7.3·复数的三角表示【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【7.3·复数的三角表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：复数的三角形式 1.知识点1：复数三角形式的定义 知识点：设复数（），其模为（），若以x轴正半轴为始边，以复数对应复平面内向量所在射线为终边的角为（称为复数的辐角），则复数的三角形式（标准形式）为： 核心说明：①三角形式的三大要素（缺一不可）：模（非负实数）、余弦项、正弦项，且中间用“+”连接；②当时，模，辐角可以是任意实数（无唯一值）；③复数的代数形式与三角形式可相互转化，本质是同一复数的不同表示形式 易错辨析：①忽略三角形式的标准结构，如误将、当作三角形式（必须是，符号、顺序均不能错）；②模取负值，如（，负值需转化为正值，调整辐角）；③遗漏三角形式的要素，如写成（漏乘模）、（正弦项不能改为正切项）；④当时，错误认为辐角（0的辐角任意，无固定值） 重点记忆：①核心口诀：“三角形式三要素，模非负，余弦前，正弦后，中间加号不能漏”；②必记标准形式：（）；③关键提醒：判断一个复数是否为三角形式，需同时满足“模非负、顺序为cosθ+i sinθ、中间为加号”三个条件，缺一不可；④技巧：若复数形式不符合标准，先调整模为非负，再调整辐角，转化为标准三角形式 常考结论：①高频标准三角形式示例： 复数（代数形式）：，辐角（），三角形式为； 复数（代数形式）：，辐角（），三角形式为； 复数（代数形式）：，辐角（），三角形式为； ②非标准形式转化为标准形式：（）； ③复数的三角形式不唯一（辐角可相差，），但代数形式唯一 2.知识点2：复数的辐角与辐角主值 知识点：①辐角定义：在复平面内，以x轴正半轴为始边，复数对应向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，记作；②辐角的性质：一个非零复数的辐角有无数个，所有辐角相差（），即（），其中为辐角主值；③辐角主值定义：在复数的所有辐角中，满足的辐角，叫做复数的辐角主值，记作（唯一值） 补充：辐角主值的取值范围（教辅规范，必记）：，非零复数的辐角主值唯一，零复数无辐角主值（或说辐角主值任意） 易错辨析：①混淆辐角与辐角主值，如认为“辐角就是辐角主值”（辐角有无数个，辐角主值唯一，是辐角的一个特定值）；②辐角主值取值范围错误，如写成、；③求辐角主值时忽略复数对应点的象限，如，误算（正确，若误算为，忽略象限导致错误）；④认为“零复数的辐角主值为0”（零复数无唯一辐角主值，任意角均可）；⑤辐角主值与三角函数象限角混淆，如，误将辐角主值取为（需调整至，正确为） 重点记忆：①核心口诀：“辐角无数多，相差2kπ，主值唯一值，范围0到2π”；②必记取值范围：（非零复数），零复数无辐角主值；③关键提醒：求辐角主值的核心是“确定复数对应复平面内点的象限，结合三角函数值求符合范围的角”；④技巧：若求出的角，则加；若，则减（），使其落在内 常考结论：①高频非零复数的辐角主值： （，实数）：； （，实数）：； （，纯虚数）：； （，纯虚数）：； ：；：；：；：； ②辐角与辐角主值的关系：（，）； ③若，则（），当时， 3.知识点3：复数代数形式与三角形式的互化 知识点：复数的代数形式（）与三角形式（）可双向互化，核心公式： ①代数形式→三角形式（重点，高频）： 步骤1：求模； 步骤2：求辐角主值（结合点所在象限，由（）求）； 步骤3：写出三角形式； 特殊情形：当时，，，（）或（） ②三角形式→代数形式（基础，简单）： 利用三角函数展开，核心公式：，即，，整理为即可 易错辨析：①代数转三角时，漏求模，直接用表示（必须乘模）；②由求时，忽略点的象限，误取角（如，，误取，正确为）；③三角转代数时，计算错误，如误算为（正确为）；④代数转三角时，模计算错误，如，误算（正确，但，仍为5，辐角主值变化）；⑤三角转代数时，漏乘模，如误写为 重点记忆：①核心口诀：“代数转三角，先求模，再求角，最后写成r(cosθ+i sinθ)；三角转代数，展开余弦正弦，实虚部分别算”；②必记互化公式：，，，（）；③关键提醒：求辐角主值时，象限是核心，避免仅由正切值误判角；④技巧：代数转三角时，可先标注点的象限，再结合特殊角三角函数值快速求，减少计算错误 常考结论：①高频互化示例： 代数→三角：，，，三角形式； 代数→三角：，，，三角形式； 三角→代数：； 三角→代数：； ②互化核心：（连接代数形式与三角形式的关键）； ③若复数三角形式为，则其共轭复数的三角形式为 模块二：复数三角形式的运算 4.知识点4：复数三角形式的乘法运算 知识点：设两个复数的三角形式分别为，（），则它们的乘法法则（教辅规范，适配word）： 核心说明：①乘法法则口诀：“模相乘，辐角相加”；②运算性质：复数三角形式的乘法满足交换律、结合律，即，；③运算结果仍为复数，三角形式保持标准结构；④可推广到n个复数相乘： 易错辨析：①混淆乘法法则，误将“模相乘、辐角相加”记为“模相加、辐角相乘”（高频错误）；②辐角相加后未化简，超出；③两个复数相乘时，未先转化为标准三角形式，直接套用法则（如非标准形式，需先转化为标准形式再运算）；④模相乘时计算错误，如，，误算为（正确为）；⑤辐角相加时符号错误，如，，误算为（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“三角乘法很简单，模乘辐角加，结果仍三角，标准形式要保留”；②必记法则：；③关键提醒：运算前务必将两个复数转化为标准三角形式，避免法则套用错误；④技巧：辐角相加后，若，则减；若，则加（），化简为内的角，符合教辅答题规范 常考结论：①高频运算示例： ，，则； ，，则； ②几何意义：两个复数相乘，对应复平面内向量的“伸缩变换”（模相乘）与“旋转变换”（辐角相加），即把对应向量伸长（或缩短）倍，再绕原点逆时针旋转角，得到对应向量； ③若（模为1），则对应向量仅绕原点逆时针旋转角，模不变 5.知识点5：复数三角形式的除法运算 知识点：设两个复数的三角形式分别为，（，，），则它们的除法法则（教辅规范，适配word）： 核心说明：①除法法则口诀：“模相除，辐角相减”；②运算前提：除数，即模（辐角唯一）；③运算性质：复数三角形式的除法是乘法的逆运算，即，其中；④运算结果仍为复数，三角形式保持标准结构 易错辨析：①混淆除法法则，误将“模相除、辐角相减”记为“模相减、辐角相除”（高频错误）；②辐角相减时符号错误，如误算为；③除数模（忽略的前提，除法无意义）；④运算前未将复数转化为标准三角形式，直接套用法则（如需先转化为标准形式）；⑤模相除时计算错误，如，，误算为（正确为）；⑥辐角相减后未化简，超出 重点记忆：①核心口诀：“三角除法有技巧，模除辐角减，除数非零要记牢，标准形式先转好”；②必记法则：（）；③关键提醒：运算前先将被除数、除数转化为标准三角形式，确保法则套用正确；除数模不能为0；④技巧：辐角相减后，若，则加；若，则减（），化简为内的角；⑤辅助技巧：（可直接用于快速运算，等价于标准形式） 常考结论：①高频运算示例： ，，则； ，，则； ②几何意义：两个复数相除，对应复平面内向量的“伸缩变换”（模相除）与“旋转变换”（辐角相减），即把对应向量缩短（或伸长）为原来的倍，再绕原点顺时针旋转角，得到对应向量； ③若（模为1），则对应向量仅绕原点顺时针旋转角，模不变 6.知识点6：复数三角形式的乘方运算 知识点：设复数的三角形式为（），为任意整数，则复数三角形式的乘方运算遵循棣莫弗公式（教辅核心公式，适配word，精准无错）： 核心说明：①乘方法则口诀：“模乘方，辐角乘n”；②适用范围：（正整数、负整数、零均适用）；③特殊情形：当时，（），符合公式（，）；当为负整数时，设（），则，仍符合棣莫弗公式；④运算结果仍为复数，三角形式保持标准结构 易错辨析：①棣莫弗公式记忆错误，误将“模乘方、辐角乘n”记为“模乘n、辐角乘方”；②忽略公式适用条件，将非标准三角形式直接套用公式（如，需先转化为标准形式）；③当时，误将模的乘方写成（正确为）；④辐角乘n后未化简，超出；⑤当为负整数时，不会转化为正整数乘方的倒数，直接套用公式出错；⑥零复数乘方错误，如（），误算为1 重点记忆：①核心口诀：“棣莫弗公式真好用，模的n次方，辐角n倍乘，整数n都适用”；②必记公式：（）；③关键提醒：运算前务必将复数转化为标准三角形式；为负整数时，转化为正整数乘方的倒数再运算；④技巧：辐角化简时，减去（），使其落在内；⑤特殊技巧：当时，，可直接用于三角函数求值 常考结论：①高频运算示例： ； ； ； ； ②重要应用：利用棣莫弗公式可快速求复数的高次幂，避免代数形式高次幂展开的繁琐运算； ③三角函数求值：由，展开左边，对比实部、虚部，可推导倍角公式、多倍角公式 7.知识点7：复数三角形式的开方运算 知识点：设复数的三角形式为（），为正整数，则复数的次方根有个，且每个根的三角形式（教辅规范）为： （） 核心说明：①开方法则口诀：“模开n次方，辐角加2kπ再除以n”；②核心性质：次方根有且仅有个，当取时，得到所有不同的根，取其他整数时，根会重复；③根的模：所有次方根的模均为（相等）；④根的辐角：相邻两个根的辐角之差为，所有根对应复平面内的点均匀分布在以原点为圆心、为半径的圆上（等分圆周）；⑤当时，次方根只有1个，即 易错辨析：①忽略开方根的个数，误认为“一个复数的n次方根只有1个”（高频错误，n为正整数时，有n个不同的根）；②开方法则记忆错误，误将辐角“加2kπ再除以n”记为“除以n再加2kπ”；③的取值范围错误，如（正确为），导致根重复；④模开n次方时计算错误，如，，误算（正确，但需先转化为，再开方）；⑤辐角未加，直接除以n，导致漏根；⑥零复数开方错误，如认为“0的n次方根有n个”（0的n次方根只有1个，即0） 重点记忆：①核心口诀：“复数开n次方，n个根来帮忙，模开n次方，辐角加2kπ再除以n，k取0到n-1”；②必记公式：（，）；③关键提醒：运算前将复数转化为标准三角形式；的取值范围必须是到，避免漏根或重复；④技巧：所有n次方根均匀分布在以原点为圆心、为半径的圆上，相邻根的辐角差为，可快速验证根的个数和分布是否正确；⑤特殊提醒：当时，所有根均为0，仅1个 常考结论：①高频开方示例： 求的3次方根： （） ：； ：； ：； 求（三角形式）的4次方根（四次单位根）： （） 分别为、、、； ②核心性质：复数的个次方根的积为；③所有次方根的和为0（，）；④四次单位根（）的根为，高频应用于简化运算 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:复数的三角表示】 （25-26高三上·海南·月考）欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为 ．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】由题意可得， 所以的虚部为. 故答案为： （2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模． 【详解】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）复数()小试牛刀1 (1)若，求表示点在复平面内图形的面积. (2)将化成，且.求证: . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据复数模的概念，判断复数在复平面对应的图形，再求面积. （2）法1：利用复数的乘法运算化简证明；法2：利用复数三角形式的乘法运算公式证明. 【详解】（1）由，可得复数在复平面内对应的轨迹图形是圆环，如下图： 其中，圆环的内圆半径为1，外圆半径为3，则圆环的面积为：， 即为复数表示的点在复平面内图形的面积. （2）由题意： ， 法1： . 法2： . （2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数与指数函数的关联.在复变函数领域具有非常重要的地位.依据欧拉公式，解答下列问题：小试牛刀2 (1)求复数的模长； (2)求的共轭复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据欧拉公式结合复数模的计算公式计算即可； （2）根据欧拉公式结合共轭复数的概念计算即可. 【详解】（1），， 所以，所以复数的模长为. （2），复数的共轭复数为， 所以的共轭复数为 （24-25高一下·全国·课后作业）若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】先设，再依次根据结合其辐角及其定义即可计算求解参数. 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 【题型2：三角表示下复数的几何意义】 （24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积.经典例题1例题 【答案】 【分析】写出复数的三角形式，根据三角形式几何意义得到，且，，且，利用三角形面积公式得到，相加后得到答案. 【详解】，得，由， 得. 因为，所以，即，且. 因为，所以，即，且. 设四边形的面积为， 则 . （2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. （22-23高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可. 【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 故答案为：. （24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为小试牛刀2 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【详解】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. （24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理．小试牛刀3 (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 【题型3：复数乘法运算的三角表示】 （25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. （24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则 .经典例题2例题 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 （24-25高一下·全国·课后作业）乘法运算法则小试牛刀1 设，，则 ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复数的辐角的 ． 【答案】 积 和 （2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示：小试牛刀2 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式. （2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 【题型4：复数除法运算的三角表示】 （24-25高一下·全国·课后作业）计算：经典例题1例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （24-25高一下·全国·课后作业）计算：经典例题2例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式． （24-25高一下·全国·课后作业）除法运算法则小试牛刀1 设，，且，则 ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 ． 【答案】 商 差 （24-25高一下·全国·课后作业）计算：小试牛刀2 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解. 【详解】（1） ． （2）原式 ． （24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：小试牛刀3 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 【题型5：三角表示下复数的乘方与开方】 （25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）经典例题2例题 A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得， ，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB （2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 【多选题】（24-25高三上·云南·月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. （23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【答案】AD 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解. 【详解】对A，由题意知 ，正确； 对B，由题意知 ，错误； 对C，由题意知，令，则，当时，错误； 对D，，，所以，正确. 故选：AD 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 2．（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得 ， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 4．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 6．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 7．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 8．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是 D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是 【答案】BD 【分析】辅角的主值的取值范围是，若，，即可判断；由，即可判断；因为，即可判断；，为辐角的主值，可判断. 【详解】设，，则， 若，，则的辐角的主值为，不正确； ，的辐角的主值为，正确； 设，， ，， ， 若，则的辐角的主值为，不正确； ， 所以的辐角的主值是，正确. 故选：. 10．（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 三、填空题 11．（2024高一下·全国·专题练习）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据棣莫弗公式直接计算即可. 【详解】因为，由棣莫弗公式可得： . 故答案为：. 12．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 【答案】 / 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 13．（23-24高一下·福建宁德·月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 【答案】1 【分析】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模. 【详解】由题意得 ， 所以. 故答案为：1 14．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4096 【分析】（1）利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得； （2）将幂的底数化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得. 【详解】（1） ． （2） ． 16．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设中的欧拉公式可求. （2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集. 【详解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 17．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0. (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【详解】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则 ， 但 ， 故，. 18．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【7.3·复数的三角表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：复数的三角形式 1.知识点1：复数三角形式的定义 知识点：设复数（），其模为（），若以x轴正半轴为始边，以复数对应复平面内向量所在射线为终边的角为（称为复数的辐角），则复数的三角形式（标准形式）为： 核心说明：①三角形式的三大要素（缺一不可）：模（非负实数）、余弦项、正弦项，且中间用“+”连接；②当时，模，辐角可以是任意实数（无唯一值）；③复数的代数形式与三角形式可相互转化，本质是同一复数的不同表示形式 易错辨析：①忽略三角形式的标准结构，如误将、当作三角形式（必须是，符号、顺序均不能错）；②模取负值，如（，负值需转化为正值，调整辐角）；③遗漏三角形式的要素，如写成（漏乘模）、（正弦项不能改为正切项）；④当时，错误认为辐角（0的辐角任意，无固定值） 重点记忆：①核心口诀：“三角形式三要素，模非负，余弦前，正弦后，中间加号不能漏”；②必记标准形式：（）；③关键提醒：判断一个复数是否为三角形式，需同时满足“模非负、顺序为cosθ+i sinθ、中间为加号”三个条件，缺一不可；④技巧：若复数形式不符合标准，先调整模为非负，再调整辐角，转化为标准三角形式 常考结论：①高频标准三角形式示例： 复数（代数形式）：，辐角（），三角形式为； 复数（代数形式）：，辐角（），三角形式为； 复数（代数形式）：，辐角（），三角形式为； ②非标准形式转化为标准形式：（）； ③复数的三角形式不唯一（辐角可相差，），但代数形式唯一 2.知识点2：复数的辐角与辐角主值 知识点：①辐角定义：在复平面内，以x轴正半轴为始边，复数对应向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，记作；②辐角的性质：一个非零复数的辐角有无数个，所有辐角相差（），即（），其中为辐角主值；③辐角主值定义：在复数的所有辐角中，满足的辐角，叫做复数的辐角主值，记作（唯一值） 补充：辐角主值的取值范围（教辅规范，必记）：，非零复数的辐角主值唯一，零复数无辐角主值（或说辐角主值任意） 易错辨析：①混淆辐角与辐角主值，如认为“辐角就是辐角主值”（辐角有无数个，辐角主值唯一，是辐角的一个特定值）；②辐角主值取值范围错误，如写成、；③求辐角主值时忽略复数对应点的象限，如，误算（正确，若误算为，忽略象限导致错误）；④认为“零复数的辐角主值为0”（零复数无唯一辐角主值，任意角均可）；⑤辐角主值与三角函数象限角混淆，如，误将辐角主值取为（需调整至，正确为） 重点记忆：①核心口诀：“辐角无数多，相差2kπ，主值唯一值，范围0到2π”；②必记取值范围：（非零复数），零复数无辐角主值；③关键提醒：求辐角主值的核心是“确定复数对应复平面内点的象限，结合三角函数值求符合范围的角”；④技巧：若求出的角，则加；若，则减（），使其落在内 常考结论：①高频非零复数的辐角主值： （，实数）：； （，实数）：； （，纯虚数）：； （，纯虚数）：； ：；：；：；：； ②辐角与辐角主值的关系：（，）； ③若，则（），当时， 3.知识点3：复数代数形式与三角形式的互化 知识点：复数的代数形式（）与三角形式（）可双向互化，核心公式： ①代数形式→三角形式（重点，高频）： 步骤1：求模； 步骤2：求辐角主值（结合点所在象限，由（）求）； 步骤3：写出三角形式； 特殊情形：当时，，，（）或（） ②三角形式→代数形式（基础，简单）： 利用三角函数展开，核心公式：，即，，整理为即可 易错辨析：①代数转三角时，漏求模，直接用表示（必须乘模）；②由求时，忽略点的象限，误取角（如，，误取，正确为）；③三角转代数时，计算错误，如误算为（正确为）；④代数转三角时，模计算错误，如，误算（正确，但，仍为5，辐角主值变化）；⑤三角转代数时，漏乘模，如误写为 重点记忆：①核心口诀：“代数转三角，先求模，再求角，最后写成r(cosθ+i sinθ)；三角转代数，展开余弦正弦，实虚部分别算”；②必记互化公式：，，，（）；③关键提醒：求辐角主值时，象限是核心，避免仅由正切值误判角；④技巧：代数转三角时，可先标注点的象限，再结合特殊角三角函数值快速求，减少计算错误 常考结论：①高频互化示例： 代数→三角：，，，三角形式； 代数→三角：，，，三角形式； 三角→代数：； 三角→代数：； ②互化核心：（连接代数形式与三角形式的关键）； ③若复数三角形式为，则其共轭复数的三角形式为 模块二：复数三角形式的运算 4.知识点4：复数三角形式的乘法运算 知识点：设两个复数的三角形式分别为，（），则它们的乘法法则（教辅规范，适配word）： 核心说明：①乘法法则口诀：“模相乘，辐角相加”；②运算性质：复数三角形式的乘法满足交换律、结合律，即，；③运算结果仍为复数，三角形式保持标准结构；④可推广到n个复数相乘： 易错辨析：①混淆乘法法则，误将“模相乘、辐角相加”记为“模相加、辐角相乘”（高频错误）；②辐角相加后未化简，超出；③两个复数相乘时，未先转化为标准三角形式，直接套用法则（如非标准形式，需先转化为标准形式再运算）；④模相乘时计算错误，如，，误算为（正确为）；⑤辐角相加时符号错误，如，，误算为（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“三角乘法很简单，模乘辐角加，结果仍三角，标准形式要保留”；②必记法则：；③关键提醒：运算前务必将两个复数转化为标准三角形式，避免法则套用错误；④技巧：辐角相加后，若，则减；若，则加（），化简为内的角，符合教辅答题规范 常考结论：①高频运算示例： ，，则； ，，则； ②几何意义：两个复数相乘，对应复平面内向量的“伸缩变换”（模相乘）与“旋转变换”（辐角相加），即把对应向量伸长（或缩短）倍，再绕原点逆时针旋转角，得到对应向量； ③若（模为1），则对应向量仅绕原点逆时针旋转角，模不变 5.知识点5：复数三角形式的除法运算 知识点：设两个复数的三角形式分别为，（，，），则它们的除法法则（教辅规范，适配word）： 核心说明：①除法法则口诀：“模相除，辐角相减”；②运算前提：除数，即模（辐角唯一）；③运算性质：复数三角形式的除法是乘法的逆运算，即，其中；④运算结果仍为复数，三角形式保持标准结构 易错辨析：①混淆除法法则，误将“模相除、辐角相减”记为“模相减、辐角相除”（高频错误）；②辐角相减时符号错误，如误算为；③除数模（忽略的前提，除法无意义）；④运算前未将复数转化为标准三角形式，直接套用法则（如需先转化为标准形式）；⑤模相除时计算错误，如，，误算为（正确为）；⑥辐角相减后未化简，超出 重点记忆：①核心口诀：“三角除法有技巧，模除辐角减，除数非零要记牢，标准形式先转好”；②必记法则：（）；③关键提醒：运算前先将被除数、除数转化为标准三角形式，确保法则套用正确；除数模不能为0；④技巧：辐角相减后，若，则加；若，则减（），化简为内的角；⑤辅助技巧：（可直接用于快速运算，等价于标准形式） 常考结论：①高频运算示例： ，，则； ，，则； ②几何意义：两个复数相除，对应复平面内向量的“伸缩变换”（模相除）与“旋转变换”（辐角相减），即把对应向量缩短（或伸长）为原来的倍，再绕原点顺时针旋转角，得到对应向量； ③若（模为1），则对应向量仅绕原点顺时针旋转角，模不变 6.知识点6：复数三角形式的乘方运算 知识点：设复数的三角形式为（），为任意整数，则复数三角形式的乘方运算遵循棣莫弗公式（教辅核心公式，适配word，精准无错）： 核心说明：①乘方法则口诀：“模乘方，辐角乘n”；②适用范围：（正整数、负整数、零均适用）；③特殊情形：当时，（），符合公式（，）；当为负整数时，设（），则，仍符合棣莫弗公式；④运算结果仍为复数，三角形式保持标准结构 易错辨析：①棣莫弗公式记忆错误，误将“模乘方、辐角乘n”记为“模乘n、辐角乘方”；②忽略公式适用条件，将非标准三角形式直接套用公式（如，需先转化为标准形式）；③当时，误将模的乘方写成（正确为）；④辐角乘n后未化简，超出；⑤当为负整数时，不会转化为正整数乘方的倒数，直接套用公式出错；⑥零复数乘方错误，如（），误算为1 重点记忆：①核心口诀：“棣莫弗公式真好用，模的n次方，辐角n倍乘，整数n都适用”；②必记公式：（）；③关键提醒：运算前务必将复数转化为标准三角形式；为负整数时，转化为正整数乘方的倒数再运算；④技巧：辐角化简时，减去（），使其落在内；⑤特殊技巧：当时，，可直接用于三角函数求值 常考结论：①高频运算示例： ； ； ； ； ②重要应用：利用棣莫弗公式可快速求复数的高次幂，避免代数形式高次幂展开的繁琐运算； ③三角函数求值：由，展开左边，对比实部、虚部，可推导倍角公式、多倍角公式 7.知识点7：复数三角形式的开方运算 知识点：设复数的三角形式为（），为正整数，则复数的次方根有个，且每个根的三角形式（教辅规范）为： （） 核心说明：①开方法则口诀：“模开n次方，辐角加2kπ再除以n”；②核心性质：次方根有且仅有个，当取时，得到所有不同的根，取其他整数时，根会重复；③根的模：所有次方根的模均为（相等）；④根的辐角：相邻两个根的辐角之差为，所有根对应复平面内的点均匀分布在以原点为圆心、为半径的圆上（等分圆周）；⑤当时，次方根只有1个，即 易错辨析：①忽略开方根的个数，误认为“一个复数的n次方根只有1个”（高频错误，n为正整数时，有n个不同的根）；②开方法则记忆错误，误将辐角“加2kπ再除以n”记为“除以n再加2kπ”；③的取值范围错误，如（正确为），导致根重复；④模开n次方时计算错误，如，，误算（正确，但需先转化为，再开方）；⑤辐角未加，直接除以n，导致漏根；⑥零复数开方错误，如认为“0的n次方根有n个”（0的n次方根只有1个，即0） 重点记忆：①核心口诀：“复数开n次方，n个根来帮忙，模开n次方，辐角加2kπ再除以n，k取0到n-1”；②必记公式：（，）；③关键提醒：运算前将复数转化为标准三角形式；的取值范围必须是到，避免漏根或重复；④技巧：所有n次方根均匀分布在以原点为圆心、为半径的圆上，相邻根的辐角差为，可快速验证根的个数和分布是否正确；⑤特殊提醒：当时，所有根均为0，仅1个 常考结论：①高频开方示例： 求的3次方根： （） ：； ：； ：； 求（三角形式）的4次方根（四次单位根）： （） 分别为、、、； ②核心性质：复数的个次方根的积为；③所有次方根的和为0（，）；④四次单位根（）的根为，高频应用于简化运算 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:复数的三角表示】 （25-26高三上·海南·月考）欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为 ．经典例题1例题 （2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ．经典例题2例题 （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）复数()小试牛刀1 (1)若，求表示点在复平面内图形的面积. (2)将化成，且.求证: . （2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数与指数函数的关联.在复变函数领域具有非常重要的地位.依据欧拉公式，解答下列问题：小试牛刀2 (1)求复数的模长； (2)求的共轭复数. （24-25高一下·全国·课后作业）若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为 ．小试牛刀3 【题型2：三角表示下复数的几何意义】 （24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积.经典例题1例题 （2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （22-23高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）．小试牛刀1 （24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为小试牛刀2 (1)求复数； (2)若复数，求复数. （24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理．小试牛刀3 (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【题型3：复数乘法运算的三角表示】 （25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则 ．经典例题1例题 （24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则 .经典例题2例题 （24-25高一下·全国·课后作业）乘法运算法则小试牛刀1 设，，则 ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复数的辐角的 ． （2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示：小试牛刀2 (1)； (2)； (3). （2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．1 【题型4：复数除法运算的三角表示】 （24-25高一下·全国·课后作业）计算：经典例题1例题 (1)； (2)． （24-25高一下·全国·课后作业）计算：经典例题2例题 (1)； (2)． （24-25高一下·全国·课后作业）除法运算法则小试牛刀1 设，，且，则 ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 ． （24-25高一下·全国·课后作业）计算：小试牛刀2 (1)； (2)． （24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：小试牛刀3 (1)； (2)． 【题型5：三角表示下复数的乘方与开方】 （25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）经典例题2例题 A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 （2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ．小试牛刀1 【多选题】（24-25高三上·云南·月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 4．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 7．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是 D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是 10．（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024高一下·全国·专题练习）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是 ． 12．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 13．（23-24高一下·福建宁德·月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 14．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 16．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 17．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 18．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $