2.5.1向量的数量积（教学课件）数学北师大版必修第二册

§5从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 第二章 平面向量及其应用 学 习 目 标 1 2 3 了解平面向量夹角的概念。（重点） 平面向量数量积的运算律及常用的公式。（重点） 理解投影向量、投影数量的几何意义。（难点） 如图，如果力的方向与物体运动的方向成角，我们可以将力进 行分解；与位移方向平行的分力满足，物体在方向 上产生了位移，因而对物体做的功为. 与位移方向垂直的分力，由于没有使物体在该分力的方向上产生 位移，因而对物体不做功. 情景导入 由此可知，力对物体做的功为. 当时，，即力做正功； 当时，，即力不做功； 当时，，即力做负功. 力对物体所做的功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定，功可以看做力和位移这两个向量的某种运算的结果. 请你类比力的做功，来定义向量的数量积. 情景导入 数量 向量 读教材 阅读课本P107-P109，5分钟后完成下列问题： 1.如何表示两向量的夹角？其范围是什么？ 2.什么是向量的数量积？向量数量积的运算结果还是向量吗？3.什么是投影向量和投影数量？ 4.向量数量积有哪些运算性质？ 5.向量数量积有什么性质？可以用数量积求向量的模长吗？ 单击此处添加备注 5 1.两向量的夹角： 已知两个非零向量和，作，， 向量与的夹角 记为 或 ()， 探索新知 一、向量数量积的定义 （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”. （2）数量积的结果为数量，不再是向量. （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角 决定： 2.向量数量积的定义： 称为与的数量积(或内积)，记作， 即. 规定零向量与任一向量的数量积为0. 探索新知 一、向量数量积的定义 当时，； 当时，； 当时，； 当时，; 当时，. 典例讲解 例1 已知正三角形 的边长为1，求： （1）； （2） ． 找准向量的夹角，根据数量积的定义计算. 解: （1）与的夹角为 ， ． （2）与的夹角为 ， ． A C B 分析 典例讲解 方法总结 用定义法求平面向量的数量积，若已知向量的模及其夹角，则直接利用 公式<m></m> 求解.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向 量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要先通过平移使得两向量 符合以上条件． 设正三角形的边长为，，， ， 求 ． 解： ，且与,与,与的夹角均为 ， ． 提分笔记 思考： 向量的加法、减法、数乘运算都有对应的几何意义，那么向量的数量积是否也有几何意义呢？ 探索新知 1，投影向量与投影数量： 如图，已知两个非零向量和，作，， 过点向直线作垂线，垂足为， 得到在上的投影，称为投影向量， 称为投影向量的数量，也称在方向上的投影数量。 即向量在向量方向上的投影数量为，可以表示为， 向量在向量方向上的投影数量为，可以表示为. 探索新知 二、投影向量与投影数量 2，向量数量积的几何意义： 数量积的几何意义为 的长度与在方向上的投影数量的乘积， 或的长度与在方向上的投影数量的乘积． 探索新知 二、投影向量与投影数量 解：(1)根据题意得， ， (2)如图，作，， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， 所以所求投影数量为. 例2 如图，已知向量与，其中，且与的夹角， (1)求； (2)求向量在方向上的投影数量，并画图解释. 典例讲解 解：根据题意得+在方向上的投影数量为 . 例3 已知向量，其中，且与的夹角，与 的夹角，求+在方向上的投影数量. 典例讲解 典例讲解 方法总结 关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项 （1）向量</m>在<m></m>所在直线上的投影是一个向量，向量</m>在<m><m></m>所在直 线上的投影向量的模是一个实数； （2）向量<m></m>在向量<m><m></m>上的投影向量的模是<m></m>，<m><m><m><m</m> , 向量<m><m><m></m></m>在向量</m>上的投影向量的模是<m></m>，<m><m><m></m>， 二者不能混为一谈. 提分笔记 典例讲解 如图，已知向量与，其中，，且与的夹角 . （1）求 ； （2）画图说明在 上的投影向量； （3）求向量在 上的投影数量. 解: （1） . （2）如图所示，作，，过点作直线 的垂线，垂足为，即在 上的投影向量. （3）因为，所以向量 在 上的投影数量为 . 思考： 我们知道向量的线性运算可以使用我们之前学过的所有运算律，那么向量的数量积运算是否也能使用以前学的运算律呢？ 探索新知 三、数量积的运算性质 1.数量积的运算律：对任意向量和实数 交换律： 与数乘的结合律： 关于加法的分配律： 知识拓展：多项式的乘法公式 探索新知 三、数量积的运算性质 （1） . （2） 探索新知 三、数量积的运算性质 思考交流：结合图2-52，并根据十(即)在方向上的投影数量等于,在方向上的投影数量的和，即||=|1|十||，给出关于加法的分配律的几何证明，并思考向量的数量积满足结合律 吗? 典例讲解 例4 （1）已知向量与满足，，且向量与的夹角为 , 求 ． （2）在中，已知，，，求 ． 解： （1）因为，，且向量与的夹角为 ， ∴ ， ∴ ． 典例讲解 解：（2）由于 ， 则 ， 又，∴ ， 又，∴ ， 即 ． （2）在中，已知，，，求 ． 先由向量的线性运算求得 ，再结合向量数量积运算即可得解． 分析 2.数量积的性质： ①若是单位向量，则； ② ； ③=； ④； ⑤对任意两个向量有，当且仅当时等号成立. 探索新知 三、数量积的运算性质 (此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化) 判断两向量垂直的充要条件。 向量的夹角公式。 典例讲解 例5 已知，向量与的夹角为 ． 求：（1）， ; （2） . 解：（1）由题意知， ． ∵， ∴ ． 同理，∵，∴ . （2） ． 分析 提分笔记 典例讲解 方法总结 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方问题，与向量数量积联系， 并灵活应用<m></m>，最后不要忘记开方; <m></m>或<m></m>，此性质可用来求向量的模，可以实 现实数运算与向量运算的相互转化． 典例讲解 例6 已知非零向量，满足与互相垂直，与 互相垂直，求与 的夹角． 由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出与的 关系，再求与 的夹角． 解：由已知条件得 即 由得 ， ，代入①得， . 设与的夹角为 ，则 ．， ． 分析 典例讲解 方法总结 （1）求向量<m></m>与</m>的夹角的思路： ①求向量夹角的关键是计算<m></m>及<m></m>，在此基础上结合数量积的定 义或性质计算<m></m>，最后借助<m></m>，求出<m></m> 的值； ②在个别含有<m></m>，<m></m>与</m>的等量关系式中，常利用消元思想计算 <m></m> 的值. （2）与垂直有关的问题常应用性质<m></m>解答． 提分笔记 典例讲解 1.已知向量<m>，满足，， . （1）求<m> 的值； （2）求| 的值． [解析] （1）由题意得，即 , 又因为，，所以，解得 ． （2）因为， 所以 ． 又因为，所以 ． 典例讲解 2. 已知向量与的夹角为 ，且， .若 ，且，则实数 的值为( ). D A. B.13 C.6 D. 解: 与的夹角为 ，且， ， ． ， ， 解得 .故选D． 典例讲解 例7 如图，在中，，， ， ， ． （1）求 的长； （2）求 的值． （1）将用和 表示，利用平面向量数量积的运算律和定义 计算出的值，即可得出的长； （2）将用和 表示，然后利用平面向量数量积的运算律和 定义计算出 的值． 分析 典例讲解 解: （1），， . ，， ， ． , 故 的长为 . （2）， ， ， ． 典例讲解 在中，，，为 的中点，， ． （1）若，求 的值； （2）若，求 的值． 解: （1）因为是的中点，所以.因为， ， 所以， .所以 ． 变 式 训 练 典例讲解 解：（2）因为 ， ， 所以 ， 解得 ． （2）若，求 的值． 变 式 训 练 在中，，，为 的中点，， ． $