精品解析：山西太原市2025-2026学年第一学期高二期末学业诊断数学试卷

2025~2026学年第一学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为，若，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 已知抛物线焦点与双曲线的右焦点重合，的准线与相交于、，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点轨迹方程为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 10. 已知直线，抛物线，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，直线与抛物线没有公共点 B. 若直线与抛物线有唯一公共点，则 C. 当时，直线与抛物线有两个公共点 D. 若直线经过抛物线的焦点，则 11. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程为________. 13. 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________． 14. 希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程； （2）已知双曲线的实轴长为，且经过点，求的标准方程和焦点坐标. 16. 已知抛物线焦点是直线与轴的交点． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 17. 已知点，直线与相交于点，且它们的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与相交于两个不同点，且线段的中点坐标为，求实数的取值范围. 18. 已知双曲线的离心率，其焦点到它的渐近线的距离为1．直线与的左、右两支分别相交于点． （1）求双曲线的方程； （2）求实数的取值范围； （3）若是坐标原点）的面积为，求实数的值. 19. 已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 故选：A 3. 以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆的右顶点，得抛物线的焦点坐标，从而得抛物线方程． 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C 5. 已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过圆得到双曲线的右焦点，再结合渐近线方程得到，利用 关系求得双曲线方程. 【详解】由圆的方程得， 所以圆心为，即为双曲线的右焦点，故， 设双曲线的标准方程为， 又因为渐近线方程为，所以，即； 由得， 故双曲线的标准方程为. 故选： 6. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为，若，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义得到为正三角形，过作于，则. 【详解】由抛物线的定义知，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离， 故 ，又因为，所以为边长为6的正三角形， 过作于，则平行于准线，则， 所以. 故选：C 7. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线与相交于、，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，设双曲线的左焦点为，可得出，，利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，即可得出双曲线的离心率的值. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意可知，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则， 因为为等腰直角三角形，易知、关于轴对称，故为的中点， 所以，又因为，故为等腰直角三角形， 所以，， 由双曲线的定义可得，即， 故双曲线的离心率为， 故选：C. 8. 已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示： 当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质判断即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1. 抛物线焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1. 故选：BD. 10. 已知直线，抛物线，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，直线与抛物线没有公共点 B. 若直线与抛物线有唯一公共点，则 C. 当时，直线与抛物线有两个公共点 D. 若直线经过抛物线的焦点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线的方程和抛物线的方程，对进行分类讨论，结合判别式求得正确答案；利用斜率公式判断D. 【详解】联立消去， 得（*）， 当时，（*）式只有一个解， 此时直线与只有一个公共点，此时直线平行于轴， 当时，（*）式是一个一元二次方程， ， ①当，即，且时， 直线与有两个公共点，此时直线与相交，C正确； ②当，即时，直线与有一个公共点，此时直线与相切； ③当，即时，直线与没有公共点，此时直线与相离． 综上所述，当或时，直线与有一个公共点； 当，且时，直线与有两个公共点； 当时，直线与没有公共点． 综上所述，B错误，AC正确； 又抛物线的焦点，直线过点， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确； 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确； 对于D，因为，， 由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程即可求解. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，， 所以渐近线方程为， 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，. 易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为3. 故答案为：3. 14. 希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程； （2）已知双曲线的实轴长为，且经过点，求的标准方程和焦点坐标. 【答案】（1）标准方程，准线方程； （2）若焦点在轴上，标准方程，焦点坐标； 若焦点在轴上，标准方程，焦点坐标. 【解析】 【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，代值求解即可； （2）根据双曲线焦点位置进行讨论，代值求解即可， 【详解】（1）由抛物线焦点坐标可得， 设抛物线的标准方程为，代入，得，准线方程为， 故抛物线的标准方程为，准线方程为. （2）由题可知，即. 若焦点在轴上，设， 将和代入方程中，得，解得， ，， 所以双曲线标准方程为，焦点坐标为； 若焦点在轴上，设， 将和代入方程中，得， 解得，此时，， 所以双曲线标准方程为，焦点坐标为. 故焦点在轴上，双曲线标准方程为，焦点坐标为； 焦点在轴上，双曲线标准方程为，焦点坐标为. 16. 已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点即可写出方程； （2）设，联立方程组，利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 小问1详解】 根据题意，直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点， 则抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意： 故设， 联立方程组，得， 则， 根据抛物线定义， 得，所以直线的方程为或； 17. 已知点，直线与相交于点，且它们的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与相交于两个不同点，且线段的中点坐标为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由，利用斜率公式，得到关系式，整理即可求出结论； （2）联立直线和双曲线，然后由韦达定理可得，结合求解. 【小问1详解】 设点，，， 根据，化简得； 【小问2详解】 设， 由已知， 联立，消去并整理得， 所以，且，所以， 因为，所以， 因为，所以， 即，所以或， 所以实数的取值范围为. 18. 已知双曲线的离心率，其焦点到它的渐近线的距离为1．直线与的左、右两支分别相交于点． （1）求双曲线的方程； （2）求实数的取值范围； （3）若是坐标原点）的面积为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程直接求出可得方程； （2）联立直线和双曲线的方程消元，利用判别式和韦达定理求解可得； （3）利用韦达定理表示出，结合面积公式列方程求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为， 由，得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，， 联立，化简得， 若，两点分别位于的左、右两支，则，解得 即的取值范围为； 【小问3详解】 由题得， 则 ， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或， 又，所以. 19. 已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）①设点、，可知，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值； ②设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，求出直线、的方程，将这两直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②如下图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $