第07讲 导数的概念及其意义（知识清单+9题型讲解举一反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第07讲 导数的概念及其意义 知识清单 知识点01：瞬时速度 知识点02：抛物线切线的斜率 知识点03：函数的平均变化率 题型讲解 （举一反三） 题型1：平均变化率 题型2：瞬时变化率的概念及辨析 题型3：导数定义中极限的简单计算 题型4：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 题型5：求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型6：求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型7：求过一点的切线方程 题型8：已知切线（斜率）求参数 题型9：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 知识点02抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 知识点03函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型1：平均变化率 【例1-1】（25-26高二上·天津河西·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【变式1-2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数，则 ． 【变式1-3】（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 题型2：瞬时变化率的概念及辨析 【例2-1】（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【变式2-1】（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是 . 【变式2-3】（24-25高二·全国·课堂例题）半径为的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义. 题型3：导数定义中极限的简单计算 【例3-1】（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【变式3-2】（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求． 题型4：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例4-1】（24-25高二下·陕西榆林·月考）已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，其中a，b，c为常数，则函数在处的导数为 . 【变式4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）利用导数的定义，求在处的导数． 题型5：求曲线切线的斜率（倾斜角） 【例5-1】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则的大小关系为 （由小到大顺序表示）    【变式5-3】若，则切线的倾斜角为锐角；若，则切线的倾斜角为钝角；若，则切线与x轴平行或重合，这种说法正确吗？ 题型6：求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【例6-1】（25-26高二上·河北衡水·期末）已知曲线在点处的切线方程是，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式6-2】（25-26高二上·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 【变式6-3】（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 题型7：求过一点的切线方程 【例7-1】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【变式7-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【变式7-2】（24-25高二下·江西南昌·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【变式7-3】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 题型8：已知切线（斜率）求参数 【例8-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式8-2】（24-25高二下·河南新乡·期末）若曲线与直线相切，则 ． 【变式8-3】已知直线与抛物线相切，求的值． 题型9：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【例9-1】若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【变式9-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【变式9-3】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则 ． 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·月考）一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（   ）. A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期末）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 5．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 6．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 11．已知直线与抛物线相切，则（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 12．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 13．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 14．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 17．（24-25高二下·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 18．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 19．已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 导数的概念及其意义 知识清单 知识点01：瞬时速度 知识点02：抛物线切线的斜率 知识点03：函数的平均变化率 题型讲解 （举一反三） 题型1：平均变化率 题型2：瞬时变化率的概念及辨析 题型3：导数定义中极限的简单计算 题型4：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 题型5：求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型6：求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型7：求过一点的切线方程 题型8：已知切线（斜率）求参数 题型9：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 知识点02抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 知识点03函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型1：平均变化率 【例1-1】（25-26高二上·天津河西·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 【答案】D 【分析】直接求解即可. 【详解】平均变化率. 故选：D 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 【变式1-2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数，则 ． 【答案】0 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：0 【变式1-3】（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）当且时，求得，得到函数的增量为，再求得的值，即可得到答案. （2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当且时，可得，即函数的增量为， 则平均变化率. （2）解：由，可得， 且， 表示曲线上两点和所在的直线的斜率为. 题型2：瞬时变化率的概念及辨析 【例2-1】（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是 . 【答案】 在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【分析】这道题考查的是瞬时变化率的求法以及其几何意义. 【详解】自变量从变到的过程中，， 则该函数的平均变化率为， 当趋于时，平均变化率趋于，则在第时，原油温度的瞬时变化率为℃/， 即在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 故答案为：；在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【变式2-3】（24-25高二·全国·课堂例题）半径为的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义. 【答案】球的体积在半径时的瞬时变化率为，实际意义是，当半径改变量很小时，其体积的改变量近似值为． 【分析】先确定体积，再由导数的定义判断即可； 【详解】半径为的气球体积为， 设时，半径的改变量为， 则， ∴， ∴球的体积在半径时的瞬时变化率为， 实际意义是，当半径改变量很小时，其体积的改变量近似值为． 题型3：导数定义中极限的简单计算 【例3-1】（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解． 【详解】根据导数定义， 令，即，得， 故选：B． 【变式3-1】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求． 【答案】10 【分析】先求得，故可求题设的极限. 【详解】因为，所以: ， 故． 题型4：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例4-1】（24-25高二下·陕西榆林·月考）已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的定义得解. 【详解】由导数的定义知． 故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 【变式4-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，其中a，b，c为常数，则函数在处的导数为 . 【答案】 【分析】利用导数的定义求出导函数，从而可求的答案. 【详解】， ， 当时，瞬时变化率为，即函数在处的导数为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）利用导数的定义，求在处的导数． 【答案】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】， ， ． 题型5：求曲线切线的斜率（倾斜角） 【例5-1】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 【变式5-1】（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 【变式5-2】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则的大小关系为 （由小到大顺序表示）    【答案】 【分析】结合函数的图象以及导数的几何意义判断集合. 【详解】由函数的图象可知函数单调递增，但是增长速度越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示和两点连线的斜率， 所以， 即. 故答案为： 【变式5-3】若，则切线的倾斜角为锐角；若，则切线的倾斜角为钝角；若，则切线与x轴平行或重合，这种说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【详解】正确．由导数的几何意义以及倾斜角的正切值的符号与角度的关系知，说法正确． 题型6：求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【例6-1】（25-26高二上·河北衡水·期末）已知曲线在点处的切线方程是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】曲线在点处的切线方程的斜率为， 根据导数的几何意义得． 故选：A． 【变式6-1】（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据导函数的几何意义，求出曲线上一点的切线斜率，根据切线斜率和导函数值求出切点坐标，进而求出线段长度. 【详解】由得，则当时，； 则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得， 所以，可知，则， 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 【答案】 【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积. 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 【变式6-3】（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)6.3，6.003，6.00003． (2) 【分析】（1）利用平均变化率公式求割线斜率即可； （2）利用瞬时变化率求切线斜率即可求切线方程. 【详解】（1）割线的斜率， 当，0.001，0.00001时，，6.003，6.00003． （2）因为切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为． 题型7：求过一点的切线方程 【例7-1】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 【变式7-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【变式7-2】（24-25高二下·江西南昌·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】和 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 【变式7-3】（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 题型8：已知切线（斜率）求参数 【例8-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 【变式8-1】（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二下·河南新乡·期末）若曲线与直线相切，则 ． 【答案】1 【分析】由题意，然后求出斜率为时的，从而可求解. 【详解】因为，所以．直线的斜率为1， 令，解得，，所以，解得． 故答案为：. 【变式8-3】已知直线与抛物线相切，求的值． 【答案】 【分析】由题意可得，又因为，，解方程即可得出答案. 【详解】设切点为． 即，又因为，， 则，，代入可得：， 则，解得：或， 则或， 当时，由可得：， 则，故不成立，故. 题型9：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【例9-1】若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 【变式9-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 【变式9-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【答案】5 【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【详解】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故答案为：5． 【变式9-3】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则 ． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为： 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·月考）一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（   ）. A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】D 【分析】根据瞬时速度是位移函数的导数对原函数求导，代入求值即可. 【详解】因为，所以（瞬时速度是位移函数的导数）. 当时，. 故选：D. 2．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆·期末）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义以及割线斜率结合图形可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 6．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 8．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的定义进行求解． 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误． 故选：B 二、多选题 9．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项. 【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对； 对于CD，由图可知，，所以C错D对. 故选：BD 10．（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】AB 【分析】根据曲线图直接判断A，结合题目数据根据平均变化率的概念判断BC，结合题目数据根据切线斜率判断D. 【详解】列表解析，直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿化好于乙地． B √ 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率． C × 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率． D × 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同． 故选：AB 11．已知直线与抛物线相切，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【分析】设出切点坐标，由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为直线与抛物线相切， 设切点坐标为，因为抛物线，所以， 所以，所以①， 由切点在直线与抛物线上， 所以且，所以②， 由①②可得：或. 所以，所以. 故选：AB 三、填空题 12．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】， 所以， 故答案为： 13．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解. 【详解】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 14．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据平均速度的概念求平均速度. （2）根据求初速度. （3）根据求该物体在时的瞬时速度. 【详解】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由可得结果； （2）根据计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 17．（24-25高二下·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【详解】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 18．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 19．已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，讨论函数有两个零点的a的取值范围. 【详解】依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为， 则斜率， 所以切线方程为： 又点在切线上， 所以 ， 即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程 有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， 若， 由，得或， 由，得， 即函数在， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 又， 当 时，恒成立 ，所以函数最多1个零点，不合题意； 若恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； 若，由，得或 ， 由， 得， 即函数在上单调递增，在 上单调递减， 则当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 又， 显然当时，恒成立， 所以函数最多1个零点，不合题意； 若， 显然， 当时， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得 ， 当时，， 而函数在(0,1)上的值域为 ， 因此在上的值域为， 当时，令，求导得， 所以函数在上单调递减， 则， ， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据切点构造出切线方程，然后分类讨论，求解零点个数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $