第十一讲：立方根（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十一讲：立方根 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：立方根的概念及特征 正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，0的立方根是0. 类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 知识点02：互为相反数的两个数的立方根之间的关系 ①开立方时被开方数的负号可以移到根号外，结果不变；②“先开立方，再立方”与“先立方,再开立方”的结果相同，都等于原数. 知识点03：知识结构 考点1：求一个数的立方根 【典型例题】 的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的性质求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点2：已知一个数的立方根求这个数 【典型例题】 若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练1】 已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 考点3：与立方根有关的是规律探索 【典型例题】 已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 【变式训练1】 已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 考点4：立方根的实际应用 【典型例题】 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【变式训练1】 如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 考点5：平方根与立方根的综合应用 【典型例题】 已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 【变式训练1】 已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4， ，， ，， , 故选：B． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根，绝对值，相反数与立方根，熟记概念是解题的关键． 判断各组数是否互为相反数，即和是否为零，需计算每组数值并验证. 【详解】解：A、，，，不是相反数，不符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，是相反数，符合题意； D、，不是相反数，不符合题意； 故选：C． 2．若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【详解】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的性质，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据立方根、算术平方根和平方根的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确即可． 【详解】解：A、 ，故该选项说法错误，不符合题意； B、，故该选项说法正确，符合题意； C、，故该选项说法错误，不符合题意； D、，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 5．当时，的值为（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据作答即可． 【详解】解：当时，． 故选：D． 6．如果a是的平方根，那么等于（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据平方根的意义求出a，再求出． 【详解】解：，9的平方根是， ∵a是的平方根， ∴， 当时，，当时，， 故选：D． 7．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的实际应用，正方体的体积；设原正方体的棱长为，变化后的棱长为，得到原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为，根据题意得到，即可得出结论． 【详解】解：设原正方体的棱长为，变化后的棱长为， ∴原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为， ∵正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴，即， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 8．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 9．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的实际应用，由得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 二、填空题 11．8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的定义即可直接求解． 【详解】解：因为， 所以8的立方根是2． 故答案为：2． 12．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 13．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 14．若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义，分别求出x和y的值，然后计算它们的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵x是25的算术平方根，y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若，则 ；若，则 ． 【答案】 / 9或 【分析】本题考查求一个数的立方根，利用平方根解方程： （1）利用立方根的定义求解即可； （2）把看作一个整体，利用平方根的定义求出其值，再求解即可． 【详解】解：若，则； 若，则， 解得或， 故答案为：；9或． 16．小明想将一个体积为的大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查立方根的应用、正方体的体积等知识点，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 故答案为：． 17．已知的算术平方根是4，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根等概念，解题的关键是掌握以上两个概念． 利用算术平方根的定义求出的值，然后代入求这个数的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．已知的立方为，，，那么 ． 【答案】9 【分析】根据的立方为，得，根据，得，结合，得，计算即可． 本题考查了立方根，绝对值，求代数式的值，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 【详解】解：根据的立方为，得， 根据，得， 由，得， 故． 故答案为：9． 三、解答题 19．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数立方根． （1）根据立方根的定义求解即可． （2）根据立方根的定义求解即可． （3）根据立方根的定义求解即可． （4）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 20．有两个正方体纸盒，第一个纸盒的棱长是，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．求第二个纸盒的棱长． 【答案】第二个纸盒的棱长为． 【分析】本题考查了立方根的应用，先求出第二个纸盒的体积为，然后根据立方根的定义即可求解，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵第一个正方体纸盒的棱长为， ∴其体积为， ∵第二个正方体纸盒的体积比第一个大， ∴第二个纸盒的体积为， ∴第二个纸盒的棱长为， 答：第二个纸盒的棱长为． 21．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，立方根，已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一个数的平方根有两个，互为相反数，进行列式计算，得，再求出，即可作答． （2）先分别把代入进行计算，再求出它的立方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和 ∴， ∴， 则， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 则的立方根是． 22．已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，倒数的定义，熟练掌握算术平方根、立方根定义和倒数的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义，以及倒数的定义即可求解、、的值； （2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ，即， ； 的立方根是， ， 把代入得：，即， ； c是的倒数， ， 综上，，，； （2）解：把，，代入， ， ， 的平方根是， 即的平方根是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十一讲：立方根 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：立方根的概念及特征 正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，0的立方根是0. 类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 知识点02：互为相反数的两个数的立方根之间的关系 ①开立方时被开方数的负号可以移到根号外，结果不变；②“先开立方，再立方”与“先立方,再开立方”的结果相同，都等于原数. 知识点03：知识结构 考点1：求一个数的立方根 【典型例题】 的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 考点2：已知一个数的立方根求这个数 【典型例题】 若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【变式训练1】 已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 考点3：与立方根有关的是规律探索 【典型例题】 已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【变式训练1】 已知，那么（    ） A． B． C． D． 考点4：立方根的实际应用 【典型例题】 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 考点5：平方根与立方根的综合应用 【典型例题】 已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【变式训练1】 已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 2．若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 5．当时，的值为（    ） A． B． C．10 D．5 6．如果a是的平方根，那么等于（　　） A． B． C． D．或 7．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 8．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 9．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 10．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 二、填空题 11．8的立方根是 ． 12．若有意义，则x的取值范围是 ． 13．若，则的立方根是 ． 14．若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 15．若，则 ；若，则 ． 16．小明想将一个体积为的大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长为 ． 17．已知的算术平方根是4，则的立方根是 ． 18．已知的立方为，，，那么 ． 三、解答题 19．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．有两个正方体纸盒，第一个纸盒的棱长是，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．求第二个纸盒的棱长． 21．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的立方根． 22．已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $