第四单元 正比例与反比例（知识清单）数学北师大版六年级下册

第四单元 正比例与反比例 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：认识变化的量： 根据变量图像解答问题步骤：1、要弄清图像横轴、纵轴分别表示哪个两；2、然后弄清横轴、纵轴每个单位长度表示多少；3、最后根据图像回答相关问题。 知识点02：判断两个量是否成为正比例的方法： 1、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：。 2、判断两个量是否成为正比例的方法： （1） 判断两个量是不是相关联的变量； （2） 判断两个量中相对应的两个数的比值是否一定； （3） 判定两个量是否成为正比例 （4） 画图象：正比例的图像是一条直线。 知识点03：判断两个量是否成为反比例的方法： 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。 判断两个量是否成为反比例的步骤： （1） 判断这两个量是不是相关联的变量； （2） 运用数量关系进行判断；看这两个量中相对应的两个数的积是否一定； （3） 判断出这两个量是否成为反比例。 题型1：认识变化的量： 【例1】学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表： 竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8 竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2 根据实验记录，科学小组发现了竿影的长与竹竿的高的变化关系。 科学小组用这种方法测量校园里一座雕塑的高度。某天下午4时，他们在这座雕塑旁测得竿影的长为1.8m，竹竿的高为1.2m；同时，测得这座雕塑的影子长度是3.9m。请你根据测量的过程，算出这座雕塑的高度是( )m。 【答案】2.6// 【分析】由题意可知：同一时间、同一地点不同物体的高度与影子的长度的比值相同，设这座雕塑的高度是xm，根据雕塑的高∶雕塑的影长＝竹竿的高∶竹竿的影长，列出比例求出x的值即可。 【详解】解：设这座雕塑的高度是xm。 x∶3.9＝1.2∶1.8 1.8x＝3.9×1.2 1.8x÷1.8＝4.68÷1.8 x＝2.6 这座雕塑的高度是2.6m。 【例2】你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【答案】（1）18米；3米 （2）0～6分；6～12分 （3）12分 【分析】（1）根据折线统计图的变化，可以发现，最高的点是18米，最低点是3米； （2）转动第一圈是0分到12分之间，在这个时间段里面可以发现，人所在座舱的高度在0分到6分从3米上升到了18米，从6分到12分从18米下降到了3米； （3）第一个最高点的时间是6分，第二个最高点的时间是18分，相差12分，则每12分钟，就会到达下一个最高点。 【详解】（1）到达的最高点是18米，最低点是3米。 （2）在第一圈的过程中，0～6分内高度在增加，6～12分内高度在降低。 （3）18－6＝12（分） 答：到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过12分钟。 【例3】声音在空气中传播的速度与空气的温度有关，从0℃开始，气温每升高5℃，声音在空气中传播的速度就增加约3米/秒。气温为20℃时声音在空气中传播的速度约为342米/秒，用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，请用式子表示出这两个量之间的关系。 【答案】v＝0.6t＋330 【分析】20÷5×3＝20℃时声音比0℃时增加的速度，20℃时声音在空气中传播的速度－20℃时声音比0℃时增加的速度＝0℃声音在空气中传播的速度，因此相应气温声音增加的速度＋0℃声音在空气中传播的速度＝相应气温声音在空气中传播的速度，据此分析。 【详解】342－20÷5×3 ＝342－12 ＝330（米/秒） v＝t÷5×3＋330＝0.6t＋330 答：用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，用式子表示出这两个量之间的关系是v＝0.6t＋330。 【例4】一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）2 （2）10毫升 （3）30立方厘米 【分析】（1）从图中可知，水先填满圆柱周围空间，再填满圆锥周围空间。当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升；当容器里有圆锥时，水面刻度上升了300－200＝100毫升；因为圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比，所以用200÷100即可求出圆柱的高是圆锥高的倍数。 （2）当注水第25秒至40秒时，水漫过了圆柱和圆锥。水面刻度从300毫升到450毫升时，即增加了水的体积450－300＝150毫升，用时40－25＝15秒，用150÷15＝10毫升，即求出了每秒注水量。 （3）当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升，用时17秒。此时容积刻度＝圆柱体积＋水的体积，水的体积：10×17＝170毫升＝170立方厘米，所以圆柱体积＝水面刻度－水的体积＝200－170＝30毫升＝30立方厘米。 【详解】（1）200÷（300－200） ＝200÷100 ＝2 图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的2倍。 （2）（450－300）÷（40－25） ＝150÷15 ＝10（毫升） 答：每秒注水10毫升。 （3）200－17×10 ＝200－170 ＝30（毫升） ＝30（立方厘米） 答：铁块圆柱部分的体积是30立方厘米。 【点睛】理解圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比是解此题的关键。 题型2：正比例： 【例5】一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【答案】(1) 铺地面积 用砖数量 用砖数量 铺地面积 (2) 15∶1 15 (3) 用砖数量 用砖数量和铺地面积的比值 正 【分析】（1）根据表格中的数量关系直接填空即可； （2）找出第四组中用砖数量与铺地面积的值，写出比化简并求比值即可； （3）比值是用砖数量与铺地面积的比值，表示用砖数量÷铺地面积，表示1平方米需要多少多少块砖；根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；据此解答。 【详解】（1）表中铺地面积和用砖数量是相关联的量，用砖数量随着铺地面积的变化而变化。 （2）第四组中用砖数量∶铺地面积＝60∶4＝15∶1 60∶4＝60÷4＝15 第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是15∶1，比值是15。 （3）所求比值＝用砖数量÷铺地面积即所求比值所表示的意义是每平方米的用砖数量；用砖数量和铺地面积的比值是一定的，所以用砖数量和铺地面积成正比例。 【例6】圆的半径与它的面积变化情况如表。 半径 1 2 3 4 5 面积 3.14 12.56 28.26 （    ） （    ） （1）把上表填完整。 （2）上表中哪些量在发生变化？ （3）圆的面积是如何随着半径的变化而变化的？ 【答案】（1）50.24；78.5； （2）表中半径和面积都在变化。 （3）圆的面积与半径的平方的比值为（一定）， 所以圆的面积与半径的平方成正比例， 即圆的面积随着半径的平方的变化而变化。 【分析】根据圆的面积计算公式，代入数据计算；观察表格，可以发现表中的半径和面积均在变化，依据圆的面积计算公式可知（一定），据此进行分析即可。 【详解】（1）（平方厘米） （平方厘米） 统计表如下： 半径 1 2 3 4 5 面积 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 （2）表中半径和面积都在变化。 （3）圆的面积与半径的平方的比值为（一定）， 所以圆的面积与半径的平方成正比例， 即圆的面积随着半径的平方的变化而变化。 【点睛】本题考查了圆的面积与半径之间的关系。判断的关键在于掌握圆的面积计算公式。 【例7】根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积/平方厘米 6 12 18 24 30 平行四边形的高/厘米 1 2 3 4 5 【答案】成正比例；见详解 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 观察表格，发现表中有平行四边形的面积和高两种相关联的量，平行四边形的面积随着高的变化而变化，且平行四边形的面积和高的商都是一定的，就是底一定，所以平行四边形的面积与高成正比例关系。 【详解】6÷1＝12÷2＝18÷3＝24÷4＝30÷5＝6 答：平行四边形的面积与高成正比例关系，因为平行四边形的面积÷高＝底（一定）。 题型3：反比例： 【例8】马和长颈鹿的奔跑情况如下图。    （1）马奔跑的路程和时间是否成正比例？长颈鹿呢？ （2）马和长颈鹿18分各跑多少千米？ （3）从图象上看，马跑得快还是长颈鹿跑得快？ 【答案】（1）成正比例；成正比例； （2）马21.6千米，长颈鹿14.4千米 （3）马 【分析】（1）比值一定的两个量成正比例关系，据此判断马和长颈鹿奔跑的路程和时间是否成正比例关系； （2）路程＝速度×时间，据此求出马和长颈鹿18分各跑多少千米； （3）根据图像易知，马奔跑的斜线较陡，则马跑得快。 【详解】（1）12∶10＝24∶20＝1.2 8∶10＝16∶20＝0.8 答：马奔跑的路程和时间成正比例，长颈鹿奔跑的路程和时间成正比例。 （2）18×1.2＝21.6（千米） 18×0.8＝14.4（千米） 答：马和长颈鹿18分各跑21.6千米和14.4千米。 （3）答：从图象上看，马跑得快。 【点睛】本题考查了正比例，掌握正比例的意义和图像是解题的关键。 【例9】如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 【例10】笑笑在假期里看一本书，计划每天看20页，15天可以读完，实际提前3天看完，实际每天看多少页？（用比例知识解答） 【答案】25页 【分析】根据每天读的页数×天数＝总页数（一定），每天读的页数和天数成反比例，设实际提前3天看完，实际每天看x页，列方程为（15－3）x＝20×15，然后解出方程即可。 【详解】解：设实际提前3天看完，实际每天看x页。 （15－3）x＝20×15 12x＝20×15 12x＝300 x＝300÷12 x＝25 答：实际提前3天看完，实际每天看25页。 一、填空题 1．（c≠0），当c一定时，a和b成( )比例；当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例。 【答案】 正 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】（一定），是比值一定，所以a和b成正比例； （一定），是乘积一定，所以b和c成反比例； （一定），是比值一定，所以a和c成正比例。 因此，在（c≠0）中，当c一定时，a和b成正比例；当a一定时，b和c成反比例；当b一定时，a和c成正比例。 2．在比例中，两个外项一定时，两个内项成( )比例。 【答案】反 【分析】根据比例的性质，可知在比例里，两个外项的积一定，两个内项的积也一定，因为两个内项积一定（乘积一定），根据反比例的意义，判断这两个内项成反比例，即可解答。 【详解】在比例中，两个外项一定，两个内项成反比例。 【点睛】本题考查比例的性质和反比例的意义。 3．“一台拖拉机2.5小时耕地2.15公顷，照这样计算要耕地6.02公顷，需要多少小时？”此题中( )这个数量是一定的，( )和( )成( )比例。 【答案】 拖拉机的工作效率 耕地的总量 拖拉机的工作时间 正 【分析】此题中“照这样计算要耕地6.02公顷，需要多少小时？”说明拖拉机工作效率始终不变，拖拉机工作时间会根据耕地总量的变化而变化，因为拖拉机工作效率＝，所以根据正比例的含义，拖拉机工作时间和耕地总量相关联，且两者的比值一定，说明这两者成正比例关系 【详解】拖拉机的工作效率这个数量是一定的，耕地的总量和拖拉机的工作时间成正比。 【点睛】掌握判断两种数量是否成正比的方法：首先看这两个量是不是相关联的量，再看比值是否一定。如果相关联且比值一定，则这两种量就成正比例关系。 4．当速度一定时，路程与时间成( )比例；当时间一定时，速度与路程成( )比例。 【答案】 正 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 【详解】路程÷时间＝速度（一定），路程和时间成正比例； 路程÷速度＝时间（一定），速度和路程成正比例。 当速度一定时，路程是时间成正比例；当时间一定时，速度和路程成正比例。 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 5．判断下面各题中的两种量是否成比例，如果成比例，成什么比例。 (1)长方体的体积一定，它的底面积和高。( ) (2)三角形的面积一定，它的底和高。( ) (3)铺地的面积一定，所用方砖的边长和所需块数。( ) (4)圆的周长和它的半径。( ) (5)圆的面积和它的半径。( ) (6)修一条公路，已修好的长度与未修好的长度。( ) 【答案】(1)成反比例 (2)成反比例 (3)不成比例 (4)成正比例 (5)不成比例 (6)不成比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此可以判断以下几题： （1）因为：底面积×高＝长方体体积（一定），底面积与高成反比例； （2）根据三角形的底×高＝三角形的面积×2，结合面积一定即可判断它的底和高成反比例； （3）方砖面积×方砖块数＝铺地的总面积（一定），可以看出，每块方砖的面积与方砖块数成反比例关系，而每块方砖的面积等于边长的平方，也就是说，铺地的方砖的面积一定时方砖的块数只是与方砖边长的平方成比例关系，与边长不成比例； （4）圆的周长C＝2πr，圆周率一定，周长和它的半径成正比例； （5）圆的面积÷它的半径＝π×它的半径，因为它的半径是变量，所以（π×它的半径）就不一定，是比值不一定，所以圆的面积与它的半径不成比例； （6）已修长度＋未修长度＝公路的总长度（一定），和一定，所以已修长度和未修长度不成比例； 【详解】（1）长方体的体积一定，它的底面积和高。（成反比例） （2）三角形的面积一定，它的底和高。（成反比例） （3）铺地的面积一定，所用方砖的边长和所需块数。（不成比例） （4）圆的周长和它的半径。（成正比例） （5）圆的面积和它的半径。（不成比例） （6）修一条公路，已修好的长度与未修好的长度。（不成比例） 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 6．总人数一定，每行站的人数与站的行数成( )比例。 【答案】反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【详解】因为每行站的人数和站的行数的乘积是总人数，总人数一定，所以每行站的人数和站的行数成反比例。 总人数一定，每行站的人数与站的行数成反比例。 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 7．路程和时间是两种相关联的量，当它们的比值（速度）保持一定时，路程和时间是成( )比例的量，它们的关系是( )比例关系。 【答案】 正 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【详解】路程÷时间＝速度（比值一定），路程和速度成正比例。 路程和时间是两种相关联的量，当它们的比值（速度）保持一定时，路程和时间是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 8．小芳买6本同样的练习本用去9元，小吴买同样的9本练习本用去13.5元。他们买练习本的本数比是( )，买练习本的总价比是( )。( )一定，( )和( )成( )比例。 【答案】 2∶3 2∶3 单价 总价 本数 正 【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，分别写出本数比和总价比，化简即可。两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系。 【详解】6∶9＝（6÷3）∶（9÷3）＝2∶3 9∶13.5＝90∶135＝（90÷45）∶（135÷45）＝2∶3 9÷6＝1.5（元）、13.5÷9＝1.5（元），总价÷本数＝单价（一定） 他们买练习本的本数比是2∶3，买练习本的总价比是2∶3。单价一定，总价和本数成正比例。 9．甲、乙是两个相关联的量，当甲扩大到原来的8倍，乙也随着扩大到原来的8倍时，甲与乙成( )比例；当甲扩大到原来的8倍，乙却随着缩小到原来的时，甲与乙成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】正比例：相关联的两个量，比值一定。反比例：相关联的两个量，乘积一定。据此解答。 【详解】甲、乙是两个相关联的量，当甲扩大到原来的8倍，乙也随着扩大到原来的8倍时，即甲与乙的比值一定，甲与乙成正比例；当甲扩大到原来的8倍，乙却随着缩小到原来的时，即甲与乙的乘积一定，甲与乙成反比例。 【点睛】熟练掌握的正比例和反比例的概念是解题的关键。 10．如果y＝6x（x，y均不为0），那么x和y成（ ）比例关系；如果＝y（x≠0），那么x和y成（ ）比例关系。 【答案】 正 反 【分析】两个相关量，如果它们的比值一定，那么它们成正比例。两个相关量，如果它们的积一定，那么它们成反比例。根据定义，把题目中给出的等式进行变换。 【详解】如果y＝6x（x和y都不为0），即x∶y＝，是比值一定，那么x和y成正比例关系； 如果＝y（x≠0），xy＝5是乘积一定，那么x和y成反比例关系。 【点睛】本题考查正比例与反比例的定义，根据定义判断两个相关量的关系。题目中给出的式子要灵活变换。 11．如果，那么( )( )，和成( )比例。如果，那么和成( )比例。 【答案】 3 5 正 反 【分析】如果，把等式的两边同时除以b，即可得出a÷b的商，根据比的意义，两个数的比表示两数相除，所以可以得出a∶b是多少，又因为a和b是相关联的两个量，它们的比值一定，所以它们成正比例关系； 如果，把这个等式看成一个比例，在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，可以得出ab的乘积是多少，又因为a和b是相关联的两个量，它们的乘积一定，所以它们成反比例关系。 【详解】 则： 即： （一定），和成正比例关系。 则：（一定） 那么和成反比例关系。 【点睛】本题综合考查了比和比例的相关知识，要熟练掌握比的意义，比例的基本性质，以及正比例、反比例的意义。 12．甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 【答案】25 【分析】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5，可以设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，最后甲乙的高度相等。列方程解答即可。 【详解】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5。 解：设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，则： 10＋＝ ＝10 ＝5 此时甲乙的水深都是10＋＝10＋3×5＝10＋15＝25（厘米） 【点睛】理解体积相等、圆柱的底面积和高成反比，底面积是5∶3，那入注入的水的深度就是3∶5。理解底面积和高之间成反比是解答本题的关键。 二、判断题 13．下午2时，太阳下竹竿的高和影长成反比例． ( ) 【答案】× 14．如果和均不为，那么和成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果和均不为，即（一定），是比值一定，所以和成正比例； 所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 15．工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此进行解答即可。 【详解】工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量一定，即工作效率和工作时间乘积一定，工作时间和工作效率成反比例。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 16．零件总数一定，每小时加工的个数和加工时间成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 【详解】每小时加工的个数×加工时间＝零件总数（一定），每小时加工的个数和加工时间成反比例。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查正比例意义和辨识、反比例意义和辨识；熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 17．车轮的直径一定，所行路程与车轮转的周数成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】因为行驶的路程和转的周数是两种相关联的量，车轮的直径一定，也就是车轮的周长一定，转动周数越多，路程就越长；即所行路程与车轮转动的周数的比值一定。 【详解】由分析可知；车轮的直径一定，所行路程与车轮转的周数成正比例，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查对正比例概念的理解以及判别方法的掌握。 18．两种相关联的量，如果相对应的两个数一定，这两种量成正比例。( ) 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成正比例，就看这两个量是对应的比值一定；如果是比值一定，就成正比例；据此进行解答即可。 【详解】根据分析可知，两种相关联的量，如果相对应的两个数的比值一定，这两种量成正比例。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识是解答本题的关键。 19．任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数，互为倒数。两数之积一定，根据反比例的判别原则：当一个量一定，另两个量积一定时，成反比例，即可解答。 【详解】任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。 所以原题说法正确。 【点睛】此题考查学生对反比例的判别方法。 20．一个长方形的周长是36厘米，它的长和宽成反比例。( ) 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，成反比例。据此解答。 【详解】一个长方形的周长是36厘米，周长不变，即（长＋宽）×2＝长方形周长（一定），和一定，长和宽不成比例。 一个长方形的周长是36厘米，它的长和宽不成比例。原题说法错误。 故答案为：× 21．圆柱的底面半径一定，它的体积和高成正比例( )。 【答案】√ 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【详解】根据圆的面积公式S＝πr2可知，圆柱的底面半径一定，则圆柱的底面积一定； 再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，＝S（一定），比值一定，则体积和高成正比例。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。 22．甲和乙成反比例，乙和丙成反比例，所以甲和丙也成反比例。( ) 【答案】× 【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系。 【详解】假设甲×乙＝a（a为定值且a≠0），乙×丙＝b（b为定值且b≠0）；则有＝乙＝，即＝；再根据比例的基本性质可得：甲∶丙＝，又因为a、b均为定值，所以为定值；综上可得：甲∶丙＝（比值一定），甲和丙成正比例。 故答案为：× 【点睛】本题考查正、反比例的意义及运用，将已知条件转化为甲和丙的关系式是解题的关键。 三、选择题 23．下列两种量成正比例的是（    ）。 A．铺地总面积一定，每块砖的面积和砖的块数 B．全班人数一定，每组人数和组数。 C．正方形边长和周长 D．圆的半径和面积 【答案】C 【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例；如果不是比值或乘积一定，就不成比例。 【详解】A.因为：每块砖的面积×铺地砖块数＝铺地面积（一定）， 所以每块砖的面积与铺地砖块数成反比例； B.每组人数×组数＝全班人数（一定） 是乘积一定，所以全班人数一定，每组人数和组数成反比例； C.正方形的周长∶边长＝4（一定）， 所以正方形边长和周长成正比例； D.圆面积÷圆的半径＝π×圆的半径，圆的半径是变量，所以（π×圆的半径）就不一定，是乘积不一定，所以圆的半径与圆面积不成比例关系。 故答案为：C 【点睛】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是其它的量一定，再做出解答。 24．表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 【答案】C 【分析】判断m和n成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】A．m＋n＝k（一定），是和一定，所以m和n不成比例； B．m×n＝k（一定），是乘积一定，所以m和n成反比例； C． （一定），是比值一定，所以m和n成正比例。 故答案为：C。 25．壮壮做10道计算题，已做的题数和没有做的题数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】C 【分析】判断两个相关的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】已做的题数＋没有做的题数＝10，是和一定，根据正比例和反比例的意义可知，已做的题数和没有做的题数既不成正比例，也不成反比例。 故答案为：C 26．在同一幅地图中，图上距离和实际距离（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】比例尺＝图上距离∶时间距离；同一幅地图上的比例尺是一定的，所以图上距离和实际距离成正比例。 在同一幅地图中，图上距离和实际距离成正比例。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨别、反比例意义和辨别是解答本题的关键。 27．甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11∶12，则甲、乙两名运动员所用的时间比是（    ）。 A．11∶12 B．11∶23 C．12∶11 D．23∶11 【答案】C 【分析】根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，所以甲、乙两名运动员所用的时间比等于他们速度的反比。 【详解】甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11∶12，则甲、乙两名运动员所用的时间比是12∶11。 故答案为：C 28．小李正在看一本故事书，已经看的页数和还没有看的页数，会是下面的（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】C 【解析】已经看的页数和还没有看的页数是变量，一增一减的关系，两个量相加的和一定，但是不存在比值一定，也不存在乘积一定，二者不成比例。 【详解】已经看的页数和还没有看的页数不成比例； 故答案选：C。 【点睛】正比例关系要求比值一定，反比例关系要求乘积一定，都是乘除关系，对于加减关系的两个量，一定不成比例。 29．已知xy＝k＋，k一定时，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】B 【分析】判断x和y成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】因为xy＝k＋，当k一定时，那么k＋也一定，x和y是乘积一定，所以x和y成反比例。 已知xy＝k＋，k一定时，x和y成反比例。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 30．表示x和y成反比例的式子是（    ）。 A．x＋y＝100 B．xy＝35 C．＝8 【答案】B 【分析】根据反比例意义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量的乘积一定，那么这两个量叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．x＋y＝100（和一定），x和y不成比例，不符合题意； B．xy＝35（积一定），x和y成反比例，符合题意； C．＝8（比值一定），x和y成正比例，不符合题意。 表示x和y成反比例的式子是xy＝35。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 31．如果5x＝y，那么x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为5x＝y，所以y∶x＝5（一定） 是比值一定，所以x和y成正比例； 故答案为：A 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 32．下面每组的两个量中，成正比例关系的是（    ）。 A．长方形的面积一定，长和宽 B．一个人的年龄和头发长度 C．时间一定，路程和速度 D．男生人数一定，女生人数和全班人数 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．长方形面积＝长×宽；长方形面积一定，乘积一定，长和宽成反比例； B．一个人的年龄和头发长度既不是比值一定，也不是乘积一定，所以一个人的年龄和头发长度不成比例； C．路程÷速度＝时间（一定），比值一定，路程和速度成正比例； D．全班人数－女生人数＝男生人数（一定），和一定，所以女生人数和全班人数不成比例。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 33．如果在支架右侧第3个孔挂4个同样大的正方体，那么支架左侧第2个孔应该挂（    ）个这样的正方体才保持平衡。 A．6 B．4 C．3 D．8 【答案】A 【分析】根据题意可知，支架平衡时，左边的孔数×挂的正方体数量＝右边的孔数×挂的正方体数量，据此列反比例解答。 【详解】解：设支架左侧第2个孔挂x个正方体。 2x＝3×4 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 在支架左侧第2个孔挂6个这样的正方体才能保持支架平衡。 故选择：A 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 四、解答题 34．某天下午3∶00，一根旗杆和一棵大树的影长如图所示。已知旗杆高15米，这棵大树的高是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意知道，在某一时刻物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设这棵大树的高是x米。 7.5∶15＝2.5∶x 7.5x＝15×2.5 7.5x＝37.5 x＝5 答：这棵大树的高是5米。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 35．下面的图像表示甲、乙两辆汽车行驶的路程和时间的关系。 （1）乙汽车的速度是多少千米/分？行驶12千米的路程，甲汽车比乙汽车大约少用多少分？ （2）根据图像判断，两车同时出发，8分后甲汽车比乙汽车多行（    ）千米。 【答案】（1）0.5千米/分；12分。（2）4。 【分析】首先观察图像，横轴表示的时间，纵轴表示的路程。（1）求乙汽车的速度，在表示乙汽车的那条线上找到一个点用点对应的路程除以对应时间即可。同理求甲汽车速度也是一样。再用12千米分别除以甲乙两车的速度，即可求出12千米两车所用的时间，再相减即可解答。（2）找到横轴上的8分钟，它在两直线图上对应的路程，两路程的差就是要求的答案。 【详解】（1）乙汽车的速度：6÷12＝0.5（千米/分），甲汽车的速度：8÷8＝1（千米/分）；行驶12千米的路程，甲汽车用的时间：12÷1＝12（分），乙汽车用的时间：12÷0.5＝24（分），即甲汽车比乙汽车大约少用24－12＝12（分）； 答：乙汽车的速度是0.5千米/分，行驶12千米的路程，甲汽车比乙汽车大约少用12分。 （2）找到横轴上的8分钟，甲对应的路程是8千米，乙对应的路程是4千米，8分后甲汽车比乙汽车多行8－4＝4（千米）。 【点睛】熟练掌握复式折线统计图的分析能力和提取信息的能力。 36．网通公司为光明小区安装电话，如果每天安装25部，18天可以装完。如果想提前3天完成，平均每天要多装多少部？ 【答案】5部 【分析】根据题意可知，这些电话机的总部数一定，也就是每天安装的部数与所用的天数的积一定，因此每天安装的部数与所用天数成反比例，可以设平均每天安装x部可以提前3天完成任务，即（18－3）x＝25×18，由此解方程即可，求出x再减去原来每天安装的部数即可知道平均每天要多装多少部。 【详解】解：设平均每天安装x部可以提前3天完成任务。 （18－3）x＝25×18 15x＝450 x＝450÷15 x＝30 30－25＝5（部） 答：提前3天完成任务，平均每天要多装5部。 【点睛】本题主要考查比例应用题，解题的关键是判断题目中相关联的两个量成什么比例，乘积一定是反比例，比值一定是正比例，由此解答。 37．某工程队要用长8m的新水管替换长5m的旧水管，原来已铺的旧水管有124根，现在有75根新水管，够了吗？（用比例方法求解） 【答案】不够 【分析】因为水管的长度×水管的根数＝总长（一定），所以水管的长度与水管的根数成反比例关系。设需要x根新水管，根据反比例的意义列方程求解，最后与75比较即可。 【详解】解：设需要x根新水管，根据题意列方程为： 8x＝5×124 x＝620÷8 x＝77.5 77.5＞75 不够 答：75根新水管，不够。 【点睛】本题主要考查反比例的应用，解答正比例、反比例应用题的关键是准确判断先关联的两种量是成成比例还是反比例关系。 38．修一条公路，已修长度是未修长度的，已修的长度比未修的长度少800米，这条公路全长多少米？ 【答案】2000米 【分析】设未修长度是x米，则已修长度是x米，未修的长度－已修的长度＝800，据此列方程解答求出未修长度和已修长度，最后把两者加起来即可求出公路的全长。 【详解】解：设未修长度是x米，则已修长度是x米。 x－x＝800 x＝800 x＝800× x＝1400 已修：1400－800＝600（米） 全长：1400＋600＝2000（米） 答：这条公路全长2000米。 【点睛】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。 39．一辆汽车准备从甲地开往乙地。根据下表提供的信息，把表格填写完整。 时间/时 8 10 16 20 32 40 速度（千米/时） 100 80 （1）行驶的时间和速度成什么比例关系？说明理由。 （2）试着在方格纸上画图表示表中的数据。 （3）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格，估计这辆汽车的速度大约是多少？ 【答案】（1）因为路程一定，所以行驶的时间和速度成反比例关系； （2）见详解； （3）44千米。 【分析】（1）因为路程一定，所以行驶的时间和速度成反比例关系； （2）根据路程、时间、速度三者之间的关系，求出对应的速度，填写表格。 （3）因为18小时介于16小时与20小时之间，那么速度就介于50与40之间，估算即可； 【详解】补充表格如下： 时间（时） 8 10 16 20 32 40 速度（千米/时） 100 80 50 40 25 20 （1）因为8×100＝800（千米），10×80＝800（千米），即路程一定，时间与速度成反比例； （2）画图表示表中的数据： （3）800÷18≈44（千米） 答：这辆汽车的速度大约是每小时44千米。 【点睛】运用表中给出的数据，结合路程、时间、速度三者之间的关系，解决问题。 40．一台织布机织布的时间和织布的米数如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 织布的米数/米 15 30 45 60 75 90 105 120 135 … （1）上表中的两种量的变化有什么规律？ （2）上表中两种量成什么比例关系？ （3）如果织布总米数一定，那么时间和每小时织布的数量成什么比例关系？ 【答案】（1）织布米数随时间的增长而增长 （2）正比例 （3）反比例 【分析】（1）根据时间和织布的米数之间的关系，确定出两种量的变化规律； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 （3）根据正、反比例的辨识，如果织布总米数一定，每小时织布的数量×时间＝织布总米数（一定），判断时间和每小时织布的数量成什么比例，据此解答。 【详解】（1）织布米数＝每小时织布米数×时间 1×15＝30（米）；2×15＝30（米）；3×15＝45（米）……9×15＝135（米）；织布的米数随着时间的增长而增长。 答：织布的米数随时间的增长而增长。 （2）1÷15＝2÷30＝3÷45＝4÷60＝5÷75＝6÷90＝7÷105＝8÷120＝9÷135＝（一定），织布时间和织布米数成正比例。 答：织布时间和织布米数两种量成正比例。 （3）每小时织布米数×时间＝织布总米数（一定），时间和每小时织布米数成反比例。 答：如果织布总米数一定，那么时间和每小时织布的数量成反比例。 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识，反比例意义和辨识是解答本题的关键。 41．如图表示某工厂中甲、乙两个车间加工的零件数与时间的关系。 （1）乙车间生产的零件数与时间成正比例吗？为什么？ （2）如果生产8万个零件，那么乙车间比甲车间少用几个月？ 【答案】（1）正比例，工效（一定）＝工作总量∶工作时间； （2）4个月 【分析】（1）判断生产的零件数与时间是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例； （2）根据工作总量÷工效＝工作时间，先分别求出甲、乙车间用的时间，再相减即可。 【详解】（1）由图意可知，2∶1＝2，4∶2＝2，6∶3＝2，8∶4＝2…，16∶8＝2，工效是一定的，工作总量和工作时间的比值一定，所以乙车间生产的零件数与时间成正比例。 （2）乙生产8万个零件需要：8÷2＝4（个月） 甲生产8万个零件需要：8÷（2÷2）＝8（个月） 8－4＝4（个月） 答：如果生产8万个零件，那么乙车间比甲车间少用4个月。 【点睛】本题考查了比例的有关知识，解题的关键是从折线统计图中得到进一步解题的相关信息。 42．给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 【答案】（1）填表见详解；面积；反 （2）288块 （3）0.0288平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，成反比例。根据方砖面积＝边长×边长，房屋面积＝每块方砖的面积×所需方砖的数量，计算填表即可。 （2）房屋面积不变，根据房屋面积÷每块方砖的面积＝所需方砖的数量，代入数据计算即可。 （3）房屋面积不变，根据房屋面积÷所需方砖的数量＝每块方砖的面积，代入数据计算即可。 【详解】（1）（1）0.04×360＝0.36×40＝14.4（平方米） 因为每块方砖的面积×所需方砖的数量＝铺地面积（一定），铺地面积即这间房屋的面积，所以每块方砖的面积与所需方砖的数量成反比例。 0.3×0.3＝0.09（平方米）   14.4÷0.09＝160（块） 0.4×0.4＝0.16（平方米）   14.4÷0.16＝90（块） 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.09 0.16 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 160 90 40 … （2）14.4÷0.05＝288（块） 答：铺这间房屋的地面需288块方砖。 （3）14.4÷500＝0.0288（平方米） 答：这样的方砖每块面积是0.0288平方米。 43．如下图，平衡器右端第3个孔下面悬挂的砝码重30克，平衡器左端第2个孔下面应悬挂多少千克的砝码才能使平衡器保持平衡？ 【答案】45千克 【详解】30×3÷2 ＝90÷2 ＝45（千克） 答：下面应悬挂45千克的砝码才能使平衡器保持平衡。 44．订阅《数学报》的数量和总价的关系如下表： 数量／份 1 2 3 4 5 6 7 … 总价／元 40 80 120 240 280 … （1）将表格补充完整，根据表中的数据，在下图中描出《数学报》总价和数量所对应的点，再按顺序连接起来。 （2）题目中（    ）没变，总价和数量成（    ）比例。 （3）从图中可以推算出，如果订阅9份《数学报》，需要（    ）元。 【答案】（1）见详解； （2）单价；正； （3）360 【分析】（1）由统计表可知：《数学报》的单价是40元，根据单价×数量＝总价，分别求出4份、5份的总价，填表即可，根据统计表中数据描点连线即可； （2）由统计表可知：总价÷数量＝单价（40元）不变，据此解答。 （3）根据总价＝单价×数量直接计算即可。 【详解】（1）4×40＝160（元） 5×40＝200（元） 填表画图如下： 数量／份 1 2 3 4 5 6 7 … 总价／元 40 80 120 160 200 240 280 … （2）题目中单价没变，总价和数量成正比例。 （3）40×9＝360（元） 【点睛】本题主要考查正比例的意义与辨识及统计图表的综合应用。 45．甲、乙两个长方形容器的底面都是正方形，且底面周长之比是2∶3。将甲容器盛满水，再将水全部倒入乙容器，乙容器的水面高16厘米，则甲容器的高是多少厘米？ 【答案】36厘米 【分析】由底面周长之比是2∶3；可知底面面积之比是4∶9；因为水的体积是一定的，所以底面积与高成反比例关系，设甲容器的高是x厘米，那么4x＝9×16；由此进行解答 【详解】解：设甲容器的高是x厘米，由题意及分析可得： 4x＝9×16 解得x＝36 答：甲容器的高是36厘米。 【点睛】解答本题的关键是理解正方形周长之比各自的平方等于面积之比。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 正比例与反比例 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：认识变化的量： 根据变量图像解答问题步骤：1、要弄清图像横轴、纵轴分别表示哪个两；2、然后弄清横轴、纵轴每个单位长度表示多少；3、最后根据图像回答相关问题。 知识点02：判断两个量是否成为正比例的方法： 1、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：。 2、判断两个量是否成为正比例的方法： （1） 判断两个量是不是相关联的变量； （2） 判断两个量中相对应的两个数的比值是否一定； （3） 判定两个量是否成为正比例 （4） 画图象：正比例的图像是一条直线。 知识点03：判断两个量是否成为反比例的方法： 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。 判断两个量是否成为反比例的步骤： （1） 判断这两个量是不是相关联的变量； （2） 运用数量关系进行判断；看这两个量中相对应的两个数的积是否一定； （3） 判断出这两个量是否成为反比例。 题型1：认识变化的量： 【例1】学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表： 竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8 竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2 根据实验记录，科学小组发现了竿影的长与竹竿的高的变化关系。 科学小组用这种方法测量校园里一座雕塑的高度。某天下午4时，他们在这座雕塑旁测得竿影的长为1.8m，竹竿的高为1.2m；同时，测得这座雕塑的影子长度是3.9m。请你根据测量的过程，算出这座雕塑的高度是( )m。 【例2】你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【例3】声音在空气中传播的速度与空气的温度有关，从0℃开始，气温每升高5℃，声音在空气中传播的速度就增加约3米/秒。气温为20℃时声音在空气中传播的速度约为342米/秒，用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，请用式子表示出这两个量之间的关系。 【例4】一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 题型2：正比例： 【例5】一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【例6】圆的半径与它的面积变化情况如表。 半径 1 2 3 4 5 面积 3.14 12.56 28.26 （    ） （    ） （1）把上表填完整。 （2）上表中哪些量在发生变化？ （3）圆的面积是如何随着半径的变化而变化的？ 【例7】根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积/平方厘米 6 12 18 24 30 平行四边形的高/厘米 1 2 3 4 5 题型3：反比例： 【例8】马和长颈鹿的奔跑情况如下图。    （1）马奔跑的路程和时间是否成正比例？长颈鹿呢？ （2）马和长颈鹿18分各跑多少千米？ （3）从图象上看，马跑得快还是长颈鹿跑得快？ 【例9】如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【例10】笑笑在假期里看一本书，计划每天看20页，15天可以读完，实际提前3天看完，实际每天看多少页？（用比例知识解答） 一、填空题 1．（c≠0），当c一定时，a和b成( )比例；当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例。 2．在比例中，两个外项一定时，两个内项成( )比例。 3．“一台拖拉机2.5小时耕地2.15公顷，照这样计算要耕地6.02公顷，需要多少小时？”此题中( )这个数量是一定的，( )和( )成( )比例。 4．当速度一定时，路程与时间成( )比例；当时间一定时，速度与路程成( )比例。 5．判断下面各题中的两种量是否成比例，如果成比例，成什么比例。 (1)长方体的体积一定，它的底面积和高。( ) (2)三角形的面积一定，它的底和高。( ) (3)铺地的面积一定，所用方砖的边长和所需块数。( ) (4)圆的周长和它的半径。( ) (5)圆的面积和它的半径。( ) (6)修一条公路，已修好的长度与未修好的长度。( ) 6．总人数一定，每行站的人数与站的行数成( )比例。 7．路程和时间是两种相关联的量，当它们的比值（速度）保持一定时，路程和时间是成( )比例的量，它们的关系是( )比例关系。 8．小芳买6本同样的练习本用去9元，小吴买同样的9本练习本用去13.5元。他们买练习本的本数比是( )，买练习本的总价比是( )。( )一定，( )和( )成( )比例。 9．甲、乙是两个相关联的量，当甲扩大到原来的8倍，乙也随着扩大到原来的8倍时，甲与乙成( )比例；当甲扩大到原来的8倍，乙却随着缩小到原来的时，甲与乙成( )比例。 10．如果y＝6x（x，y均不为0），那么x和y成（ ）比例关系；如果＝y（x≠0），那么x和y成（ ）比例关系。 11．如果，那么( )( )，和成( )比例。如果，那么和成( )比例。 12．甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 二、判断题 13．下午2时，太阳下竹竿的高和影长成反比例． ( ) 14．如果和均不为，那么和成正比例。( ) 15．工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例。( ) 16．零件总数一定，每小时加工的个数和加工时间成反比例。( ) 17．车轮的直径一定，所行路程与车轮转的周数成正比例。( ) 18．两种相关联的量，如果相对应的两个数一定，这两种量成正比例。( ) 19．任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。( ) 20．一个长方形的周长是36厘米，它的长和宽成反比例。( ) 21．圆柱的底面半径一定，它的体积和高成正比例( )。 22．甲和乙成反比例，乙和丙成反比例，所以甲和丙也成反比例。( ) 三、选择题 23．下列两种量成正比例的是（    ）。 A．铺地总面积一定，每块砖的面积和砖的块数 B．全班人数一定，每组人数和组数。 C．正方形边长和周长 D．圆的半径和面积 24．表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 25．壮壮做10道计算题，已做的题数和没有做的题数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 26．在同一幅地图中，图上距离和实际距离（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 27．甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11∶12，则甲、乙两名运动员所用的时间比是（    ）。 A．11∶12 B．11∶23 C．12∶11 D．23∶11 28．小李正在看一本故事书，已经看的页数和还没有看的页数，会是下面的（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 29．已知xy＝k＋，k一定时，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 30．表示x和y成反比例的式子是（    ）。 A．x＋y＝100 B．xy＝35 C．＝8 31．如果5x＝y，那么x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 32．下面每组的两个量中，成正比例关系的是（    ）。 A．长方形的面积一定，长和宽 B．一个人的年龄和头发长度 C．时间一定，路程和速度 D．男生人数一定，女生人数和全班人数 33．如果在支架右侧第3个孔挂4个同样大的正方体，那么支架左侧第2个孔应该挂（    ）个这样的正方体才保持平衡。 A．6 B．4 C．3 D．8 四、解答题 34．某天下午3∶00，一根旗杆和一棵大树的影长如图所示。已知旗杆高15米，这棵大树的高是多少米？ 35．下面的图像表示甲、乙两辆汽车行驶的路程和时间的关系。 （1）乙汽车的速度是多少千米/分？行驶12千米的路程，甲汽车比乙汽车大约少用多少分？ （2）根据图像判断，两车同时出发，8分后甲汽车比乙汽车多行（    ）千米。 36．网通公司为光明小区安装电话，如果每天安装25部，18天可以装完。如果想提前3天完成，平均每天要多装多少部？ 37．某工程队要用长8m的新水管替换长5m的旧水管，原来已铺的旧水管有124根，现在有75根新水管，够了吗？（用比例方法求解） 38．修一条公路，已修长度是未修长度的，已修的长度比未修的长度少800米，这条公路全长多少米？ 39．一辆汽车准备从甲地开往乙地。根据下表提供的信息，把表格填写完整。 时间/时 8 10 16 20 32 40 速度（千米/时） 100 80 （1）行驶的时间和速度成什么比例关系？说明理由。 （2）试着在方格纸上画图表示表中的数据。 （3）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格，估计这辆汽车的速度大约是多少？ 40．一台织布机织布的时间和织布的米数如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 织布的米数/米 15 30 45 60 75 90 105 120 135 … （1）上表中的两种量的变化有什么规律？ （2）上表中两种量成什么比例关系？ （3）如果织布总米数一定，那么时间和每小时织布的数量成什么比例关系？ 41．如图表示某工厂中甲、乙两个车间加工的零件数与时间的关系。 （1）乙车间生产的零件数与时间成正比例吗？为什么？ （2）如果生产8万个零件，那么乙车间比甲车间少用几个月？ 42．给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 43．如下图，平衡器右端第3个孔下面悬挂的砝码重30克，平衡器左端第2个孔下面应悬挂多少千克的砝码才能使平衡器保持平衡？ 44．订阅《数学报》的数量和总价的关系如下表： 数量／份 1 2 3 4 5 6 7 … 总价／元 40 80 120 240 280 … （1）将表格补充完整，根据表中的数据，在下图中描出《数学报》总价和数量所对应的点，再按顺序连接起来。 （2）题目中（    ）没变，总价和数量成（    ）比例。 （3）从图中可以推算出，如果订阅9份《数学报》，需要（    ）元。 45．甲、乙两个长方形容器的底面都是正方形，且底面周长之比是2∶3。将甲容器盛满水，再将水全部倒入乙容器，乙容器的水面高16厘米，则甲容器的高是多少厘米？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $