精品解析：江苏南京市（东高、南师秦科高、江宁、金陵河西、雨中）2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

2025-2026【东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中】高二上期末考试 一、单选题 1. 直线l：的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角和斜率之间的关系计算可得结果. 【详解】由题意得直线方程为, 设直线的倾斜角为 则，可得. 故选：C 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式得出公差，计算可得结果. 【详解】由题意得,即, 则, 即. 故选：B. 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 4. 若函数在处的切线平行于直线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由函数，得， 因为函数在处的切线平行于直线， 所以且，得. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且与圆相切，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，设与圆相切于点，连接可得，再利用椭圆的定义和离心率的定义可解. 【详解】 设与圆相切于点，连接， 因为圆的半径为，，所以， 又，所以，， 由椭圆的定义可知，即， 所以离心率为. 故选：C. 6. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由构造函数，由其单调性求解不等式. 【详解】因为，即，构造函数，因为， 所以函数是减函数，又由可得，且， 所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 7. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下： 由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 二、多选题 9. 已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线恒过定点可判断A,C，利用直线垂直时斜率的关系可判断B,根据勾股定理求弦长，可判断D. 详解】整理可得，由可得， 所以直线恒过定点，A不正确； 直线斜率为，直线的斜率为，若，则有，，B正确； 直线恒过定点，且在圆O内部，所以直线l与圆O相交，C正确； 若，直线l：，圆心O到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，D不正确. 故选：BC 10. 已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，求出的值，可判断A选项；当且时，由得，两式作差推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可判断D选项；利用等比数列的求和公式可判断B选项；利用等比数列的定义可判断C选项. 【详解】由题意得，所以， 当且时，由①得②， ①②得，可得，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， ，故，由上可知ABD正确； ，故不是常数，故不是等比数列，C错. 故选：ABD. 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（ ） A. M的轨迹方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由椭圆方程可得椭圆的基本量及焦点坐标，再由垂直的外角的角平分线的垂线l可得，再结合椭圆的定义从而可得A正确；再由椭圆的定义及基本不等式可判断B错误；由最小焦半径可判断C错误；将面积转化为，再用根与系数关系可得面积最大值. 【详解】由椭圆方程，得，所以，如图： 由题意得，再由椭圆的定义得， 所以，因为A，B两点（非长轴上顶点）， 所以M的轨迹是以为圆心，以6为半径的圆（去掉在x轴上的两点）， 所以M的轨迹方程为（），故A正确； 对于B：因为，所以 ，当且仅当时等号成立，故B错误； 再由，所以，所以C错误； 因为椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点），所以设直线的方程为， 将直线方程代入椭圆方程并整理得， ，， 所以，令， 则，因为对勾函数在上单调递增， 所以，所以 又由，所以D正确． 故选：AD. 三、填空题 12. 计算的值为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数的性质以及排列数、组合数公式可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知等差数列中，前项和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 14. 椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据得到，根据P在椭圆内，得到，故，则，利用极化恒等式得到. 【详解】不妨设， 设，则，， 故， 化简得，因为P在椭圆内，故，即，解得， ， 因为，，两式平方相减可得 . 故答案为： 四、解答题 15. 根据下列条件，分别求满足条件的方程： （1）以为圆心且与圆相外切，求圆的方程； （2）已知点，圆过点、，且圆心在直线上．过点的直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆的半径，结合圆的圆心坐标，可得出圆的方程； （2）设圆的圆心为，根据求出的值，可得出圆心的坐标，进而得出圆的半径及方程，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，结合点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 因为，由题意可知圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 根据题意，设圆的圆心为， 由可得，解得， 故圆的半径为，所以圆的方程为， 因为直线过点，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知函数，， （1）若函数与在处的切线垂直，求a的值． （2）讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】（1）； （2）分类讨论，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17. 已知为等比数列，为等差数列，满足且，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式计算基本量，从而可得通项公式； （2）直接根据错位相减法求数列的前n项和可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为，，所以，， 得，解得或， 当时，；当时，， 因为，所以，故舍去. 则，. 故，. 【小问2详解】 设，则，① 所以②， 得 即. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的最值； （2）①若恒成立，求a的最小值； ②证明：，其中． 【答案】（1）最大值0；无最小值； （2）①1；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接用导数判断函数的极值最值可得； （2）①将不等式进行参数分离得，再构造函数并用导数求函数的最大值，进而可得所求值最小值；②根据①的解析可得，进而可得，再由累加法可得所证不等式. 【小问1详解】 当时，函数，函数定义域为，， 当；当，所以在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得极大值也是最大值，无最小值. 故函数最大值0；无最小值； 【小问2详解】 若恒成立，即，得. 令，， 当；当.所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值也是最大值，所以. 故a的最小值为1； 由（1）可知，当时，恒成立，即（当且仅当时等号成立）, 令，所以，即对，都有. 由累加法得. 故，其中. 19. 已知椭圆M：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，椭圆上的点到左焦点F的距离最大值为 （1）求椭圆M的标准方程； （2）设斜率存在的直线l交椭圆M于P，Q两点（P，Q位于x轴的两侧），记直线AP，BQ的斜率分别为，，若． （ⅰ）试判断直线PQ是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ⅱ）设直线l与x轴的交点为T，记与的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）是，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和距离最值列方程组求得，进而求出，得到椭圆标准方程； （2）（i）将面积比转化为纵坐标的比值，结合韦达定理对纵坐标的比值关系进行变形，进而求出面积比的取值范围；（ii）将面积比转化为纵坐标的比值，结合韦达定理对纵坐标的比值关系进行变形，进而求出面积比的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以， 所以椭圆M的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设PQ：，，联立得 因为，所以 化简得 当时，右边=0，左边 所以恒过 （ⅱ），由（2）， ，代入化简得 ， 因为，所以，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026【东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中】高二上期末考试 一、单选题 1. 直线l：的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 4. 若函数在处的切线平行于直线，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且与圆相切，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于x方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 10. 已知数列前n项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（ ） A. M的轨迹方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 面积的最大值为 三、填空题 12. 计算的值为______．（用数字作答） 13. 已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 14. 椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 根据下列条件，分别求满足条件的方程： （1）以为圆心且与圆相外切，求圆的方程； （2）已知点，圆过点、，且圆心在直线上．过点的直线与圆相切，求直线的方程． 16. 已知函数，， （1）若函数与在处的切线垂直，求a的值． （2）讨论函数的单调性并写出单调区间． 17. 已知为等比数列，为等差数列，满足且，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的最值； （2）①若恒成立，求a的最小值； ②证明：，其中． 19. 已知椭圆M：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，椭圆上的点到左焦点F的距离最大值为 （1）求椭圆M的标准方程； （2）设斜率存在的直线l交椭圆M于P，Q两点（P，Q位于x轴的两侧），记直线AP，BQ的斜率分别为，，若． （ⅰ）试判断直线PQ是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ⅱ）设直线l与x轴的交点为T，记与的面积分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $