第十讲：算术平方根（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十讲：算术平方根 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：算术平方根的概念与求算术平方根 我们知道，正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为. 知识点02：通过估算无限不循环小数的大小—估算的大小 事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数). 知识点03：知识结构 考点1：求一个数的算术平方根 【典型例题】 的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典型例题】 若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】 若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 考点3：估算算术平方根的取值范围 【典型例题】 的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 【变式训练1】 估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 考点4：与算术平方根有关的规律探索 【典型例题】 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 考点5：算术平方根的实际应用 【典型例题】 一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（   ） A．10 B．6 C． D． 【变式训练1】 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 一、单选题 1．的值是（   ） A．5 B． C． D． 2．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．估计的值在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 5．已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 6．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 7．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 8．如图，面积为8的大正方形被分成完全相同的4个小正方形，则每个小正方形的边长为（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 9．4的算术平方根是 ． 10．计算： ． 11．若，则的值为 ． 12．若为整数，且，则整数的值为 ． 13．与最接近的整数是 ． 14．一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 15．若一个正方形的面积是20，则它的边长为 ． 16．如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．一个正方体的表面积是486，求这个正方体的棱长． 19．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 20．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十讲：算术平方根 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：算术平方根的概念与求算术平方根 我们知道，正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为. 知识点02：通过估算无限不循环小数的大小—估算的大小 事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数). 知识点03：知识结构 考点1：求一个数的算术平方根 【典型例题】 的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：A． 【变式训练1】 已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，相反数的概念，掌握相关概念是解题的关键. 根据算术平方根的定义，该实数为 ，其相反数为. 【详解】解：设该实数为 ， ∵ （）， ∴ ， ∴ 相反数为 . 故选：A． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典型例题】 若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个非负数都为零据此列式解答即可． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴ ，， 解得，， ∴． 故选：C． 【变式训练1】 若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的概念，整体思想，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：， ①－②，得， 的平方根是． 故选：C． 考点3：估算算术平方根的取值范围 【典型例题】 的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的取值范围．通过比较平方数确定的范围． 【详解】解：∵ ， ， 且， ∴， 因此这两个连续整数是7和8． 故选：A． 【变式训练1】 估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 考点4：与算术平方根有关的规律探索 【典型例题】 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 【变式训练1】 一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 考点5：算术平方根的实际应用 【典型例题】 一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（   ） A．10 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，几何体的表面积，正确计算是解题的关键．正方体的表面积由6个相同的正方形面组成，已知表面积，可通过除以6再开平方求边长． 【详解】解：设正方体的边长为 ， ∵表面积公式为 ， ∴， ∴ （）． 故选：D． 【变式训练1】 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，先求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为． 故选：C． 一、单选题 1．的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，直接计算的算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的值是5， 故选：A． 2．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求解算术平方根，准确的计算是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，4的算术平方根是2， 故选A． 3．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 4．估计的值在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据可知，从而确定的范围． 【详解】解：， ， ， 的值在到之间． 故选：A． 5．已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 6．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 7．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，估算算术平方根的取值范围．先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 8．如图，面积为8的大正方形被分成完全相同的4个小正方形，则每个小正方形的边长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】该题考查了算术平方根的应用，根据题意先求出每个小正方形的面积，再开方即可求解． 【详解】解：根据题意可得每个小正方形的面积为， 则每个小正方形的边长为， 故选：A． 二、填空题 9．4的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查算术平方根的概念，根据定义直接求解即可． 【详解】解：4的算术平方根是． 故答案为：2． 10．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根、绝对值，理解其定义是解题的关键． 先计算平方根和绝对值，再相减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 11．若，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查非负数的性质，即绝对值和算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键． 根据等式成立的条件，每个非负数部分都为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且． 解得，． ∴． 故答案为：2026． 12．若为整数，且，则整数的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．与最接近的整数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 14．一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，根据数据所显示的规律可知，这组数据的规律是：，，，，…，依此可得第n个数． 【详解】解：观察数据可知，这组数据的规律是：，，，，…，则第n个数是． 故答案为：． 15．若一个正方形的面积是20，则它的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据边长与正方形的面积关系，求算术平方根即可． 【详解】解：∵正方形的面积是20， ∴它的边长是． 故答案为：． 16．如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，涉及正方形面积计算和面积割补法．解题关键是通过面积割补法（大正方形面积减空白部分面积）求出阴影正方形的面积，再由面积推导边长；易错点是误判空白三角形的直角边长度，导致面积计算错误． 先确定大正方形边长为4，面积为；再计算空白部分（4个直角三角形）的总面积：每个三角形直角边为1和3，面积为，4个总面积为；最后用大正方形面积减空白面积得阴影正方形面积，由正方形面积公式得边长为． 【详解】解：大正方形面积为， 空白部分是4个直角边为1和3的三角形，总面积为． 阴影正方形面积为， 故其边长为． 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算算术平方根，再运算加减法，即可作答． （2）先运算乘方，化简绝对值，然后运算乘除，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．一个正方体的表面积是486，求这个正方体的棱长． 【答案】9 【分析】本题考查几何体的表面积及算术平方根，求这个正方体一个面的面积的算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正方体的表面积是486， ∴， ∴这个正方体的棱长为9． 19．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 20．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【答案】(1)30 (2)能 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长是； 故答案为：30； （2）解：能 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为 学科网（北京）股份有限公司 $