精品解析：江西上饶市余干县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025－2026学年度上学期期末质量检测 八年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 医学研究发现一种新病毒的直径约为毫米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A. 7或8 B. 6或10 C. 6或7 D. 7或10 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 6. 若关于x的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 8. 化简 ____________． 9. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为__________． 10. 如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为_________． 11. 若的展开式中不含项，则实数______． 12. 在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解分式方程：． 14. 如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 15. 化简求值：，其中． 16. 如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 17. 与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作格点，且与成轴对称． （2）在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 西藏日喀则地震期间，政府急需将一批医疗物资运往灾区，某车队打算用两种货车来运送这批医疗物资．已知种货车比种货车每辆多装40件医疗物资，且种货车装运1200件医疗物资所用的车辆数与种货车装运1000件医疗物资所用的车辆数相等． （1）求两种货车每辆可装多少件医疗物资； （2）现有、两种货车共10辆，要运送2200件医疗物资，求至少需要种货车多少辆． 20. 阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式 ，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解： 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义．根据定义，解答下列问题： （1）________； （2）计算； （3）求方程的解． 22. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． （1）已知，平分．求证：； （2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知是等边三角形，点，分别在直线，上． （1）如图1，当时，连接与交于点，则线段与的数量关系是______；的度数是______． （2）如图2，若“”不变，与的延长线交于点，那么（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图3，若，连接与边交于点，求证：点是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期期末质量检测 八年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 医学研究发现一种新病毒的直径约为毫米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握用科学记数法表示较小的数是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，其一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示较小的数的方法求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握同底数幂相乘和幂的乘方是解答本题的关键． 4. 已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A. 7或8 B. 6或10 C. 6或7 D. 7或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，可得： ，即分式的值不变． 故选：A． 6. 若关于x的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，分式方程有增根时，分母为零的值满足整式方程，代入求解． 【详解】解：∵原方程为， 两边同乘得：， 化简得：， ∵方程有增根， ∴，即， 代入整式方程：， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取公因式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 化简 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟记平方差公式是解题的关键，首先根据平方差公式计算，然后合并同类项即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为__________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为， 根据直角三角形两锐角之和为，得： ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 10. 如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 11. 若的展开式中不含项，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题，先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子，合并同类项，再根据展开式中不含一次项，可得该项系数为，进而解答即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________． 【答案】或或2 【解析】 【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可． 【详解】解：情形1：，则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 情形2：，则，，， ∵， ∴， ∴，解得； 情形3：，则，，， ∵， ∴； 故答案为：或或2． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程． （1）根据算术平方根、立方根，有理数的乘方进行计算即可求解； （2）同乘化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：． ， 同乘可得，， 解得， 经验证：时，原方程分母，是增根， ∴原方程无解． 14. 如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 15. 化简求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是对原式进行准确的化简． 先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后代值计算即可． 【详解】原式 ． 当时，原式． 16. 如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，可通过证明从而得到结论． 【详解】证明：连接， ， ． 在和中 ， ． ． 点在的角平分线上． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，，做题时，要根据情况作辅助线是必须的，也是解决本题的关键． 17. 与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作格点，且与成轴对称． （2）在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了作图--轴对称，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点． （1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可； （2）利用全等三角形的定义进行画图即可． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：如图所示为所求： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由得到，由即可证明； （2）先求出，得到，由，得到，则，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是等腰三角形， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 西藏日喀则地震期间，政府急需将一批医疗物资运往灾区，某车队打算用两种货车来运送这批医疗物资．已知种货车比种货车每辆多装40件医疗物资，且种货车装运1200件医疗物资所用的车辆数与种货车装运1000件医疗物资所用的车辆数相等． （1）求两种货车每辆可装多少件医疗物资； （2）现有、两种货车共10辆，要运送2200件医疗物资，求至少需要种货车多少辆． 【答案】（1）种货车每辆可装240件医疗物资，种货车每辆可装200件医疗物资 （2）5辆 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式解决实际问题． （1）设种货车每辆可装件医疗物资，则种货车每辆可装件医疗物资，根据题意列出分式方程求解即可． （2）设需要种货车辆，则需要种货车辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设种货车每辆可装件医疗物资，则种货车每辆可装件医疗物资． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：种货车每辆可装240件医疗物资，种货车每辆可装200件医疗物资． 【小问2详解】 解：设需要种货车辆，则需要种货车辆． 由题意，得． 解得． 答：至少需要种货车5辆． 20. 阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式 ，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解： 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）10 （2）34 【解析】 【分析】（1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义．根据定义，解答下列问题： （1）________； （2）计算； （3）求方程的解． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：3； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 22. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． （1）已知，平分．求证：； （2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据等边对等角，三角形外角性质以及角平分线定义可得到，根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先判定出是等边三角形，过点作于，根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 ， 是等边三角形， 过点作于， 则， 地面，点到地面的距离为， 点到地面的距离为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知是等边三角形，点，分别在直线，上． （1）如图1，当时，连接与交于点，则线段与的数量关系是______；的度数是______． （2）如图2，若“”不变，与的延长线交于点，那么（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图3，若，连接与边交于点，求证：点是的中点． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABD≌△BCE（SAS）即可解决问题． （2）结论：“AD=BE，∠APE=60°”仍然成立．利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABD≌△BCE（SAS）即可解决问题． （3）如图3，过点E作交AB边于点F．证明△MEF≌△MDB（AAS）即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°， ∴ 又 BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠BAD=∠CBE， 又 ∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°， ∴∠APE=∠PAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=60°． 故答案为：AD=BE；∠APE=60°． （2）结论：“AD=BE，∠APE=60°”仍然成立． 理由如下：如图2， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠BCE=120°， 又 BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠BAD=∠CBE， 又 ， ∴ （3）证明：∵△ABC是等边三角形， 如图3，过点E作交AB边于点F． ∴△AEF是等边三角形， ∴EF=AE， ∠EFM=∠DBM， ∠EMF=∠DMB， ∴△MEF≌△MDB（AAS）， ∴EM=DM，即点M是DE的中点． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $