专题04 导数及其对函数性质研究的基本应用（培优讲义，10大题型）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦导数及其应用高考核心考点，涵盖切线方程、单调性、极值最值、零点问题、恒成立与能成立、不等式证明等题型，按考情精析、方法技巧、题型速解、决胜冲刺逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建系统解题框架。 资料以分层题型设计为特色，典例精析结合变式巩固，融入高考真题，强调分类讨论、等价转化等数学思维，如切线问题区分“在点”与“过点”步骤规范，培养学生逻辑推理与问题解决能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考效率。

专题04 导数及其对函数性质研究的基本应用 目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】函数在点和过点的切线方程 【题型02】公切线和距离最值 【题型03】已知函数的单调性求参 【题型04】分类讨论函数的单调性 【题型05】构造函数单调性判断大小 【题型06】已知极值、最值的关系求参 【题型07】零点、极值点的个数求参 【题型08】单变量恒成立与能成立问题 【题型09】双变量恒成立与能成立问题 【题型10】构造函数证明不等式 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练 考向聚焦 切线问题：高频考查过点切线、公切线求解，常结合参数范围设置，重点检验导数几何意义的理解及切点设而不求的技巧。 单调性问题：多以含参函数单调区间求解、已知单调性求参数范围为考向，侧重分类讨论思想和分离参数法的应用。 极值与最值：核心考向为极值点判定、闭区间最值求解，常与参数范围、不等式证明结合，易错点是忽略极值点处导函数的符号变化。 零点问题：侧重零点个数判定、零点存在性定理应用，常转化为函数图像交点问题，结合单调性与极值分析。 恒成立与能成立：关键考向是量词转化、最值求解，双变量问题为难点，需准确区分 “任意” 与 “存在” 的等价条件。 不等式证明：常考构造函数法、放缩法，极值点偏移模型是热点，需结合函数单调性与最值完成证明。 关键能力 导数工具应用能力：熟练求导运算，掌握导数几何意义（切线斜率）、符号与单调性的关联，精准转化极值、最值的导数判定条件。 等价转化能力：将恒成立 / 能成立问题转为最值求解，零点问题转为图像交点问题，不等式证明转为函数最值正负判断。 分类讨论与数形结合能力：含参问题合理分类，利用函数图像简化分析，快速定位解题方向。 细节把控能力：关注定义域、极值点变号性、等号成立条件，规避常见易错点。 备考策略 夯实基础：熟记导数公式与几何意义，针对切线问题强化 “设切点、列方程” 的解题流程，突破过点切线、公切线难点。 强化转化思想：单调性、极值最值问题紧扣 “导函数符号”，恒成立 / 能成立问题聚焦 “量词→最值” 的等价转化，零点问题优先数形结合转交点个数。 攻克难点题型：不等式证明多练构造函数、多次求导及放缩技巧，极值点偏移掌握对称函数构造法；双变量问题拆分函数分别求最值。 总结易错点：整理定义域遗漏、极值点忘验证符号、恒成立与能成立混淆等典型错误，建立错题本。 限时训练：按题型专题刷题，结合综合卷提升解题速度与准确率，熟练各类方法的灵活切换。 ◇方法技巧 01 导数中的常用方法 一、切线问题 核心原理：函数在点处的切线斜率，切线方程为。 已知切点求切线 直接求导代入切点横坐标得斜率，再用点斜式写方程。 易错点：验证切点是否在函数图像上。 未知切点求切线（过点作切线） 设切点为，写出切线方程，代入 P 点坐标，解方程求。 技巧：切线可能有 0 条、1 条或多条，需根据方程解的个数判断。 公切线问题 分别设两函数切点，写出各自切线方程，令斜率相等、截距相等，联立方程组求解。 二、单调性问题 核心原理：在区间上单调递增；在区间上单调递减。 判断单调区间 步骤：求定义域→求导→解不等式和→结合定义域得单调区间。 技巧：含分式、根式时，优先分析分子符号（分母恒正 / 恒负时）。 已知单调性求参数范围 转化：单调递增 ⇒在区间上恒成立（等号仅在有限个点成立）；单调递减同理。 技巧：分离参数法优先，避免分类讨论的繁琐；无法分离时，分类讨论导函数的最值。 三、极值与最值问题 1. 极值问题 核心原理：极值点是的变号零点（导数值左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）。 步骤：求导→找的根→判断根两侧导函数符号→确定极值。 易错点：不能直接推出是极值点，必须验证符号变化。 2. 最值问题 核心：闭区间上的连续函数，最值必在端点或极值点处取得。 步骤：求区间内的极值点→计算极值点和区间端点的函数值→比较大小得最值。 技巧：开区间最值需结合单调性和极限分析；恒成立问题常转化为最值问题。 四、零点问题 核心原理：零点存在定理（在连续，⇒区间内至少一个零点）。 判断零点个数 步骤：求定义域→分析单调性→求极值 / 最值→结合极值正负和端点趋势判断。 技巧：单峰 / 单谷函数，极值符号决定零点个数；多极值函数需分段讨论。 已知零点个数求参数范围 转化：将参数分离，构造函数，转化为与图像的交点个数问题。 关键：准确画出的单调性和极值图像。 五、恒成立与能成立问题 核心：转化为函数最值，区分量词逻辑（∀ 任意、∃ 存在）。 根据任意，存在问题，求解函数的最值即可 恒成立问题：①，即求；②即求. 能成立问题：①，即求；②即求. 技巧：双变量问题先分别求两个函数的最值，再根据量词关系建立不等式。 六、不等式证明问题 核心方法：构造函数法，将不等式转化为函数最值的正负判断。 单变量不等式证明 步骤：移项构造函数→求导分析单调性→求的最值→证明或。 技巧： 不等式变形：拆分、放缩、换元，简化构造的函数。 多次求导：当符号不明确时，求二阶导分析的单调性。 ◇题型 01 函数在点和过点的切线问题 典｜例｜精｜析 典例1．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 典例2．若直线与曲线相切，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 典例3．过点且与曲线相切的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为：， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 典例4．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为， 由切线过点，得， 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， ，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，而当时，恒有， 又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. 函数在点和过点的切线问题是高中数学的高频易错点。学生最容易混淆 “在点” 与 “过点” 的含义，导致解题方向错误。“在点” 意味着该点一定在曲线上，切线斜率可直接由该点的导数求得；而 “过点” 则只表示切线经过该点，该点未必在曲线上，需要先设切点，再利用导数和点斜式方程联立求解。学生常出现的错误包括：直接把 “过点” 当作 “在点” 处理、漏设切点、导数计算失误、解方程时忽略斜率不存在的情况等。此外，在涉及参数的题目中，学生容易忽略切点坐标与参数之间的约束关系，导致增解或漏解。教学中应通过对比例题、强化步骤规范、总结常见陷阱，帮助学生建立清晰的解题框架，减少因概念混淆而产生的错误。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【详解】设切点为 因为切线， 所以， 解得（舍去） 代入曲线得， 所以切点为 代入切线方程可得，解得. 故选：D. 变式2．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 变式3．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B ◇题型 02 公切线和距离最值 典｜例｜精｜析 典例1．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 典例2．已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 典例3．已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 公切线问题和距离最值问题是函数与导数中的难点，也是学生最容易出错的部分。在公切线问题中，学生常混淆 “公切线” 与 “切线” 的概念，忽略两条曲线在切点处的导数相等这一关键条件，导致漏解或错解。此外，设切点时容易只考虑一种情况，忽略多条公切线的可能性。在距离最值问题中，学生最常见的错误是直接对距离公式求导，而忽略将距离平方化以简化计算；也有学生在构造目标函数时出错，或忘记利用几何意义（如垂线最短）进行验证。另外，涉及参数的题目中，学生常忽略定义域限制，导致结果不符合题意。教学中应强调步骤规范，引导学生通过图像分析、分类讨论和几何意义验证来减少错误，提高解题准确性。 变｜式｜巩｜固 变式1．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以，即②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 变式2．已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 变式3．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案. 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线的距离为，所以所求最小值为． 故选：C. ◇题型 03 已知函数的单调性求参 典｜例｜精｜析 典例1．设函数在区间上单调递减，则的最大值是（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 典例2．已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案. 【详解】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 典例3．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 混淆 “充分” 与 “必要”：将（或≤0）恒成立等价于单调递增（减），忽略导数等于 0 的点不能构成区间； 忽略定义域限制：求导后直接分离参数或解不等式，未考虑原函数定义域对参数的约束； 端点取舍失误：参数取值范围的端点能否取到，需代入验证是否满足单调性定义，易凭直觉判断导致漏解或增解。 变｜式｜巩｜固 变式1．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 变式2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则， 所以在上递增，又， 所以. 所以的取值范围是. 故选：B 变式2．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 故选：D 变式3．已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 导函数为， 因为函数在单调递增， 所以在恒成立， 所以，即， 故， 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 变式4．若对于，且，都有，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等关系进行变形，两个变量分别移到不等式的两侧，从而构建新函数，将问题转化为新函数的单调性问题. 【详解】∵，∴ ∴等价于，则 令，则,又, ∴在上为增函数， 由在恒成立,得 故选:C 【点睛】利用导数求参数问题，可构造函数，根据不等关系进行合理变形，两个变量分别移到不等式的两侧，从而易构建新函数，问题转化为新函数的单调性问题. ◇题型 04 分类讨论函数的单调性 典｜例｜精｜析 典例1．已知函数 (1)当时，求函数的最值; (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最小值为，无最大值 (2)答案见解析 【分析】（1）代入，求导分析单调性后求出最值. （2）求导后对进行分类讨论，进而求出函数f（x）的单调性. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为， 当时，， ，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，无最大值． （2）． 当时，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，， 令，得或，令，得， 函数在和上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 典例2．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程； （2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性. 【详解】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 分类标准模糊：未按参数关键分界点（如导数零点、定义域分界点）划分，导致分类重叠或遗漏区间。 忽略定义域优先：先讨论导数符号，再回头补定义域约束，造成区间无效或解集错误。 讨论后未整合结论：各参数范围下的单调性结果零散，未按参数取值完整归纳，或误将不同范围的结论混用。 另外，导数为 0 的点是否影响单调性、端点能否取到，也常因分类后疏忽验证而出错。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 变式2．已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的增区间和减区间. 【详解】（1）当时，，则，所以，，， 所以，在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， . ①当时，由，可得，由，可得， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； ②当时，由，可得，. （i）当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； （ii）当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为； （iii）当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. 变式3．设函数，其中为常数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）先求出，得出切点坐标，再求出，得到切线的斜率，从而得到切线方程. （2）先求出，对二次式的开口方向，判别式进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，，则切点为. ，则 所以，曲线在点处的切线方程为. （2） ①当，若，即时，恒成立. 在上为减函数； 若，即时，令得两根 则， 所以，上，，为减函数；上，，为增函数； 上，，为减函数； ②当，，在上为增函数； ③当时，，均小于0，在上，， 则在上为增函数， 综上所述，当时，在上为增函数； 当时，在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，在上为减函数. ◇题型 05 构造函数单调性判断大小 典｜例｜精｜析 典例1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数，则， 令，解得，由知. 在上单调递增，所以，即， 又因为，所以. 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 典例2．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解：，，， ①， 令 则， 故在上单调递减， 可得，即，所以； ②， 令 则， 令，所以， 所以在上单调递增，可得，即， 所以在上单调递增，可得，即，所以 故 函数构造不当：未将不等式变形为可统一的结构，构造的函数无明确单调性，或忽略式子的等价转化，导致无法关联自变量大小。 定义域与取值范围脱节：构造函数后，未验证要比较的数值是否在函数单调区间内，误用单调性得出错误结论。 导数判断失误：求导后未正确分析导数符号，尤其含参数或复杂式子时，误判函数单调性；或忽略导数为 0 的点对单调区间的影响。 忽略函数奇偶性配合：对称结构的式子未结合奇偶性转化，增加构造难度或引发判断偏差。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小. 【详解】设， 所以单调递增；单调递减； 所以. 故选：A. 变式2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 变式3．设，，．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. ◇题型 06 已知极值、最值的关系求参 典｜例｜精｜析 典例1．设函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论； （3）结合分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案. 【详解】（1）当时，，求导， ，， 所以在处的切线方程为，即. （2）定义域为，， 令，解得或， ①当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，则在上单调递增； ③当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． （3）由上分析可知，当时，在和单调递增，在单调递减； 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； 当时，在上单调递增，显然无极值点，不合题意； 当时，在和单调递增，在单调递减． 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，的取值范围是. 典例2．已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 典例3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）由韦达定理，，，通过换元构造函数，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， ①当时，，， 所以函数在上单调递减． ②当时，，， 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增． （2）由（1）可知当时，函数存在两个极值点，， 且满足，， 所以 ， 令，所以， ，所以在单调递增， ，所以的最大值为． 极值与最值概念混淆：误将极值等同于最值，忽略最值需比较极值与区间端点函数值，导致参数范围缩小或扩大。 导数零点有效性验证缺失：求出导数零点后，未检验该点两侧导数符号是否异号，误将驻点当作极值点代入求参。 区间边界取舍疏漏：含区间端点的最值问题，未讨论参数对极值点位置的影响，遗漏极值点在区间内外的分类情况。 不等号方向出错：根据极值、最值关系列不等式时，颠倒大小关系，或忽视等号成立的条件，造成参数解集错误。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 变式2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性. （3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程的为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增. （3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 令函数，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 所以. 变式3．已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 令得或， 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. （3）因为，令，得或， 因为，所以，， 又，所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. ◇题型 07 零点和极值点的个数求参 典｜例｜精｜析 典例1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 典例2．已知函数（，a为常数） (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求a的取值范围 【答案】(1)单减区间为，单增区间为. (2) 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区间. （2）对导数的根进行分类讨论，分析不同取值下导数的符号变化，确定为极大值点时的取值范围. 【详解】（1）， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以的单减区间为，单增区间为. （2）， 当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意； 当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意； 当时，，当时，当，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以是的极大值点，符合题意， 综上知的取值范围为. 典例3．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围： (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【详解】（1）由，则， 而，则， 则曲线在处的切线方程为. （2），又在区间上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数在上单调递增，则， ，即实数的取值范围是. （3）由，， 因为存在两个极值点， 则满足，即， 不妨设，则. ， 则要证，即证， 又，，则， 即证，即证成立. 设函数，， 则， 在单调递减，又，则， ，即. 极值点判定疏漏：仅令导数为 0 求参数，未验证零点两侧导数符号是否异号，误将驻点算作极值点，导致个数判断偏差。 零点个数等价转化错误：将函数零点转化为两函数交点时，忽略定义域限制或图像渐近线，错判交点数量。 分类讨论不完整：未按参数对极值点位置、函数最值的影响分层讨论，遗漏参数临界值或区间。 临界情况验证缺失：参数取临界值时，未代入检验零点、极值点是否重合，误将重合点重复计数。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若有两个极值点；求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； 【详解】（1）若，则， 所以， 故所求的切线方程为． （2）． 设为的两个极值点，则是方程的两个实数根，即方程的两个正实数根． 所以解得， 即的取值范围是． 变式2．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，可得，进而分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由， 则， 当时，， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，不满足题意； 当时，令，等价于， 解得或， 当，即时，， 此时函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值，满足题意. 综上所述，a的取值范围为． 变式3．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，函数只有一个零点. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）通过和讨论导数符号，进而可求解； （3）求导，再通过，，三类情况讨论函数单调性，进而可求证. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）. 若，即时，，则在上单调递减； 若，即时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上所述：时，函数在上单调递减； 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3）证明：由题知函数， 则. 若，则，所以在上单调递增， 此时，所以只有一个零点为0； 若，令，得或；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时函数的极大值为，极小值为. 不妨令，则， 显然时，，此时单调递增，时，，此时单调递减， 易知， 所以， 又， 所以只有一个零点，且零点在区间内； 若，令，得或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时极大值为，极小值为. 不妨令，则， 此时单调递减，又， ， 所以函数只有一个零点，且零点在区间内. 综上所述，当时，函数只有一个零点. ◇题型 08 单变量恒成立与能成立问题 典｜例｜精｜析 典例1．已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，且，即， 所以，当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则. 典例2．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若当恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）首先列出时函数解析式，然后求导可得到斜率的值，最后求出切线方程即可. （2）对原函数求导，分别讨论时函数的单调性，并求出相应的单调区间. （3）结合（2）中求出的的不同范围下函数的单调区间，确定最大值，求出满足的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得，时，在单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由题可得，所以， 由（2）知当时，在上单调递增，则当时，不满足题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递减，时，，满足题意， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由时，恒成立，则，得， 因为，所以. 综上可得实数的取值范围为. 两类问题等价转化混淆：恒成立需或，能成立则需或，易颠倒最值与参数的不等关系。 最值求解失误：未结合函数单调性、极值准确求区间最值，尤其含参函数漏讨极值点与区间位置关系，导致最值判断错误。 定义域与参数约束忽略：分离参数后未考虑参数对定义域的影响，或忽略分离时参数系数的正负对不等号方向的改变。 临界值验证缺失：参数取临界值时未代入检验是否满足题设，误将不成立的临界值纳入解集。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知函数，. (1)当时，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值点，无极小值点； (2)当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； (3). 【分析】（1）当时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案. （3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【详解】（1）当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. （2），则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 变式2．已知函数，． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若，求最大值的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为为增函数，故，参变量分离后即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值，再利用，消去，得到,，再利用导数研究该函数的单调性，即可求解； （3）由，得．设，，求导数后分类讨论研究该函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， 因为为增函数，故，即， 又因为，所以， 所以 （2）若时，因为在单调递减， 所以存在唯一使得，即 又因为，故，． 当，，单调递增； 当，，单调递减； 所以最大值为． 令， 则， 所以在单调递增， 故的取值范围为， 故最大值的取值范围 （3）由，得． 设，，则， ， 设，则， 所以当时，；当时，， 所以， 又， ①当，即时，， 在上单调递减，则，不满足题意； ②当，即时， （ⅰ）若，，即时，，使得， 且时，， 在上单调递减，，不满足题意； （ⅱ）若，，即时，，使得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以成立，满足题意； （ⅲ）若，，即时，，在上单调递增， 则，满足题意． 综上可得，即实数的取值范围是 变式3．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)； (2)增区间，减区间； (3) 【分析】（1）求导确定切线斜率即可求解； （2）求导，由，可求得单调区间； （3）构造函数，求导，确定函数单调性，求得最值即可求解； 【详解】（1）函数的定义域为， 则曲线在点处的切线为， 即. （2）因为， 时，由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）依题知，恒成立，即恒成立， 设， 则， 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则恒成立， 整理得. 设，则恒成立，所以在上单调递增，又，且 故整数的最大值为. ◇题型 09 双变量恒成立与能成立问题 典｜例｜精｜析 典例1．已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 典例2．已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对进行求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）对进行求导，利用导数与函数单调性的关系求出的单调性，利用单调性即可求出最值； （3）将不等式恒成立转化为，求出在的最小值和在的最大值，解不等式即可求出答案. 【详解】（1）当时，，， ，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为， 所以， 因为，所以， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递增， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为. （3）， 当，， 令， 因为，则， 则在上单调递增， 又因为时，，， 则，使得，即，可化为 当时，，即，则函数在上单调递减， 当时，，即，则函数在上单调递增， 则， 即. 由（2）知，当时，， 若对任意，不等式恒成立， 则，即， 令，，则函数在上单调递增， 又因为，所以的解集为， 所以实数的取值范围为. 混淆 “独立变量” 与 “关联变量”，误将双变量最值直接等价于单变量最值叠加，忽略变量取值范围的相互约束。 恒成立问题中，错把 “使” 转化为，正确应为；而 “” 则需，二者极易颠倒。 忽略定义域对最值的影响，未验证最值点是否在变量允许范围内，导致转化失效。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数并化简，讨论和两种情况下函数的单调性；（2）根据题意将不等式转化为，分别求函数的最值，即可求解. 【详解】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 变式2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)判断函数的零点个数并说明理由； (3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论其单调性； （2）结合第一问分、、三种情况讨论，当 时，又分、、三种情况，利用零点存在性定理可判断零点个数； （3）令，将问题转化为方程有且仅有一正数解，构造函数，则问题转化为，再利用参变分离即可求的取值范围. 【详解】（1）函数，定义域为，则， 若，则，故函数在上单调递减， 若，则 得；得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，函数在上单调递减，且， 故函数仅有一个零点； 由（1）可知，当时，函数在上单调递减， 又因为， 所以函数在内仅有一个零点，即仅有一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且的最小值为， 若，则，故函数没有零点； 若，则，故函数仅有一个零点； 若，则， 取，则， 又因为函数在上单调递减，所以函数在内仅有一个零点， 取且，可知， 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以函数在内仅有一个零点， 故当时，函数有两个零点， 综上，当时，函数的零点个数是； 当或时，函数的零点个数是1； 当时，函数的零点个数是. （3）曲线与曲线的交点个数， 即方程的正数解的个数， 令，则当时，与一一对应， 则原问题等价转化为对于，方程有且仅有一正数解， 令，则， 若函数存在极值点，则在极值点附近两侧单调性相反， 则必存在，使得方程有至少两个不同的解， 所以函数在上不存在极值点， 结合，对于二次函数，其图象开口向上， 所以对于， 即，即在恒成立， 因为，所以对于成立， 转化为， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 又当时，有成立， ，，函数在上单调递增， 则方程有且仅有一解. 综上，的取值范围是. ◇题型 10 构造函数证明不等式 典｜例｜精｜析 典例1．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 典例2．已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性； （2）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性证明即可； （3）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性，求出端点值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或. 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）当时，要证明，即证明， 因为，所以原不等式可变为，即. 令，则只需证在恒成立即可. . 因为，所以，，，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 因此，当时，. （3）分离参数：，因为，所以. 构造函数，，只需求恒成立即可. 令 当时，且（令，则，故）， 故，所以. 所以在上单调递增，所以， 故，单调递增. 当时，，所以， 故. 因此. 函数构造不当，未拆分、变形不等式，直接构造复杂函数导致求导困难，或构造的函数单调性难以判断。 忽略定义域与端点验证，求导后仅解导函数零点，未检验零点是否在定义域内，或遗漏不等式等号成立的条件。 误用单调性结论，混淆 “导函数大于 0 则函数递增” 的前提，未判断导函数在区间内的符号，误将局部符号当作整体符号，导致推理错误. 变｜式｜巩｜固 变式1．已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：； 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； 【详解】（1）由题意得． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 右边：设，则， 所以在上单调递减，故，即． 左边：设，则， 所以在上单调递增，故，即． 综上，原命题得证． 变式2．已知函数. (1)求函数的极值; (2)证明：对任意的； (3)若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 【答案】(1)极大值，无极小值； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出最小值即可推理得证. （3）利用导数，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值. （2）不等式， 令函数，依题意，， 求导得，令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，所以对任意的. （3）函数定义域为R，求导得， 由，即，得，函数有唯一零点， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 函数在处取得最大值，且当时，；当时，， 由函数有且仅有一个零点，得，即， 消去得，令函数，显然函数在R上单调递增， 而，则，， 又函数在上单调递增，因此， 方程中，， 所以方程 无实数根. 一、单项选择题 1．（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 2．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 5．（2015·新课标Ⅱ·高考真题）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 6．（2013·湖北·高考真题）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 7．（2012·新课标卷·高考真题）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln2，y0＝1， ∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln2)， 则|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)． 8．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C． 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 二、多项选择题 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________________________. 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________________________. 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 14．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是___________________________. 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 四、解答题 15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 16．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04导数及其对函数性质研究的基本应用 目录 第部分研考情精析 锁定靶心高效备考 第二部分理·方法技巧 梳理知识总结技巧与方法 第三部分攻题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】函数在点和过点的切线方程 【题型02】公切线和距离最值 【题型03】已知函数的单调性求参 【题型04】分类讨论函数的单调性 【题型05】构造函数单调性判断大小 【题型O6】已知极值、最值的关系求参 【题型07】零点、极值点的个数求参 【题型08】单变量恒成立与能成立问题 【题型09】双变量恒成立与能成立问题 【题型10】构造函数证明不等式 第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练 N0.1 析·考情精析 切线问题：高频考查过点切线、公切线求解，常结合参数范围设置，重点检验导数 几何意义的理解及切点设而不求的技巧。 考向聚焦 单调性问题：多以含参函数单调区间求解、已知单调性求参数范围为考向，侧重分 类讨论思想和分离参数法的应用。 1119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 极值与最值：核心考向为极值点判定、闭区间最值求解，常与参数范围、不等式证 明结合，易错点是忽略极值点处导函数的符号变化。 零点问题：侧重零点个数判定、零点存在性定理应用，常转化为函数图像交点问题， 结合单调性与极值分析。 恒成立与能成立：关键考向是量词转化、最值求解，双变量问题为难点，需准确区 分“任意”与“存在”的等价条件。 不等式证明：常考构造函数法、放缩法，极值点偏移模型是热点，需结合函数单调 性与最值完成证明。 导数工具应用能力：熟练求导运算，掌握导数几何意义（切线斜率）、符号与单调性 的关联，精准转化极值、最值的导数判定条件。 等价转化能力：将恒成立/能成立问题转为最值求解，零点问题转为图像交点问题， 关键能力 不等式证明转为函数最值正负判断。 分类讨论与数形结合能力：含参问题合理分类，利用函数图像简化分析，快速定位解 题方向。 细节把控能力：关注定义域、极值点变号性、等号成立条件，规避常见易错点。 夯实基础：熟记导数公式与几何意义，针对切线问题强化“设切点、列方程”的解 题流程，突破过点切线、公切线难点。 强化转化思想：单调性、极值最值问题紧扣“导函数符号”，恒成立/能成立问题 聚焦“量词→最值”的等价转化，零点问题优先数形结合转交点个数。 攻克难点题型：不等式证明多练构造函数、多次求导及放缩技巧，极值点偏移掌握对 备考策略 称函数构造法；双变量问题拆分函数分别求最值。 总结易错点：整理定义域遗漏、极值点忘验证符号、恒成立与能成立混淆等典型错误， 建立错题本。 限时训练：按题型专题刷题，结合综合卷提升解题速度与准确率，熟练各类方法的灵 活切换。 N0.2 理·方法技巧 ◇方法技巧01 导数中的常用方法 一、 切线问题 核心原理：函数y=f(x)在点x处的切线斜率k=∫'(xo),切线方程为y-f(xo)=f'(x)(x-xo)。 己知切点求切线 直接求导代入切点横坐标得斜率，再用点斜式写方程。 2/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点：验证切点是否在函数图像上。 未知切点求切线（过点P作切线） 设切点为(xo,f(x)》,写出切线方程，代入P点坐标，解方程求。 技巧：切线可能有0条、1条或多条，需根据方程解的个数判断。 公切线问题 分别设两函数切点，写出各自切线方程，令斜率相等、截距相等，联立方程组求解。 二、单调性问题 核心原理：'(x)>0→f(x)在区间上单调递增；∫'(x)<0→f(x)在区间上单调递减。 判断单调区间 步骤：求定义域→求导f'(x)→解不等式'(x)>0和f'(x)<0→结合定义域得单调区间。 技巧：∫'(x)含分式、根式时，优先分析分子符号（分母恒正/恒负时）。 己知单调性求参数范围 转化：∫(x)单调递增→∫'(x)≥0在区间上恒成立（等号仅在有限个点成立）；单调递减同理。 技巧：分离参数法优先，避免分类讨论的繁琐；无法分离时，分类讨论导函数的最值。 三、极值与最值问题 1.极值问题 核心原理：极值点是'(x)=0的变号零点（导数值左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）。 步骤：求导→找'(x)=0的根→判断根两侧导函数符号→确定极值。 易错点：'(x,)=0不能直接推出x是极值点，必须验证符号变化。 2.最值问题 核心：闭区间[a,b]上的连续函数，最值必在端点或极值点处取得。 步骤：求区间内的极值点→计算极值点和区间端点的函数值→比较大小得最值。 技巧：开区间最值需结合单调性和极限分析；恒成立问题常转化为最值问题。 四、零点问题 核心原理：零点存在定理(f(x)在[a,b]连续，f(a)·f(b)<0→区间内至少一个零点)。 3/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 判断零点个数 步骤：求定义域→分析单调性→求极值/最值→结合极值正负和端点趋势判断。 技巧：单峰/单谷函数，极值符号决定零点个数；多极值函数需分段讨论。 己知零点个数求参数范围 转化：将参数分离，构造函数g(x),转化为y=k与g(x)图像的交点个数问题。 关键：准确画出g(x)的单调性和极值图像。 五、恒成立与能成立问题 核心：转化为函数最值，区分量词逻辑（廿任意、3存在）。 根据任意，存在问题，求解函数的最值即可 恒成立问题：①x∈(a,b),f(x)≥0，即求f(x)min≥0；②x∈(a,b),f(x)≤0即求f(x)max≤0. 能成立问题：①3r∈(a,b),f(x)≥0，即求f(x)max≥0；②r∈(a,b),f(x)≤0即求f(x)min≤0 技巧：双变量问题先分别求两个函数的最值，再根据量词关系建立不等式。 六、不等式证明问题 核心方法：构造函数法，将不等式转化为函数最值的正负判断。 单变量不等式证明 步骤：移项构造函数h(x)=f(x)-g(x)→求导分析h(x)单调性→求h(x)的最值→证明h(x)≥0或h(x)≤0。 技巧： 不等式变形：拆分、放缩、换元，简化构造的函数。 多次求导：当h'(x)符号不明确时，求二阶导h'(x)分析的单调性。 N0.3 攻·题型速解 ◇题型01函数在点和过点的切线问题 典1例|精1析 典例1.已知f(x为奇函数，当x<0时，f(x)=x+sinr+1,则曲线y=f(x在x=处的切线方程是() A.x+y-π-2=0 B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x-y=0 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 典例2.若直线y=”+a与曲线y=lnr+1相切，则实数a的值为() e A.0 B.1 c.1 D.e 典例3.过点(1,4)且与曲线f(x)=x3+x+2相切的直线方程为() A.4x-y=0 B.7x-4y+9=0 C.4x-y=0或7x-4y+9=0 D.4x-y=0或4x-7y+24=0 典例4.若过点(L,m)可以作y=(x+1)e的三条切线，则实数m的取值范围是() A.(-4e2,0) B.(-6e3,0) C.(-6e3,2e) D.(e,2e) 易错点拨 函数在点和过点的切线问题是高中数学的高频易错点。学生最容易混淆“在点”与“过点”的含义， 导致解题方向错误。“在点”意味着该点一定在曲线上，切线斜率可直接由该点的导数求得；而“过点”则 只表示切线经过该点，该点未必在曲线上，需要先设切点，再利用导数和点斜式方程联立求解。学生常 出现的错误包括：直接把“过点”当作“在点”处理、漏设切点、导数计算失误、解方程时忽略斜率不 存在的情况等。此外，在涉及参数的题目中，学生容易忽略切点坐标与参数之间的约束关系，导致增解 或漏解。教学中应通过对比例题、强化步骤规范、总结常见陷阱，帮助学生建立清晰的解题框架，减少 因概念混淆而产生的错误。 变|式|巩|固 变式1.已知曲线y=x2-3lnx的一条切线方程为y=-x+m,则实数m=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 变式工.设函数f)=e+3cosr,则曲线y=fx在点(0，f0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 1-x 积为( a月 B 16 8 16 C. D.5 变式3.已知过点4(a,0)可以作曲线y=(x-1)e的两条切线，则实数a的取值范围是() A.(1,+o∞) B.(-0,-3)U(1,+0) 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.（-oo,-eU2,+ooj D.(-00,-2)U(2,+0) ◇题型02公切线和距离最值 典|例|精1析 典例1.若直线y=tx-2(teR)是曲线y=lnx与曲线y=e-b(beR)的公切线，则b=() A.1 B.2 C.e D.1 典例2.已知函数f(x)=2ae与g(x)=nx+1存在公切线，则实数a的最小值为() B.2e 1 C. Ae D. 1 6e 典例3. 已知点P为曲线y=x+?上的动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值为() A.32 B.6 c. 9√2 D.9 2 易错点拨 公切线问题和距离最值问题是函数与导数中的难点，也是学生最容易出错的部分。在公切线问题中， 学生常混淆“公切线”与“切线”的概念，忽略两条曲线在切点处的导数相等这一关键条件，导致漏解 或错解。此外，设切点时容易只考虑一种情况，忽略多条公切线的可能性。在距离最值问题中，学生最 常见的错误是直接对距离公式求导，而忽略将距离平方化以简化计算；也有学生在构造目标函数时出错， 或忘记利用几何意义（如垂线最短）进行验证。另外，涉及参数的题目中，学生常忽略定义域限制，导 致结果不符合题意。教学中应强调步骤规范，引导学生通过图像分析、分类讨论和几何意义验证来减少 错误，提高解题准确性。 变|式|巩I固 变式1.若直线y=x+1(k为常数)是曲线y=lnx+1和曲线y=ae+1的公切线，则实数a的值为() 1 A. B. e 6/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.1 D.e 变式2.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=lnx,若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线，则a的取值范 围是( A.(0,2 11 B.（2e'2e C. 2e3,+0) 变式3.函数f(x)=x2-31nx图象上的点到直线x+y+4=0的距离的最小值为() A.2 B.2√2 C.32 D.42 ◇题型03已知函数的单调性求参 典1例1精|析 典例1.设函数f(x)=(x+a)x2在区间1,2)上单调递减，则a的最大值是() A.-3 B.-2 D.3 典例2.己知f(x=x2-mx,g(x)=(x+m)e,两个函数图象至少有一个在区间(-1,2)上不单调，则m的 取值范围是() A.（-2,4 B.(-3,0 C.（-3,-2 D.(-3,4 典例3. 若函数川小=2-2x在L4上存在单词途塔区间，则实数c的以雀范围为《） A.[-1,+oj B.（-1,+o 2 00 D 16 0,16 易错点拨 混淆“充分”与“必要”：将'(x)≥0（或≤0）恒成立等价于单调递增（减），忽略导数等于0 的点不能构成区间； 忽略定义域限制：求导后直接分离参数或解不等式，未考虑原函数定义域对参数的约束； 端点取舍失误：参数取值范围的端点能否取到，需代入验证是否满足单调性定义，易凭直觉判断导 7/19 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 致漏解或增解。 变I式I巩|固 变式.若函数/-号血在区间烟a+甘上不单调，则实数的取任花国为《) 0烟月 3cm<1 B. ms到 C. D.m>1 变式2.若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1，c上单调递增，则a的取值范围是() A.[3,+oo) B.(-0,3] c.[3,e2+] D.[3,e2- 变式2.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间 内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是() A.（-0,-2) B. C.(-2,+0) D.(-8,+0) 变式3. 已知函数f)=(x-a-e-bx行-a在R上单调递增，则b-a的最小值为(） A.0 B.1 c.! D.e 变武式若对于，6e(,且<名，都有心>1，则m的最大值是() A.2e B.e C.0 D.-1 ◇题型04分类讨论函数的单调性 典1例1精引析 典例1.已知函数f(x)=cx2-(2k-1)x+1-lnx,k∈R (1)当k=1时，求函数f(x)的最值； (2)讨论函数f(x的单调性. 8/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 典例2. 已知函数八国=x-2到e+受) (1)若a=e2,求函数y=f(x在点P(2,f(2)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 易错点拨 分类标准模糊：未按参数关键分界点（如导数零点、定义域分界点）划分，导致分类重叠或遗漏区 间。 忽略定义域优先：先讨论导数符号，再回头补定义域约束，造成区间无效或解集错误。 讨论后未整合结论：各参数范围下的单调性结果零散，未按参数取值完整归纳，或误将不同范围的 结论混用。 另外，导数为0的点是否影响单调性、端点能否取到，也常因分类后疏忽验证而出错。 变式巩丨固 变式.已知函数fx)=e*-ax. (1)当a=1时，求曲线y=f(x在点(0，f(0)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性， 变式.已知函数f=ax2-(2a+x+2 Ix(acR.) (1)当a=-1时，求f(x)在点(1，f1)处的切线方程； (2)当a∈R时，讨论函数∫(x)的单调性. 变式3. 设函数=anx+引其中a为常数。 (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(L,f(I)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. ◇题型05构造函数单调性判断大小y 典1例|精丨析 典例1.已知9m=10,a=10”-11,b=8m-9,则（) A.ax0>b B.axb>0 9/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.bxax0 D.b>0xa 1 典例2 设a=0.1e1,b=,c=-ln0.9,则() 91 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 易错点拨 函数构造不当：未将不等式变形为可统一的结构，构造的函数无明确单调性，或忽略式子的等价转 化， 导致无法关联自变量大小。 定义域与取值范围脱节：构造函数后，未验证要比较的数值是否在函数单调区间内，误用单调性得 出错误结论。 导数判断失误：求导后未正确分析导数符号，尤其含参数或复杂式子时，误判函数单调性；或忽略 导数为0的点对单调区间的影响。 忽略函数奇偶性配合：对称结构的式子未结合奇偶性转化，增加构造难度或引发判断偏差。 变|式|巩|固 武1包知0，b,出，则a,b,c的大小关系为 e A.a>b>c B.b>axc C.axcxb D.b>c>a 变武.已知a=3礼6=cos 321 s4.c=4sin I 1 4则() A.cxbxa B.bxa>c C.axb>c D.a>c>b 变式3.设a=21n1.01,b=ln1.02,c=√.04-1.则() A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b ◇题型06已知极值、最值的关系求参 典1例I精1析 典例1.设函数f(x)=2x3-3ax2+1. 10/19