19.1 多边形的内角和-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件围绕多边形的定义、相关概念、内角和与外角和定理及正多边形展开，从生活中蜜蜂巢、四边形等图形导入，类比三角形概念构建知识支架，通过探究对角线分割三角形个数推导内角和公式，逐步延伸至外角和定理。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过顶点、边上等四种分割方法探究内角和，渗透转化思想发展数学思维，用表格归纳数据与公式强化数学语言表达。如内角和多种证法、外角和从特殊到一般推导，助力学生提升探究能力，为教师提供结构化教学资源与多样化策略。

19.1 多边形 第19章 四边形 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.了解多边形及其有关概念. 2.掌握多边形的内角和定理和外角和定理，并认识正多边形.进一步了解转化的数学思想. 3.经历探索多边形的内角和与外角和的过程，引导学生从不同的角度解决问题. 多边形的内角和与外角和定理. 利用多边形的内角和与外角和定理解决问题. 情境导入 在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？ 三角形 四边形 五边形 六边形 知识讲解 知识点1 多边形的定义及相关概念 今天我们给这些图形取了一个统一的名字： 多边形 由n条线段组成， 五边形 ···, 组成的封闭图形 三角形 的定义: 在平面内， 由 三条 不在同一条直线上的线段 首尾顺次 相接 叫作 三角形. 四边形 四条 四边形. 五边形 五条 五边形. 多边形 若干条 多边形. 如果一个多边形 那么这个多边形叫作 n边形（n为不小于3的整数）. 如三角形、 四边形、 三角形是最简单的多边形. 你能类比三角形的有关概念，说说什么是多边形的边、顶点、内角和外角吗? A D C B 边 E 顶点 内角 外角 外角 组成多边形的线段叫作多边形的边. 相邻两边的公共端点叫作多边形的顶点. 多边形中相邻两边组成的角叫作多边形的内角. 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角. 此类多边形被某条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧，是凹多边形 请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？ （1） （2） 如图（1），一个多边形，如果把它的任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形. 本节我们只研究凸多边形. A B C D E F G H 知识点2 多边形的对角线 A B C D E 定义： 多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线. 线段 AC 是五边形 ABCDE 的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示. 注意 三角形 六边形 四边形 八边形 … 五边形 探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数： 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n 边形 从同一顶点引出的对角线的条数 分割出的三角形的个数 0 1 2 3 5 n - 3 1 2 3 4 6 n - 2 从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线. 将多边形分成 (n - 2) 个三角形. n (n≥3) 边形共有对角线 条. 归纳总结 知识点3 多边形的内角和 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 问题1 三角形的内角和是多少度？ 三角形内角和是 180°. 都是 360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°. 问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？ 猜想与证明 方法1：如图，连接 AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×2 = 360°. A B C D 方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. A B C D E 方法3：如图，在四边形 ABCD 内部任取一点 O，连接 AO，BO，CO，DO， 把四边形分成四个三角形：△ABO，△ADO，△CDO，△CBO. 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×4 - (∠AOB + ∠AOD +∠COD +∠COB) = 720° - 360° = 360°. A B C D O A B C D P 方法4：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA，PB，PC，PD， 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - 180° = 360°. 这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解 结论： 四边形的内角和为360°. 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法 求五边形和六边形的内角和吗? A C D E B A B C D E F 内角和为 180°×3 = 540°. 内角和为 180°×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出的三角形个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ··· 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 （ n -2 ）·180° 1×180°=180° 2×180°=360° 3×180°=540° 4×180°=720° ··· ··· ··· ··· 由特殊到一般 归纳总结 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 多边形的内角和定理 n 边形（n为不小于3的整数）的内角和等于 (n - 2)·180°. 例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为11:10:5:10.求四边形ABCD四个内角的度数. 解：设∠B=∠D=（10x）°. 则∠A=（11x）°，∠C=（5x）°. 由题意，得11x+10x+5x+10x=360. 解得 x =10. 故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°． A B D C 知识点4 多边形的外角和 2 1 在多边形的 叫作 . 每个顶点处 取多边形的一个外角， 把它们的和 C A B D 3 4 如： ∠1+∠2+∠3+∠4 四边形ABCD的外角和是 思考：多边形外角和有怎样的规律？ 上面研究了多边形的内角和. 多边形的外角和 3 2 三角形的外角和是多少度? 你是怎样探究出来的？ A B C 探究 1 1 整体思路： 1.先求3个外角+3个内角的和； 2.再减去三角形的内角和. ∴ 三角形的外角和是： 又∵ 三角形的内角和是： 证明： ∴ 3个外角与3个内角的和是： ∵ 三角形的每个外角与它相邻的内角互补, 3×180°-180° 180°， 3×180°. =360°. 那么你能探究出四边形的外角和吗？ 探究 2 整体思路： 1.先求4个外角+4个内角的和； 2.再减去四边形的内角和. ∴ 四边形的外角和是： 又∵ 四边形的内角和是： 证明： ∴ 4个外角与4个内角的和是： ∵ 四边形形的每个外角与它相邻的内角互补， 4×180° (4-2)×180°, 4×180°. =360°. 2 1 C A B D 3 4 -(4-2)×180° A1 A3 A2 An A4 A5 探究 3 2 1 3 4 5 整体思路： 1.先求n个外角+n个内角的和； 2.再减去n边形的内角和. 你能求出n边形的外角和是多少度吗？ ∴ n边形的外角和是： 又∵ n边形的内角和是： 证明： ∴ n个外角与n个内角的和是： ∵ n边形的每个外角与它相邻的内角互补， n×180° (n-2)×180°， n×180°. =360°. -(n-2)×180° 一个外角相加而得到的， 多边形的外角和定理： n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于 360°. 归纳总结 ② 多边形的外角和 都等于360°， ① 多边形的外角和是 而不是所有外角相加的和. 取每一个顶点处的 与边数无关， 是一个定值. 注意 观察与思考 认真观察下面一组图形，它们有什么共同特点？ 特点： ②它们的各个内角角都相等. ①它们的各条边都相等； 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 这样的多边形叫作 . 正多边形 各个内角都相等， 多边形中， 如果各条边都相等， 正多边形的边数 每个内角的度数 3 4 5 6 8 n 60° 90° 120° 练一练 (1) 完成表格： 108° 135° (2) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这是正____边形. (3) 正 n 边形每个外角的度数是 ____. (4) 已知某正多边形的每个外角 都是 45°，则这个多边形是 正____边形. 六 八 例2 求正六边形每个内角的度数. 解：正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°. 所以每个内角的度数为720°÷6=120°. 四边形具有不稳定性： 各边的长确定后，图形形状不能确定. 三角形具有稳定性： 三角形的各边长确定后，三角形的形状就确定了. 随堂演练 1.填空： (1)一个n边形有____个顶点，____条边，____个内角，____个外角，从一个顶点出发，能引____条对角线，分割成____个三角形。 (2)多边形的边数每多一条，它的内角和就增加_____。 n n n n n-3 180° n-2 2. 如图，∠B的度数为 (　　) A．85° B．95° C．105° D．115° D 3. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数 是(　　) A．7 B．10 C．35 D．70 C 如图，在四边形ABCD中，∠α，∠β分别是与∠BAD、∠BCD相邻的补角，且∠B＋∠CDA＝140°，则∠α＋∠β＝(　　) A．260° B．150° C．135° D．140° D 4. 解：由多边形的内角和公式可得 （n - 2）· 180 = 1440 n - 2 = 8 n = 10 ∴这是十边形. 十 5.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这是 _____边形. 6.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B∶∠C∶∠D = 3∶4∶5，求∠B，∠C，∠D的度数. 解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x, 4x , 5x， 由四边形的内角和等于3600，得 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 ∴3x = 60,4x = 80,5x = 100 答：∠B，∠C，∠D分别为60°，80°,100°. 课堂小结 多边形的概念 定义 前提条件是在平面内 对角线 它是多边形中的重要线段，我们通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的相关问题 正多边形 定义既是判定也是性质 多边形的性质 内角和计算公式 (n - 2)·180°(n≥3，且为整数） 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关 正多边形 内角= ，外角= 四边形 具有不稳定性 绿卡图书—走向成功的通行证 38 $