河北省石家庄精英中学等校2025-2026学年高二上学期第五次调研考试（期末）数学试卷

石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第五次调研考试 高二数学·参考答案 1.D 【详解】2和18的等比中项为±√2×I8=6.故选D. 2.B 7a一ma四=士Qw=0热森8 1 【详解】由△r→0△x 5,有Ar→02△x10,有 3.A 【详解】10个月后的收益为1000x1+0.1)10-1000=1000x1.1°-1000≈1000x2.59-1000=1590元 故选A. 4.C (详解】将点P代入抛物线C的方程，有a=b,可得4=b又由PF10有6+三0 ,又由 a=b,可得a=8,a+b=16.故选C. 5.C 35(a1+a35) 2 S5-5×35-1_58 bg356+bs)T54×35+147 【详解】由 2 .故选C 6.B 2=002=2 【详解】令，有44-2，可得4，=2由。=2a2产=2 可得数列a,}的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 2026=(a1+a3+.+a2025)+(a2+a4++a2026) 1-2082x1-20）-3×2109-3 有 1-2+ 1-2 可得 og,55a6+10=log,2013=1013 故选B. 7.D 【详解】当n≥2时，an=(an-a)+(a1-an-2)+…+(a3-a)+(a2-a)+a =(2n-0+(2n-3)+…+5+3+1=n,又由a=l符合0，=n(m≥2)，可得0m=n2(neN) b=-1 又由a+a,a+i+an+I ，可得数列b,}前99项的和为 (V2-1)+(W3-V2)++(W100-99)=10-1=9故选D. 【高二数学参考答案第1页 (共8页)】 8.A 【详解】第一个正方形面积S=52=25cm2，后续每个正方形面积是前一个的2， 故各正方形的面积依次构成首项为a=25,公比为9=2的等比数列. 2s1- 经过次操作后，所有正方形（共个）的面积和为：S w- n n+1 解不等式501-（分]>49.95，有1-（分>0.99，有宁<0.001，有21>1000又由 20=1024,2”=512,可得”+1210，有”≥9，故”的最小值为9.故选A 9.ACD (+x)-+3x 【详解】对于A选项，由 ,故A选项正确； 对于B选项，(xsinx+cos)'=sinr+COS-sinx=xCOSx,故B选项错误； 2”e21-2x0e213-2x x-1 一= 对于C选项， e (e2r+2 ,故C选项正确； 2 (1og2(2x+1)'= 对于D选项，由 (2x+)h2,故D选项正确故选ACD. 10.AB 【详解】对于A选项，由a12=S2-S<0,4+a2=S2-S0>0,可得41>-a2>0, 可得数列a}的公差d小于0，故A选项正确： 对于B选项，由a1>0,a12<0,d<0,可得Sm中S1最大，故B选项正确： n(a+an) atan S d 对于C选项，由n n 2,可得数列n的公差为2，故C选项错误： S2= 2a+a=1a+a)>0S,-23a+a=23a<0 对于D选项，由 2 2 可得使得S<0的m 的最小值为23，故D选项错误.故选AB. 11.AD 【解对于A遮项，当44时，马店令=a-1则n=公4=名数0<6品a2 【高二数学参考答案第2页 (共8页)】 即1<，52汽≥2，故A选项正确： 16 对于B选项，若数列a,为常数列，令，=1，则1=-21+2，解得=1或=2，a,=1或0，=2，故B 选项错误； 对于C选项，令，=a,1,则b=,若数列a,为递增数列，则数列6，为递增数列， 则1-b=6->0,解得<0或，>1 当4<-l时，6=公>1，且b=,6<4<<h.<4<4且A<b, 此时数列b,}为递增数列，即数列a,为递增数列： 当1≤<0时，0<6≤1，且，=，透2622626<4且4<， 时， 此时数列b,不为递增数列，即数列a,不为递增数列： 当么>1时，b=公，<么<6<<b,<,此时数列b,为递增数列，即数列a为递增数列 综上，当么<-或>1，即4<0或4>2时，数列a,为递增数列，故C选项错误 对于D选项，令，=a,,则=，么=4 两边同时取以2为底的对数，得1og,6=210g,6 10g2 b=2 数列1og,b是首项为2，公比为2的等比数列，ogb,=2”,即6=2,0，=2+1，故D选项正确 故选：AD. 12.35 【详解】设公比为4，由。=S,+qS,有15=5+5g,可得9=2，有S,=S+9S,=15+22×5=35 5 13.6 【详解】设∠APM=0,点P的坐标为(m,n),有n2=4m 有PM=Vm-4)2+n2=√m-4)2+4m=Vm2-4m+16=Vm-2)}2+12≥2V5 【高二数学参考答案第3页 (共8页)】 1 sin= PM|,有 os∠4PB=c0s20=1-2si20=1-2 ≥1-25 由 PMP 126 5 故cOs∠APB的最小值为6 14.【详解】将数列写成以下形式： 1 12 123 … … 123…k 第k(kEN)行所有数的和为1+2+3++k=k 2, 前kkN)行所有数之和为)几x2+2x3++k(k+]= (k+1(k+2) 6 k(k+1(k+2)22×23×24 当k-2时， =2024, 6 6 若再加上第23行第一个数1，总和为2025， 加上第23行前两个数，则总和大于2026， 故n的最大值为1+2++2+1=223+1=254 2 故答案为：254 15.【详解】(1)由f(x)=3x2-4,有f(2)=12-4=8 2分 又由f(2)=0 3分 可得函数f)的图象在2处的切线方程为y=8(x-2),整理为y=8x-16, 故函数f)的图象在一2处的切线方程为y=8x-16 5分 (2)①当点(2,0)为切点时，由(1)可知所求切线方程为y=8x-16 6分 ②当点(2,0)不为切点时，设切点为(m,m-4m）(其中m≠2)， 所求切线方程为y-(m-4m)=(3m2-4)(x-m) 7分 代入点(2,0)的坐标，有-(m3-4m）=(3m2-4)2-m) 【高二数学参考答案第4页 (共8页)】 可化为m(m2-4)-(3m2-4m-2)=0,可化为m(m+2m-2)-(3m2-4m-2)=0, 可化为（m2-m-2m-2)=0,可化为m+10(m-2y=0,解得m-1或m-2(舍去.1分 由m=-1,可得所求切线方程为y-3=-(x+),整理为y=-x+2. 12分 由上知函数x)的图象经过点(2,0)的切线方程为y=8r-16或y=-x+2 13分 16.【详解】(1)设等比数列a的公比为q, 2a1=30 ①当9=1时，有4a=120 不合题意，舍去： 分 a1+aq2-30 a,1-92)=120 ②当9≠1时，有1-9 3分 解得4=3,9=3 6分 可得4，=3×3=3”，故数列a,的通项公式为4.=3” 7分 4n2 4n2 b= (2)由 1og32m-1.1og332-(2n-102n+1） 8 分 =4n2-0+11 +1=(11+1 4n2-1(2n-1(2n+1)22n-12n+1' .12分 有 一)+n= n+n 2n2+2n 2n+1 2n+1.15分 17.【详解】(1)由双曲线C的渐近线方程为少=士x,可设双曲线C的方程为-y=元 1分 代入点(5，-1)的坐标，有(52-(-2=元，可得入=4」 3分 x2 y2 =1 可得双曲线C的方程为-少=4，可得双曲线C的标准方程为44 4分 (2)证明：设A,B两点的坐标分别为：，上，(x2),可得点D的坐标为-)， 设△△MBD的外接圆的圆心坐标为T(0,m)，可得外接圆的方程为x+(y-m)=m2 .6分 x2+(y-m)2=m2 联立方程(x2-y2=4 消去x后整理为少2-my+2=0 【高二数学参考答案第5页 (共8页)】 可得y+y2=m,My2=2 9分 x=ty+n 设直线48的方程为x=+”,联立方程x2-y=4,消去后整理为2-1y2+20+m2-4=0, n2-4 yiy2=- 可得 2-1 *+44444广 n2-4=2 有12-1，可得n2=22+2 13分 n n2 2t2+2 Vt2+1 2+1 =N2 可得原点0到直线AB的距离为√t2+1 故原点O到直线AB的距离为定值 15分 18.【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f(x)-ax-(a2+D+a=ax2-(a2+Dx+a-(ax-Ix-a) 竹 分 ①当a≤0时，八()<0，可得函数f)在(0，+o)上单调递减；2 分 fr=《-y≥0 ②当a=1时， ,可得函数∫)在(0，+O）上单调递增；3 分 1 a<x<- (a,-) 图当0<4<1时，有Q>a,令了田)<0可得a,可得函数的在。上单调递减，在 (0,a.(2to) a 上单调递增；… 4 分 1<x<a ④当a>1时，有aa,令fw)<0,可得ax< 可得函数f(x)在a上单调递减，在 (0,),(a,+o) 上单调递增. 增。5分 (2)由函数f(x)的图象上存在两个点在该点处的切线的斜率都为-2， 可知，∫'(x)=-2在区间(0，+0)上有两个不相等的实数根， 【高二数学参考答案第6页 (共8页)】 ax-(a2+10+0-2 即关于x的方 在区间(0，+0)上有两个不相等的实数根，设两根分别为X,x2, 上述方程可整理为ar2-(a2-1)x+a=0 7分 a≠0 △=(a2-1)2-4a2>0 x+6=a-1>0 a 有(x2=1>0 ,解得l-V2<a<0或a>V2+l, 故实数a的取值范围为1-√2,0U(W2+1,+o) …………410分 (3)当a=1时，由(1)可知函数f(x)单调递增， 4+4x+17≥m(2"+2x+1) 不等式4+4+17)≥f0m(2+2+》可化为m(2+2+1)>0 ms4+4+17 有m>0且2+2十1对X∈R恒成立。12分 4+4+17_(2*+2+1)2-2(2+2)+14_(2*+2+1)2-2(2+2+)+16 又由2+2+1 2x+2-x+1 2+2x+1 =(2x+2x+1)+ 2+2+1222+2+0x16 16 2+2x+1 -2=6 .16分 2*+2+1=16 3+√5 3-V5 当且仅 2+2+1, x=1og22或 =10g22时取等号， 故实数m的取值范围为(0,6] 17分 an 1=2a+1 11 -=2 19.【详解】(1)由 2am+l,有a1 an,有dntt an 1分 可得数列a,是公差为2的等差数列，有a,4 1=1+20m-1）=1+2n-0=2n-1 可得数列a}的通 1 顶公式为0,2n1 。,。。。，，t,。入 取m1,由S,=26,-n-2,有S=26-3=b,可得h=3 3分 当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(2bn-n-2)-(2b-1-n-l),有b,=2b+1,有b+1=2b+l) 可得数列私，+少是首项为4，公比为2的等比数列，有6+1=2， 经检验，n=1时该式成立. 可得数列，}的通项公式为6。=21-1 5分 【高二数学参考答案第7页 (共8页)】 b._2-l-(2n-1)x2-(2n-10 a,I (2)由2n-1 6分 记M。=1×22+3×2+5×24++(2n-3)×2”+(2n-D×2 有2M。=1x2+3×24+5×2++(2n-3)x2+(2n-1)×22 7分 两式作差，有-M。=2+2×23+2×24++2×2H-(2n-1)×2*2 M,=4+2×80-29-2n-1)x22 有 1-2 可得M。=(2n-3)×2+2+12 9分 有7.=M,-1+3+5++(2n-1】=(2n-3)×22+12-n2 10分 (3)不等式1+元(-1)”]b.+1a.≥2可化为 222 +2(-0]2n-22, 可化 1+元(-1)°≥2n-1 2 l分 f0m)=2n-1 f0m+0-fm=2n+1_2n-1_3-2m 2”,有 2+2” 21+1 当=1时，f(2)>f0:当n≥2时，fn)≥fn+) 13分 当n为奇数时， 1+元(-1)≥2n-1 1-≥2n-1 2”可化为 27 1-≥ 2 0 [1-≥f四 1-λ≥ 1s3 又由 8,可得1-元≥f3), 有( 8,可得8 15分 当n为偶数时， 1+元（←1”≥2n-1 2”可化 1+1≥2n-1 2”,可得1+元≥f(2) 3 1+2≥ 又由 有 4,可得 4 ,3 可得实数入的取值范围为4'8 17分 【高二数学参考答案第8页 (共8页)】 石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第五次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.2 和18的等比中项为 A. - 6 B. 6 C. 12 D. - 6或6 2.已知函数 f(x)在 x=1 处可导, 若 则 f'(1)= D. B. 3.用1000元购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益约为(参考数据： A. 1590元 B. 1580元 C. 1570元 D.1560元 4.抛物线 的焦点为 F, 点 P(b,a) 在抛物线 C上, 且|PF|=10, 则 a+b= A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5.已知 Sn, Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和, 且 则 D. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn, a₁=1」且 则 A. 1012 B.1013 C.1014 D.1015 【高二数学 第 1 页 (共4 页)】 学科网（北京）股份有限公司 7.已知数列{an}中 当n≥1且n∈N*时, 记 则数列{bₙ}前99项的和为 A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 8.如图，正方形ABCD的边长为5cm，第一次操作：取正方形 ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形 EFGH ；第二次操作：取正方形 EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直操作下去.若经过n次这样的操作后，使得到所有正方形(包括正方形 ABCD)的面积之和大于49.95cm²，则n的最小值为 A. 9 B.10 C. 11 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列导数计算正确的是 10.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,且 则 A.数列{an}的公差小于0 B. Sn中S₁₁最大 C.数列 的公差与数列{an}的公差相等 D.使得 的正整数n的最小值为24 11.已知数列{an}满足 则下列说法正确的是 A. 当 时， 且n∈N⁺) B.若数列{an}为常数列，则an=2 C.若数列{an}为递增数列，则 D. 当 时， 【高二数学 第 2 页(共4 页)】 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，若 则 13.已知点 P为抛物线 上一点，过点 P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为 . 14.已知数列{an}各项的排列规律如下: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, …, 其前n项的和为 Sn,则 时n的最大值为 . 参考公式： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数 (1)求函数f(x)的图象在 x=2处的切线方程； (2)求函数 f(x)的图象经过点(2，0)的切线方程. 16.(本小题满分15分) 已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且满足 (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 求数列{bn}的前n项和 Tn. 17.(本小题满分15分) 已知双曲线 C的渐近线方程为 y=±x，且双曲线 C经过点( (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 【高二数学 第 3 页 (共4 页 )】 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17分) 已知函数 (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为-2，求实数a的取值范围； (3) 当a=1时, 若对∀x∈R , 有 恒成立，求实数 m的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}中 且满足 数列{bn}的前 n项和为 Sn，且满足 (1) 分别求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列 的前n项和 Tn; (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 【高二数学 第 4 页(共4 页)】 学科网（北京）股份有限公司 $