23.1 一次函数的概念-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦一次函数的概念及与正比例函数的关系，通过登山队气温变化情境导入，引导学生对比正比例函数，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架，梳理一次函数解析式的特征。 以“问题情境-分析探究-总结升华”为主线，通过实际问题抽象函数关系培养抽象能力，对比归纳概念发展推理意识，结合弹簧长度、百米赛跑等实例强化模型意识，帮助学生建立知识联系，提升教师教学效率与学生应用能力。

23.1 一次函数的概念 课题 一次函数的概念 课型 新授课 教学内容 教材第114-116页的内容 教学目标 1.理解一次函数的概念、正比例函数的概念以及它们之间的关系． 2.能根据问题的信息写出一次函数的解析式或正比例函数解析式，能利用函数解决简单的问题． 3.在探究过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系． 教学重难点 教学重点：一次函数的定义及解析式的特点． 教学难点：一次函数与正比例函数的关系． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，导入新课 某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃. 1．试用函数解析式表示y与x的关系． 2．思考：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种函数你见过吗？ 师生活动：教师提出问题，学生共同讨论，引出课题. 2.实践探究，形成新识 【探究】下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？ (1)铁的密度约为7.9 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm²）的变化而变化. (2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化.． (3)一种计算成年人标准体重G(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值． (4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化． 师生活动：学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导下完成解答过程． (1)m=7.9V; (2)h=0.5n; (3)m=h-105; (4)y=-5x+50. 教师讲解:上面的四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 归纳：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．特别地，当b=0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 教师追问：一次函数和正比例函数有什么联系与区别？ 归纳：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠________；自变量x的次数为________；常数项b可以为________．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数是________．自变量x的次数为________，正比例函数是特殊的________． 师生活动：教师引导学生进行思考，师生共同完成归纳． 3.学以致用，应用新知 考点 列一次函数解析式 【例】一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm. (1）求弹簧的长度у（单位：cm)关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； (2）当挂5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：(1)由每挂1 kg 的物体，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12. (2)把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22. 因此，当挂5 kg 的物体时，弹簧的长度是22cm. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( ) A.路程一定时，时间y和速度x的关系 B.长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形 C.圆的面积y与它的半径x D.斜边长为5的直角三角形的两条直角边长y和x 答案：B （2）在运动会的百米赛场上，张媛正以7 m/s的平均速度冲向终点，那么张媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间t(s)的函数解析式为 ，跑了10s时，她离终点有 m. 答案：s＝100－7t 30 （3） 下列函数中哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ ①y=-2x；②；③y=2x2-3；④y=x+2. 答案：①④是一次函数，①是正比例函数. （4）已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3. ①当m，n取何值时，y是x的一次函数？ ②当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 解：①根据一次函数的定义得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； ②根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数． （5）写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数？ (1)某村耕地面积为106 m2，该村人均占有耕地面积y( m2)与人数x(人)之间的函数关系； (2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km，气温下降5℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系． 解：(1)根据题意得y＝，不是一次函数； (2)根据题意得28－5y＝x，则y＝－x＋，是一次函数． 5.课堂小结，自我完善 (1)什么叫一次函数?什么叫正比例函数？ (2)一次函数与正比例函数有什么联系? 6.布置作业 教材P115练习第1，2题. 教材P116习题23.1第1，2，3，4，5题． 采用学生熟悉的情境引入新课，激发学生的求知欲望，吸引学生的注意力，为学习新知识做好铺垫. 从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念． 让学生观察所写解析式的特点，并让学生认识到：各小题表示变量的字母虽然不同，但结构相同.变量间对应关系反映出了一种函数形式，与所取符号无关，找出这些式子的共同点，才能概括出一般规律. 充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展． 通过随堂练习，巩固课堂所学内容，检测学习效果. 进一步巩固一次函数的概念，提醒学生在识别一次函数时注意一次函数包括正比例函数. 通过提问，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 一次函数的概念 一次函数的概念 正比例函数的概念 一次函数与正比例函数的关系 例题 练习 教学反思 整节课以“问题情境-分析探究-总结升华”为主线，使学生亲身体验一次函数特征的探索，深化一次函数与正比例函数的关系的理解，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.教学中可重点指导学生表述、交流个人体会，再互相分析，在师生的共同探讨中逐步抓住知识的本质，再鼓励学生主动地应用于解决问题中，获得实际应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $