第4章 因式分解-【7分钟优化课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步小练习（北师大版·新教材）

满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 第四章 因式分解 精练1因式分解 一、核心知识巩固(1-3题，每题5分，共15分) 知识点1因式分解与整式乘法的关系 1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.2a2-2a+1=2a(a-1)+1 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-4xy+4y2=(x-2y)2 D2+1=(x+ 知识点2简便计算 2.利用因式分解简便计算69×99+32×99-99正确的是() A.99×(69+32)=99×101=9999 B.99×(69+32-1)=99×100=9900 C.99×(69+32+1)=99×102=10096 D.99×(69+32-99)=99×2=198 知识点3整除问题 3.关于992-99，下列说法中错误的是() A.能被99整除 B.能被98整除 C.能被9整除 D.能被100整除 二、综合知识运用(4-5题，每题5分：6题10分，共20分】 4.将多项式x2-ax+b因式分解，得(x+1)(x-3),则a,b的值是() A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3 C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-3 5.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 口0□0 6.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中R1=16.2,R2=32.4,R3=35.4,I=2.5 三、拓广实践探索(15分) 7.仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值， 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n) 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, 解得”7， m=-2.÷另一个因式为龙-7，m的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值 63 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练2因式分解— 提单项式 一、核心知识巩固(1-4题，每题2分5题4分，共12分) 知识点1公因式 1.对多项式2x2+2x因式分解，提取的公因式为() A.2 B.x C.2x D.2x2 2.多项式-3x2yz+9xyz-6xy2的公因式是 知识点2提单项式 3.下列各式中，因式分解正确的是( A.2x2-4xy=x(2x-4y） B.a3+2a2+a=a(a2+2a) C.-2a-2b=2(a+b) D.-a2+a=-a(a-1) 4计算：34×7+7×7 > 5.把下列各式因式分解： (1)-5x+5xy; (2)6x3y2+12x2y2-6x2y2. 二、综合知识运用(6-10题，每题4分；11题8分，共28分】 6.20262-2026不能被下列哪个数整除( A.2026 B.2025 C.2027 D.81 7.若2a+3b=1,则-4a-6b等于() A.2 B.0 C.-2 D.-1 8.若实数a、b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是 9.边长为a,b的长方形的周长为12，面积为10，则a2b+ab2的值为 10.若a2+a-1=0,则a228+a2027-a226= 11.父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且x2-xy=1040,请你求出父亲和儿 子今年各多少岁？ 三、拓广实践探索(10分) 12.先阅读、观察、理解，再解答后面的问题： 第1个等式：1x2=3(1×2×3-0x1x2)=号(1×2×3) 第2个等式：1x2+2x3=写(1x2x3-0×1x3)+号(2x3x4-1x2x3) =号1x2x3-0x1×2+2x3x4-1×2x3)=号(2×3x4) 第3个等式：1x2+2x3+3×4=号(1×2x3-0×1×2)+号(2x3×4-1×2×3)+号(3 ×4×5-2×3×4) =号(1x2x3-0x1x3+2x3×4-1x2x3+3×4x5-2x3×4)=号3x4x5) (1)依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= (直接写出结果)； (2)根据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+…+29×30. 64 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练3因式分解— 提多项式 一、核心知识巩固(1-6题，每题2分，共12分)】 知识点因式分解一提多项式 1.把5(a-b)+m(a-b)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是() A.5+m B.5-m C.-5+m D.-5-m 2.分解因式x2(y-3)+x(3-y)的正确结果是() A.(y-3)(x2+x)B.x(y-3)(x+1)C.(y-3)(x2-x) D.x(y-3)(x-1)》 3.因式分解：m(x-y)+n(x-y）= 4.因式分解：4(x-y)3-6(y-x)2= 5.因式分解：x2+2x+(x+2)= 6.因式分解6p(p+q)+4q(p+9)= 二、综合知识运用(7-8题，每题3分；9题12分；10-11题，每题5分，共28分) 7.多项式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)的公因式是() A.x+y-z B.x-y+z C.y+z-x D.不存在 8.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分獬因式为(3x+a)(x+b),其中a、b均为整 数，则a+3b的值为 9.把下列各式因式分解： (1)x(a+b)-y(a+b)+z(a+b); (2)(a+b)2+(a+b) (3)6(x-2)+x(2-x); (4)m(x-y)+n(y-x). 10.已知y=15,且满足(x2y-y2)-（x-y)=28,求x-y的值 65 11.△ABC的三边分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,求证：△ABC为等腰三角形 三、拓广实践探索(10分】 12.问题提出： 计算：1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6 问题探究： 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的 字母a代替，原算式化为：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+a(1+a)4+a(1+a)5+ a(1+a) 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： (1)1+a+a(1+a) =(1+a)+a(1+a) =(1+a)(1+a) =(1+a)2 (2)由(1)知1+a+a(1+a)=(1+a)2,所以， 1+a+a(1+a)+a(1+a)2 =(1+a)2+a(1+a)2 =(1+a)2(1+a) =(1+a)3 (3)仿照(2)，写出将1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)进行因式分解的过程； (4)填空：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+a(1+a)4= 发现规律：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)”=; 问题解决： 计算：1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)3+3(1+3)6= （结果用乘方表示). 66 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练4因式分解— 平方差公式 一、核心知识巩固(1-3,5-6题，每题1分；4,7题，每题3分，共11分) 知识点1平方差公式 1.下列多项式能用平方差公式因式分解的是() A.a2+4 B.-a2-4 C.-(a2+4) D.a2-4 知识点2直接运用平方差公式因式分解 2.因式分解x2-9y2的正确结果是() A.(x+9y)(x-9y) B.（x+3y)(x-3y) C.(x-3y)2 D.(x-9y)2 3.计算752-252等于() A.50 B.500 C.5000 D.7100 4.把下列各式因式分解： (10ga2-6; (2)25-a2; (3)a2-4 知识点3先提公因式，再运用平方差公式因式分解 5.因式分解x3-4x的结果是() A.x(x2-4) B.x(x+4)(x-4) C.x(x-2)2 D.x(x+2)(x-2) 6.因式分解：ab2-a= 7.把下列各式因式分解： (1)2a2-18; (2)ab3-ab; (3)a2(a-b)-4(a-b) 二、综合知识运用(8-12题，每题2分；13题12分，14题3分，15题4分，共29分) 8.已知口x2+1=(1-3x)(1+3x),则“口”处的数为() A.1 B.9 C.-9 D.-1 9.若a-b=1,则a2-b2-2b的值是() A.4 B.3 C.1 D.0 67 10.若x+y=1009,x-y=2,则x2-y2的值是 11.一个长方形的面积是(x2-4)m2,其长为(x+2)m,则其宽为 m. 12.将边长分别为(a+b)和(a-b)的两个正方形摆放成如图所示的位置，则 a-b 阴影部分的面积化简后的结果是 13.把下列各式因式分解： a+b (1)x3-16x; (2)(x-1)2-4; (3)(2a+1)2-a2; 12题图 (4)x-a4; (5)x2(a-b)+(b-a);(6)16(a+b)2-9(a-b)2. 14.当n为正整数时，求证：(n+5)2-(n-1)2一定是12的倍数. 15.如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔.若R=8.6cm,r=0.7cm,请你 利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.（π取3) 15题图 三、拓广实践探索(10分) 16.【新定义】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数” 如4=2-02,12=42-22,20=62-42，因此4,12,20这三个数都是“和谐数”. (1)28这个数是“和谐数”吗？为什么？若设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整 数)，由这两个连续偶数构造的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在不超过2026的正整数中，所有“和谐数”之和是多少呢？ 68 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练5因式分解— 完全平方公式 一、核心知识巩固(1-2,4题，每题2分；3题6分，5题8分，共20分) 知识点1完全平方公式 1.下列式子中是完全平方式的是()》 A.a2+2a+1 B.a2+2a+4 C.a2+2a-1 D.a2-2a-1 知识点2运用完全平方公式因式分解 2.因式分解x2-2xy+y2的结果是() A.(x+y)2 B.(x-y)2 C.(2x-y)2 D.(x-2y)2 3.因式分解： (1)x2+4x+4; (2)a2+8a+16; （3)m2+m+子： (4)4a2+4a+1; (5)4m2-12mn+9n2;(6)m4-18m2+81. 知识点3先提公因式后运用完全平方公式 4.把代数式ax2-4ax+4a因式分解，下列结果中正确的是(） A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2) 5.因式分解： (1)-2xy-x2-y2; (2)a3+4a2+4a; (3)b3-662+9b; (4)(a+b)2+6(a+b)+9. 二、综合知识运用(6-9题，每题2分；10-11题，每题6分，共20分) 6.若a+b=4,则a2+2ab+b2的值是() A.16 B.8 C.4 D.2 69 7.计算：1002-2×100×99+992=() A.0 B.1 C.-1 D.39601 8.(1)若x2-6x+k是完全平方式，则k的值是 (2)若x2+x+4是完全平方式，则k的值是 9.正方形的面积是y2-8y+16(y>4),写出表示该正方形的边长的代数式是 10.若a2+b2-6a+8b+25=0,求a,b的值 11.若a2+b2-c2+2ab=100且a+b+c=25,求a+b-c的值. 三、拓广实践探索(10分】 12.上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用 所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解 答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1, .(x+2)2≥0， ∴.当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0， ∴.(x+2)2+1≥1 .当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1， .x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当x=时，代数式x2-6x+12的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+2x-3,当x=时，y有最 值（填“大”或“小”），这个 值是 (3)知识拓展：若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值 70 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 重点专题因式分解及其应用 一、利用平方差公式因式分解 1.(1)x2-16; (2)-g (3)49(x-y)2-16(x+y)2; (4)a2(x-y)+b2(y-x). 二、用完全平方公式因式分解 2.(1)a2-8a+16; (2)2y-x2-y2; (3)(x+y)2+6(x+y)+9; (4)a2-2a(b+c)+(b+c)2. 三、用十字相乘法因式分解 3.（1)x2+5x+4; (2)x2-6x-27; (3)x2y2-5xy-14; (4)(m2+2m)2-7(m2+2m)-8. 四、用分组分解法因式分解 4.(1)x2y2-x2-y2+1; (2)x2+3y-xy-3x; (3)a2+1-2a+4(a-1); (4)4x2-4xy+y2-9. 五、用代入法因式分解 5.(x2-4x)(x2-4x+8)+16 71 六、利用因式分解化简求值 6.若a2-b2=20,求[(a-b)2+4ab][(a+b)2-4ab]的值. 7.若x2+y2+6x-4y+13=0,求(x+y)226的值. 8.若a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值 9.先因式分解，再求值：15x2(y+4)-30x(y+4),其中x=2,y=-2. 七、因式分解的应用 10.当n为正整数时，求证：(n+3)2-（n-1)2一定是8的倍数. 11.试求多项式a2-4a+b2+8b+21的最小值. 12.如图，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE.该校计划在△AED 和△BBC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为究，AC =7,求种草区域的面积和. 花 A 草 12题图 723.解：(1)如图所示，△ACF即所得三角形； (2)连接DE.∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°. 由(1)可得CF=BD=3,AF=AD,∠ACF=∠B=45° .∠ECF=90°，·∠DAE=45°，.△ADE≌△AFE (SAS),..DE EF,.'.DE2 EF2 CE2 +CF2=42+ 32=25,.DE=5. B D 4.解：∠ADC=30°，AC=AD,.∠CAD=120 将△ADB绕A顺时针旋转120°得△ACQ,连接BQ. ∴AQ=AB,∠BAQ=120°，∠ABQ=30°，CQ=BD. ∠ABC=60°，.∠QBC=90°，设BC=2,AB=3,则 可求BQ=3AB=35,.CQ=√(33)2+22= IBD=60=I…0=耳 3 第四章因式分解 精练1因式分解 1.C2.B3.D4.D5.x2+6x+8=(x+2)(x+4) 6.解：R1=16.2,R2=32.4,R3=35.4,1=2.5 .IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)=2.5×(16.2+ 32.4+35.4)=2.5×84=210 7.解：设另一个因式为(x+n), 得2x2+3x-k=(2x+5)(x+n) 则2x2+3x-k=2x2+(2n+5)x+5n 2n+5=3, -k=5n, 得n1, k=5 .另一个因式为(x-1),k的值为5 精练2因式分解—提单项式 1.C2.-3x2yz3.D4.7 5.解：(1)5x(y-1);(2)6x2y2(x+2y-1). 6.C7.C8.-39.6010.0 11.解：由题意得，x-y=26,x2-y=x(x-y), 12 ∴.26x=1040,解得x=40,y=x-26=14. 答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁. 12.解：(1)子n(n+1)(n+2) (2)原式=(1×2+2×3+…+29×30)-(1×2 +2×3+…+9×10) =写x29×30x31-分×9×10×11 =8990-330=8660. 精练3因式分解一提多项式 1.A2.D3.(x-y)(m+n) 4.2(x-y)2(2x-2y-3) 5.(x+1)(x+2) 6.2(p+q)(3p+2q) 7.A8.-31 9.解：(1)(a+b)(x-y+z);(2)(a+b)(a+b+1); (3)(x-2)(6-x);(4)(x-y)(m-n). 10.解：(x2y-xy2)-（x-y）=28, y(x-y）-(x-y）=28,(x-y)(xy-1)=28, xy=15,.14(x-y）=28,.x-y=2. 11.解：a+2ab=c+2bc, ∴.(a-c)+2b(a-c)=0, ∴.（a-c)(1+2b)=0,故a-c=0或1+2b=0, :1+2b≠0， ∴.a-c=0,∴.a=c,∴.△ABC为等腰三角形 12.獬：(3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3 =(1+a)(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3 =(1+a)2(1+a)+a(1+a)3 =(1+a)3+a(1+a)3 =(1+a)3(1+a)=(1+a)4; (4)(1+a)5(1+a)n*147 精练4因式分解一平方差公式 1.D2.B3.C 4解：(1)(3a+b(分a-: (2)(5+a)(5-a); (3)(a+2(a-)} 5.D 6.a(b+1)(b-1) 7.解：(1)2(a+3)(a-3); (2)ab(b+1)(b-1); (3)(a+2)(a-2)(a-b). 24 8.C9.C10.2018 11.(x-2)12.4ab 13.解：(1)x(x+4)(x-4)； (2)(x+1)(x-3); (3)(3a+1)(a+1); (4)(x2+a2)(x+a)(x-a); (5)(a-b)(x+1)(x-1); (6)(7a+b)(a+7b) 14.证明：(n+5)2-(n-1)2=12(n+2),n是正整 数，.(n+5)2-(n-1)2一定是12的倍数 15.解：用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩 余部分的面积，分解因式后把半径的值代入计算 可得： S=TR2-4m2=π(R2-4r2) =π(R+2r)(R-2r)≈3×(8.6+2×0.7)×(8.6 -2×0.7)=216(cm2). 答：剩余钢板的面积为216cm2. 16.解：(1)28是“和谐数”，理由如下： 28=82-62,.28是“和谐数”， 若设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整 数)，由这两个连续偶数构造的“和谐数”是4的倍 数.理由如下： ·(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k) =(4k+2)×2=4(2k+1), .k为整数，.4(2k+1)能被4整除， ∴.“和谐数”一定是4的倍数； (2)不超过2026的正整数中，所有“和谐数”之和 为：(2-0)+(42-22)+(6-42)+…+(506-504) =5062 精练5因式分解一完全平方公式 1.A2.B 3.解：(1)(x+2)2;(2)(a+4)2; (3)(m+2月；(4)2a+1； (5)(2m-3n)2;(6)(m+3)2(m-3)2 4.A 5.解：(1)-(x+y)2；(2)a(a+2)2; (3)b(b-3)2;(4)(a+b+3)2. 6.A7.B8.(1)9(2)±49.y-4 10.解：(a-3)2+(b+4)2=0,a=3,b=-4. 11.解：a2+62-c2+2ab=100, (a+b)2-c2=100,(a+b+c)(a+b-c)=100, 12 .a+b+c=25. .25×(a+b-c)=100,∴.a+b-c=4. 12.解：(1)33(2)1大-2 (3)-x2+3x+y+5=0, .x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6, (x-1)2≥0，.(x-1)2-6≥-6， .当x=1时，y+x的最小值为-6. 重点专题因式分解及其应用 1.解：(1)(x+4)(x-4); (23+2-) (3)(11x-3y)(3x-11y); (4)(x-y)(a+b)(a-b) 2.解：(1)(a-4)2;(2)-(x-y)2; (3)(x+y+3)2;(4)(a-b-c)2. 3.解：(1)(x+4)(x+1); (2)(x-9)(x+3); (3)(y-7)(xy+2); (4)(m+4)(m-2)(m+1)2. 4.解：(1)(x+1)(x-1)(y+1)(y-1); (2)(x-y)(x-3); (3)(a+3)(a-1); (4)(2x-y+3)(2x-y-3). 5.解：设x2-4x=y, 原式=y(y+8)+16=y2+8y+16=(y+4)2， .原式=(x2-4x+4)2=[(x-2)2]2=(x-2)4 6.解：原式=(a+b)2(a-b)2=(a2-b2)2=400. 7.解：(x+3)2+(y-2)2=0,x=-3,y=2. .(x+y）)2026=(-1)2026=1. 8.獬：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+ b)2,ab=2,a+b=3,.原式=2×32=18. 9.原式=15x(y+4)(x-2) x=2,y=-2∴原式=0 10.证明：(n+3)2-(n-1)2=8(n+1),当n为正整 数时，(n+3)2-(n-1)2一定是8的倍数 11.解：(a-2)2≥0，(b+4)2≥0，a2-4a+b2+8b+ 21=(a-2)2+(b+4)2+1,.该式的最小值为1. 12.解：SME=7AE,Sx=7CE】 :种花区域的面积和为究A+GG=25 AE CE=(AE+CE)-(AE+C)]=2 25 [AC-25]=2[72-25]=12 .AE·BE=DE·CE=12. 种草区域的面积和为？(AE·BE+DB·CE) =12. 答：种草区域的面积和为12 第五章分式与分式方程 精练1分式的概念 1.B2.C3.C4.C5.D6.A7.C8.C 9.20-20 xx+0.710.D11.±2 21,-1,-3,-513公 14.解：(1)汽车从甲地到乙地需要行驶360小时： (2)汽车从甲地到乙地需要行骏9小时， 汽车该速后晚到99）小时。 15.解：依题意可知 1-a=0,解得=1 4+2b=0, b=-2, .∴.a+b=-1. 16.解：(1)设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙 钢板所围铁片每米价格为2x元， 2π(a-1)x=18, 由题意得： 解得a=7; l2ra×2x=42, F F (2)① π(a-1)2π(a2-1) ②P厘=，F F a2-1=a+1 2p2m(a-l*m(a2-1(a-1a-, :P里=a+1. Pz a-1i ~P里=a+1-a=1)+2=1+ 'Pz a-1a-1 a-1, 又a>3,a-1>2,0<2 -7<1, 1<1+2<2,即1<经<2 P乙 精练2分式的基本性质及约分 1.C2.解：(1)2x2(2)36(3)2x2(4)x+y 3.3a+564.6a+26 "2a-10b"4a+3b 5.B6.D7.D &(ω品2+ (3)a-6 atb 12 9.C10.C11.×或÷12.3 13解：山原式号当=1时，原式分 (2)原式=产6当a=2,6=4时，原式=-2 14解：+日=2，-2，m+n=2m mn 原式=5(m+m）-2m-10mn-2m--4 -(m+n) -2mn 15.（1)解：①25% ②：依题意，=1 c+d=4, 当d=45时45子解得c=15 “0…当=2g时2品-解得/-6 e 1 atb c+d-etf=x,a,b.c.d,ef (2)证明：·a, =-c =e 为正数，∴.a=(a+b)x,c=(c+d)x,e=(e+f)x, ..a+c+e=(a+b)x+(c+d)x+(e+A)x, a+c +e a+b+c+d+e+f (a+b)x+(c+d)x+(etDx-x, a+b+c+d+e+f 即一 a+c+e a+b+c+dte+f=* (3)解：设9+b-c=0-b+c=-a+6+c=k, b a ..a+b-c=kc,a-b+c=kb,-a+b+c=ka, .(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)=ka+kb +kc,..a+b+c=k(a+b+c), a,b,c均不为0且a+b+c≠0， ∴.k=1,∴.a+b-c=hc=c,a-b+c=b=b,-a+ b+c=ka=a,..a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a, :a+b)(a+cb+c-2c·2b·20=8. abc abc 精练3分式的乘除法 1B2(a,(2 46 3.解：(1)22x 2x+1;(2)a-2 a+i:(3)a 4.D5.C 6.解：(1)原式=x+1.，x2 x‘(x+1)(x-1)）x-1 ②原武合 26