精品解析：山西运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试高三数学试题

运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试 高三数学试题 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】由已知得，或， 所以， 所以． 故选：D 2. 已知为等差数列，为等比数列，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义求出公差和公比，进而得到对应的通项公式，将数值代入后作差即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以， 所以，所以. 故选：B. 3. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，且，进而得，再计算体积即可. 【详解】因为是圆的直径，点是弧的中点， 所以，且， 所以， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以三棱锥的体积为． 故选：C 4. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，得到，代入求解. 【详解】设，则， 所以， 即， 即， 解得，即， 所以， 故选：A 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（ ） A. 480 B. 384 C. 360 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定第一名的班级，再确定最后一名的班级，再确定没有要求的班级名次即可. 【详解】分步乘法计数原理，分三步完成． 第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有种可能； 乙班的名次只可能是第2，3，4，5名，有种可能； 剩余4个班的名次有种可能． 所以6个班的名次排列有种不同情况． 故选：B 6. 以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设函数，则函数在上单调递减， 因为，所以， 所以，即，即； 设函数，则函数在上单调递减， 因为，所以，即， 所以. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：设、、，利用平面向量的坐标运算得出，同理得出，由此得出，令，则，即可得出的取值范围； 解法二：利用二级结论得出，推导出，，由此得出，结合可得出的取值范围. 【详解】解法一：设、、，易知、， 由可得， 所以，整理得， 又因为，所以，则， 所以， 由，可得， 同理，所以， 所以． 因为，令，则，， 所以． 解法二：因为，所以． 又（二级结论），其中，故， 所以，故，同理， 所以． 由，则，可得． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期是，则（ ） A. B. 在上的最大值是 C. 是的一条对称轴 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的最值可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 因为该函数的最小正周期为，故，所以，A正确； 对于B选项，当时，， 当时，取得最大值，B错误； 对于C选项，当时，，此时函数取得最大值， 所以是函数的对称轴，C正确； 当时，，在上单调递增， 故函数在上单调递增，D对. 故选：ACD. 10. 如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取CN的中点H，连接MH，易得，，从而，再逐项判断. 【详解】如图， 取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即． 对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 由，可得， 即， 即，所以， 当且仅当，即时， 取得最小值为，故C选项错误，D选项正确． 故选:ABD 11. 已知函数的定义域为，定义集合，则（ ） A. B. 若，则存在最小值 C. 若，则是增函数 D. 若，则是偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可判断A；等价于，从而可判断B；根据增函数的定义可判断C；举反例可判断D. 【详解】，所以，故A选项正确； 若，则，故存在最小值，故B选项正确； ，且，可知，即，故是增函数，故C选项正确； 对于函数，作出函数的图象，如图： ，令，由图知解集为，即， 而，即不是偶函数，故D选项错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量，且，则__________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性有，即可求. 【详解】因为，即，且， 所以， 则. 故答案为： 13. 已知函数，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将和分别代入，然后对进行化简求值. 【详解】， 故． 故答案为： 14. 已知数列的前n项和为，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设结合与的关系化简可得，进而得到数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可. 【详解】当时，，变形得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）设点为边的中点，，的面积为，求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简可得，再结合，即可求得，从而可求解； （2）由题可得，两边同时平方后化简可得，再结合，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 即. 因为，所以， 所以，则， 又因为，则， 所以，解得. 【小问2详解】 由题得， 所以， 所以. 又因为，则① 由，得，② 由①②得. 16. 如图，三棱锥中，平面，为以B为顶角的等腰三角形，M为的中点，N为的中点，． （1）证明：点M为三棱锥的外接球球心； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及线面垂直的性质确定、均为直角三角形，即可证； （2）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，所以． 因为为以B为顶角的等腰三角形，所以， 所以，所以，又M为PC的中点， 所以在中，，同理，在中， 所以，则点M为三棱锥的外接球球心； 【小问2详解】 如图，以A为原点，过点A且垂直于平面PAC的直线为x轴，AC，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以． 设平面PBC的一个法向量为，则， 取，解得，则， 所以， 故AN与平面PBC所成角的正弦值为. 17. 在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28． （1）求样本的第40百分位数，平均数和方差； （2）若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率； （3）该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 【答案】（1）24，24.5，3.5 （2） （3）B批次，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据百分位数，平均数和方差的定义求解即可； （2）先得到从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，可估计从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，进而求解即可； （3）求出平均值和方差降低的百分比，即可进行选择. 【小问1详解】 把样本数据按从小到大的顺序排列：22，23，23，24，24，26，26，28， 因为，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24． 样本的平均数为， 方差为． 【小问2详解】 样本数据中超过24的有3个，故从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为， 用样本数据估计总体数据，所以从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为， 故所求概率为． 【小问3详解】 虽然B批次产品的平均值比A批次降低了， 但B批次产品的方差比A批次降低了，说明B批次电池的质量更好， 所以应选择B批次的电池． 18. 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程设出双曲线系方程，代入点坐标求解即可. （2）（i）设出直线方程与双曲线联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入斜率和化简即可. （ii）结合三点共线用表示出，结合直线斜率、及等差数列的性质证明即可. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为， 所以可设双曲线的方程为． 由点在双曲线上，所以，即， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 证明：（i）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个公共点，不满足条件， 故设：，，. 直线过点，所以． 联立，整理得， 因为直线与双曲线有两个交点，所以，且 ， 所以，， 所以 ． （ii）设，， ，，三点共线，所以， ，，三点共线，所以． 由（i）可知， 即， 所以，即，，三点纵坐标成等差数列． 19. 已知函数． （1）若在区间上单调，求实数a的取值范围； （2）设，证明： （i）； （ii）． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论，结合导数研究在区间上的单调性，从而确定参数范围； （2）（i）由已知及（1）得时，从而得到，再应用累加法证明结论；（ii）由（1）知时，进而有，结合（i）的结论得，即可证. 【小问1详解】 令是的导函数，是的导函数， 所以，且， 当时，时在上单调递减，故， 在区间上单调递减，符合题意； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 时，在上单调递减， 又，则存在，使得， 时在上单调递增，不符合题意； 当时，时在上单调递增，， 在上单调递增，符合题意． 综上，实数a的取值范围是； 【小问2详解】 （i）若，则，又，故． 由（1）知，时在上单调递增，故， 即，变形得， 故，则， 又，故，得证； （ii）由（1）知，时在上单调递减，故， 即，变形得， 由（i）得，故， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试 高三数学试题 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，为等比数列，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 3. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（ ） A. 480 B. 384 C. 360 D. 288 6. 以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期是，则（ ） A. B. 在上的最大值是 C. 是的一条对称轴 D. 在上单调递增 10. 如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，定义集合，则（ ） A. B. 若，则存在最小值 C. 若，则是增函数 D. 若，则是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量，且，则__________． 13. 已知函数，则__________． 14. 已知数列的前n项和为，若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）设点为边的中点，，的面积为，求，． 16. 如图，三棱锥中，平面，为以B为顶角的等腰三角形，M为的中点，N为的中点，． （1）证明：点M为三棱锥的外接球球心； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28． （1）求样本的第40百分位数，平均数和方差； （2）若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率； （3）该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 18. 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列． 19. 已知函数． （1）若在区间上单调，求实数a的取值范围； （2）设，证明： （i）； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $