考）跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方的斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为vM、vN。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB.运动员做平抛运动，运动时间满足 解得 运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间 平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据 可知两次平抛的速度变化量，故 A 正确,B 错误； CD.如图，连接 P 点到落点构造斜面 根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则 ， 因为 所以 可知，故 D 正确,C 错误。 故选AD。 考点三 斜抛运动 考点精讲 1．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度 水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。 竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin_θ－gt。 2．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移 水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。 竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。 3．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4．由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 【例11】（25-26高一上·辽宁本溪·期末）投掷铅球时，铅球的出手高度、出手速度的大小和方向（用出手速度方向与水平方向的夹角表示，也叫抛出角）都对成绩有影响。如图所示，一同学在练习投掷铅球（可视为质点）时，另一同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置。已知手机连拍的时间间隔为，图中1位置为铅球刚出手时的位置，4位置为铅球运动中的最高点，8位置为铅球刚要落地时的位置，测得水平射程。不计空气阻力，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　） A．出手速度的大小为 B．抛出角 C．出手高度为 D．落地速度的大小为 【答案】ABC 【详解】A．铅球从1位置运动至4位置所用时间，从4位置运动至8位置所用时间，根据逆向思维，竖直方向有 水平方向有 出手速度大小，故A正确； B．抛出角满足 解得，故B正确； C．出手高度，故C正确； D．落地速度的大小，故D错误。 故选ABC。 【例12】（2026·河北沧州·一模）如图所示为一种射击类电子游戏：从水平地面的O点斜向右上方同时发射三颗“炮弹”，“炮弹”的初速度大小分别为、和，方向与水平方向间的夹角均为，“炮弹”均可视为质点，相互之间无影响。“炮弹”发射的同时，一辆“拦截车”从O点由静止开始向右做匀加速直线运动，当三颗“炮弹”飞行到离地面最大的高度时，“拦截车”均恰好经过其正下方并成功拦截（拦截时间不计，拦截也不影响“拦截车”向右的匀加速直线运动），游戏中模拟的重力加速度为，不计空气阻力，要成功拦截三颗“炮弹”，“拦截车”的加速度为（　　） A． B． C．2g D． 【答案】D 【详解】初速度为的“炮弹”到最高点时，所用时间 水平位移 初速度为的“炮弹”到最高点时，所用时间 水平位移 初速度为的“炮弹”到最高点时，所用时间 水平位移 时间之比为，水平位移之比为，这和拦截车水平方向的匀加速运动相吻合，故 解得 故选D。 【例13】（25-26高三上·山东淄博·期末）小清河伏击战是山东人民抗日救国军第五军在抗日战争时期进行的一次重要战斗。如图甲所示，敌军汽艇在河中沿河岸以的速度向下游匀速行驶，河岸上埋伏在高处的我军战士用土炮垂直河岸以、与水平面成的速度斜向上发射炮弹，恰好在点击中汽艇，炮弹出射点与点的高度差为，其侧视图如图乙所示。已知，，重力加速度大小，空气阻力忽略不计。则（　　） A．炮弹在最高点的速度大小为 B．炮弹在空中飞行的时间为 C．炮弹射出瞬间，汽艇距点 D．炮弹击中汽艇时的速度大小为 【答案】AC 【详解】A．炮弹做斜上抛运动，其可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，炮弹在最高点的速度大小为水平分速度，故A正确； B．取竖直向上为正方向，竖直方向的初速度为 竖直方向有 解得，故B错误； C．汽艇在河中沿河岸以的速度向下游匀速行驶，由 解得炮弹射出瞬间，汽艇距点，故C正确； D．炮弹击中汽艇时的竖直分速度为 故合速度大小为，故D错误。 故选AC。 【例14】（25-26高一上·吉林·期末）如图所示的坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，在y轴上的A点有一小球甲以水平向右的初速度v0抛出的同时，在坐标原点O有一小球乙以斜向右上方的速度抛出，C为乙运动轨迹的最高点，甲经过C点后落在x轴上的D点，乙最终落在x轴上的B点（x0，0），已知两球在C点相遇但不相碰，重力加速度为g，不计空气阻力，小球均可视为质点。求： (1)乙从O到B的运动时间以及A、O两点间的距离； (2)乙在O点的速度大小以及D、O两点间的距离。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由斜抛运动的对称性可知甲从A到C的水平位移为0.5x0，设甲从A到C的运动时间为t0，则有 则乙从O到B的运动时间为 A、C两点的高度与CB两点的高度相等则有 A点与O点间的距离 解得 （2）把乙在O点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有， 乙在O点的速度 综合可得 甲从A到D，由平抛运动的规律可得 D与O点间的距离 综合可得 【例15】（25-26高一上·吉林松原·期末）巴蜀中学高中女篮勇夺2024年中国高中篮球联赛西区冠军，在篮球比赛中某同学以斜向上的速度将篮球抛出，与篮板撞击后落入篮筐，可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图所示。若此次投篮中，篮球的初速度大小为，与竖直方向夹角为，篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方然后被反向弹回并且从篮筐正中央落下。已知脱手点与撞击点的竖直距离为H，撞击点与篮筐的竖直距离为h，忽略空气阻力，不计篮球与篮板碰撞的时间，则（　　） A．篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向做匀减速直线运动 B．篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为 C．篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为 D．篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足 【答案】BC 【详解】A．篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向做匀速直线运动，故A错误； B．篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方，从脱手到与篮板碰撞前，篮球水平方向做匀速直线运动，则篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为，故B正确； C．篮球从脱手到篮板碰撞前过程，竖直方向根据逆向思维有 解得 与篮板碰撞后到进入篮筐过程，竖直方向有 解得 则篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为 故C正确； D．由篮球的运动轨迹可知，篮球与篮板碰撞后的水平速度小于碰撞前的水平速度，则篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足 故D错误。 故选BC。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4抛体运动的规律 精讲考点 考点一 平抛运动 1 考点二 平抛运动的两个推论 7 考点三 斜抛运动 13 考点一 平抛运动 考点精讲 1．抛体运动 (1)水平位移：x＝v0t 竖直位移：y＝gt2 (2)水平分速度：vx＝v0 竖直分速度：vy＝gt 2．以初速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。 (1)水平方向：vx＝v0。 (2)竖直方向：vy＝gt。 (3)合速度 大小：v＝＝； 方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角)。 3.做平抛运动的物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图。运动时间t后，其水平位移：x＝v0t 竖直位移：y＝gt2 合位移大小：l＝＝ 合位移方向：tan α＝＝(α为位移与水平方向的夹角)。 4．轨迹方程：y＝x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 5．平抛运动的基本规律的理解 (1)飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 (2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 (3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。 (4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 【例1】（25-26高一上·辽宁本溪·期末）如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【例2】（25-26高一上·吉林长春·期末）关于平抛运动的速度和位移规律，下列说法正确的是（　　） A．任意相等时间内，速度的变化量大小相等、方向竖直向下 B．任意相等时间内，水平方向的位移相等 C．平抛运动的物体在某时刻的速度方向一定与从开始到该时刻的位移方向垂直 D．平抛运动的水平分速度随时间逐渐增大，竖直分速度保持不变 【例3】（24-25高一上·广东广州·期末）如图所示，可视为质点的小球从盒子（厚度和直径不计）正上方处以初速度水平抛出，与此同时盒子以某一初速度被推出，盒子在摩擦力作用下做匀减速直线运动，小球恰好能落入盒子中。已知盒子与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力，求： (1)小球从抛出到刚落入盒子中的水平位移大小； (2)盒子的初速度大小。 【例4】（25-26高三上·辽宁·期末）如图所示，一水平放置的水管，距水池水面高，有水从管口处以不变的速度源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，假定水在空中做平抛运动，并假设水流在空中不散开，水在水池中的落点与管口的水平距离为，管内横截面积。取重力加速度，水的密度为，不计空气阻力。 (1)水从管口到水面的运动时间和的大小； (2)水流稳定后在空中水的质量。 【例5】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，光滑水平桌面上A、B两物块叠放在一起，空间中始终存在水平恒力F作用在物块B上（物块A始终不受此恒力作用），使物块A、B恰好一起向右加速运动，物块A质量，物块B质量，A、B间的动摩擦因数，桌面长L=1m，桌边高H=0.8m，桌面右边缘正下方为Ｏ点，A、B可看作质点（g=10m/s2），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)A、B恰好不相对滑动的临界力F0； (2)若F=6N，使A、B从桌面左端由静止开始运动，求物块A落地点距Ｏ点的水平距离x； (3)在第（2）问情况下，求A、B落地的水平距离差。 考点二 平抛运动的两个推论 考点精讲 1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝＝① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ＝＝② 联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。 2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则。 推导：速度偏向角的正切值tan θ＝① 位移偏向角的正切值 tan α＝＝＝② 联立①②式可得tan θ＝2tan α。 【例6】（25-26高二上·广西柳州·期中）2022年，北京举行了第24届冬季奥林匹克运动会。冬季奥运会比赛项目之一的“跳台滑雪”，可简化为如图所示的模型，质量为60kg的运动员由高处下滑后从平台末端A点水平跃出，落在水平地面上的B处。已知A点离地面高度，从A点到B的水平距离，忽略一切阻力，取。求运动员： (1)从A点运动到B点的时间； (2)从A点水平跃出时的速度大小； (3)到B点时的速度大小及速度与水平方向夹角的正切值。 【例7】（25-26高三上·江西·月考）如图所示，AC是倾角θ=30°、长度为L的斜面，CD部分为水平面，第一次将小球从斜面顶端A点以大小为v0的初速度水平向右抛出，小球落在斜面的中点B。第二次将小球从斜面顶端A点以大小为2v0的初速度水平向右抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（   ） A．小球第一次与第二次在空中运动过程中的时间之比为1∶2 B．小球第一次与第二次在空中运动过程中的水平位移之比为1∶4 C．第二次小球恰好落在C点 D．第二次小球的落点与C点间的距离为 【例8】（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【例9】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，圆心为点，、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球（可视为质点）获得一个水平向右的初速度，不计空气阻力，则小球从点离开后运动到圆弧上某点过程说法正确的是（    ） A．初速度越大，小球落在圆弧上时速度越大 B．初速度越大，小球平抛运动过程速度的变化量越大 C．改变初速度的大小，落在圆弧上不同位置速率可能相等 D．改变初速度的大小，落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线 【例10】（25-26高三上·广西·月考）跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方的斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为vM、vN。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 考点三 斜抛运动 考点精讲 1．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度 水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。 竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin_θ－gt。 2．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移 水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。 竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。 3．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4．由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 【例11】（25-26高一上·辽宁本溪·期末）投掷铅球时，铅球的出手高度、出手速度的大小和方向（用出手速度方向与水平方向的夹角表示，也叫抛出角）都对成绩有影响。如图所示，一同学在练习投掷铅球（可视为质点）时，另一同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置。已知手机连拍的时间间隔为，图中1位置为铅球刚出手时的位置，4位置为铅球运动中的最高点，8位置为铅球刚要落地时的位置，测得水平射程。不计空气阻力，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　） A．出手速度的大小为 B．抛出角 C．出手高度为 D．落地速度的大小为 【例12】（2026·河北沧州·一模）如图所示为一种射击类电子游戏：从水平地面的O点斜向右上方同时发射三颗“炮弹”，“炮弹”的初速度大小分别为、和，方向与水平方向间的夹角均为，“炮弹”均可视为质点，相互之间无影响。“炮弹”发射的同时，一辆“拦截车”从O点由静止开始向右做匀加速直线运动，当三颗“炮弹”飞行到离地面最大的高度时，“拦截车”均恰好经过其正下方并成功拦截（拦截时间不计，拦截也不影响“拦截车”向右的匀加速直线运动），游戏中模拟的重力加速度为，不计空气阻力，要成功拦截三颗“炮弹”，“拦截车”的加速度为（　　） A． B． C．2g D． 【例13】（25-26高三上·山东淄博·期末）小清河伏击战是山东人民抗日救国军第五军在抗日战争时期进行的一次重要战斗。如图甲所示，敌军汽艇在河中沿河岸以的速度向下游匀速行驶，河岸上埋伏在高处的我军战士用土炮垂直河岸以、与水平面成的速度斜向上发射炮弹，恰好在点击中汽艇，炮弹出射点与点的高度差为，其侧视图如图乙所示。已知，，重力加速度大小，空气阻力忽略不计。则（　　） A．炮弹在最高点的速度大小为 B．炮弹在空中飞行的时间为 C．炮弹射出瞬间，汽艇距点 D．炮弹击中汽艇时的速度大小为 【例14】（25-26高一上·吉林·期末）如图所示的坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，在y轴上的A点有一小球甲以水平向右的初速度v0抛出的同时，在坐标原点O有一小球乙以斜向右上方的速度抛出，C为乙运动轨迹的最高点，甲经过C点后落在x轴上的D点，乙最终落在x轴上的B点（x0，0），已知两球在C点相遇但不相碰，重力加速度为g，不计空气阻力，小球均可视为质点。求： (1)乙从O到B的运动时间以及A、O两点间的距离； (2)乙在O点的速度大小以及D、O两点间的距离。 【例15】（25-26高一上·吉林松原·期末）巴蜀中学高中女篮勇夺2024年中国高中篮球联赛西区冠军，在篮球比赛中某同学以斜向上的速度将篮球抛出，与篮板撞击后落入篮筐，可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图所示。若此次投篮中，篮球的初速度大小为，与竖直方向夹角为，篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方然后被反向弹回并且从篮筐正中央落下。已知脱手点与撞击点的竖直距离为H，撞击点与篮筐的竖直距离为h，忽略空气阻力，不计篮球与篮板碰撞的时间，则（　　） A．篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向做匀减速直线运动 B．篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为 C．篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为 D．篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $