专题2.3.1 空间向量的分解与坐标表示（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 教学目标 1.了解共面向量的概念，理解空间向量基本定理及其核心意义，能判断一组空间向量能否作为基底。 2.掌握空间向量在选定基底下的分解方法，会求空间向量在基底及单位正交基底下的坐标。 3.能结合长方体、平行六面体等几何体，完成简单空间向量的分解与坐标表示。 教学重难点 1.重点： （1）理解空间向量基本定理的内涵与意义，掌握基底的判定条件。 （2）掌握空间向量的分解方法，能熟练求空间向量在基底下的坐标。 （3）理解空间向量坐标表示的本质，建立空间向量与坐标的对应关系。 2.难点： （1）空间向量基本定理的逻辑推导过程，尤其是对 “三个不共面向量可以表示任意空间向量” 的证明和理解。 （2）结合复杂空间几何体（非长方体 / 正方体），选择合适的基底对向量进行分解。 （3 ）理解空间向量分解与坐标表示的内在联系，能灵活将向量的几何分解转化为坐标运算。 知识点01 共面向量 1.共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。 2.共面向量定理：如果两个向量e1 ,e2不共线，那么向量p与向量e1 ,e2共面的充要条件是存在有序实数组 (x,y)，使得p=xe1 +ye2 这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1 ,e2线性表示。 3.特殊共面情况：在三个向量a,b,c中，若某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面。 【即学即练】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是 ． 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，结合已知条件构造方程求解． 【详解】若A，B，C，M四点共面，且A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点， 则向量表达式必须满足系数之和为1，即， 解得． 故答案为：． 知识点02 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理： 我们把e1,e2,e3称为空间的一组基底，e1,e2,e3叫作基向量。(x,y,z)称为向量 p=xe1+ye2+ze3在基e1,e2,e3下的坐标。 【即学即练】（多选）（24-25高二上·贵州毕节·期末）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】通过假设向量线性组合为零向量求解系数，或观察向量间的线性表示关系，判断各组向量是否线性无关，进而确定是否为基底. 【详解】选项A： 设，由线性无关， 得，故该组向量线性无关，是基底. 选项B： 设， 整理为. 由线性无关，得， 解得，故该组向量线性无关，是基底. 选项C： 设， 整理为. 取，满足上式且系数不全为零，故该组向量线性相关，不是基底. 选项D： 因，即该向量可由组内另外两个向量线性表示， 故该组向量线性相关，不是基底. 故选：AB 知识点03 空间向量的直角坐标表示 1.标准正交基底的定义：空间中任意三个两两垂直、长度均为 1 的向量i,j,k不共面，可将它们组成空间的一组基底，我们把这组基底称为标准正交基底。 2. 向量在标准正交基下的分解与坐标： 空间中每个向量 p 都可以分解成基向量的实数倍之和：p=xi+yj+zk系数 x,y,z 按顺序排成的实数组 (x,y,z)，称为向量 p 的坐标，记为 p=(x,y,z)。 3. 空间向量坐标的几何意义： 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标。 【即学即练】（22-23高二·全国·课堂例题）在长方体中，已知，，．    (1)建立适当的空间直角坐标系，并求点的坐标； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】用空间向量求点的坐标、空间向量的坐标表示、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据坐标的运算可得； （2）先求出点的坐标和点的坐标根据向量的坐标运算可得. 【详解】（1）如图，以点A为原点，以，，为标准正交基方向， 均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，    则，，． 又， 所以点的坐标为． （2）因为，所以点的坐标为． 又，所以点的坐标为． 因此． 题型01 判断空间向量共面 【典例1】（25-26高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】空间向量共面的充要条件：若三个向量共面，则存在实数，使得（或其中一个向量可由另外两个线性表示），已知不共面，逐一分析选项. 【详解】选项A：，存在线性组合，共面； 选项B：，存在线性组合，共面； 选项C：假设，则， 由不共面得：，无解，故不存在线性组合，不共面； 选项D：，存在线性组合，共面. 故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·河北邢台·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即可． 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， ，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，因为，所以，，共面，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高三上·江苏盐城·月考）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判定空间向量共面、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 题型02 根据空间向量共面求参数 【典例2】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 【变式2-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量共面求参数 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 题型03 空间向量基底概念及辨析 【典例3】（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间的基底概念和空间向量共面定理即可逐一判断各选项. 【详解】在平行六面体中，为不共面向量. A，因中的可以表示为的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意； B，对于，因，即为共面向量，不合题意； C，对于，因，即为共面向量，不合题意； D，假设为共面向量， 则存在唯一的，满足， 则，该方程显然无解，故假设不成立，即可以作为空间中的一组基，符合题意. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·安徽池州·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 【变式3-2】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 题型04 用空间基底表示向量 【典例4】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】由可得，， 故， ， 又，， 故 ， 故选：C 【变式4-1】（25-26高二上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 . 故选：B 【变式4-2】（25-26高二上·陕西安康·期末）在四面体中，点为底面上一点，，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量运算法则将转化为，根据空间向量基本定理求. 【详解】因为点为底面上一点，所以可设， 所以， 又， 所以，，， 所以，，， 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 题型05 空间向量基本定理及其应用 【典例5】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 【变式5-2】（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 .    【答案】 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·四川成都·月考）正四面体中棱长为2，为的中点，则 ． 【答案】1 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量、求空间向量的数量积 【分析】利用空间向量基本定理得到和，根据数量积运算法则进行求解， 【详解】为的中点，故， 又， 所以 . 故答案为：1. 题型06 空间向量的坐标表示 【典例6】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形中，，，，点是的中点，且平面平面．若以为原点建立空间直角坐标系，点的坐标是，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标表示、求空间图形上的点的坐标 【分析】借助面面垂直建立坐标系，过点作交于点，求出后可确定点的坐标，即可求解向量的坐标． 【详解】如图，易知点在平面上， 已知点是坐标原点，由平面平面知平面为坐标平面， 平面为坐标平面，则点的横坐标为0． 在平面内，过点作的垂线即为轴，过点作交于点， 在中，因为，，，所以，． 在中，， 所以．所以点的坐标为， 所以． 故选：B 【变式6-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】用、表示，根据系数可得坐标. 【详解】由题意可知，，则， 则用基底表示向量的坐标是. 故选：D 【变式6-2】（25-26高二上·四川成都·月考）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】首先求出点的坐标，再求出向量的坐标. 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D 【变式6-3】（22-23高二下·陕西宝鸡·开学考试）如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间向量求点的坐标、空间向量的坐标表示、空间向量基本定理及其应用 【分析】过点作轴交于点，根据已知条件算出三角形的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出的长度即可解决问题. 【详解】过点作交于点，如图所示： 因为，， 所以在中有： 得、， 在中， 有， 所以， 所以点的坐标为， 又为原点，所以， 故选：B. 题型07 用空间向量求点的坐标 【典例7】（22-23高二上·黑龙江牡丹江·月考）在中，，，. (1)求； (2)若点在上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、用空间向量求点的坐标 【分析】（1）由向量的坐标运算及数量积运算求解即可； （2）由向量的线性运算和坐标运算求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 则 所以． （2）解：由（1）知，，因为，所以点的坐标为． 设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 【变式7-1】 【变式7-2】（21-22高二·湖南·课后作业）已知长方体的四个顶点分别为，，，，求其余各顶点的坐标以及对角线的长． 【答案】，，，，面对角线长为，体对角线长为. 【知识点】空间向量模长的坐标表示、用空间向量求点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】根据向量的相等关系，求出各顶点坐标，根据模长公式求出面对角线与体对角线的长. 【详解】由题意得：设，则由得：，即，所以，又由，求得：，，，其中，故，所以面对角线长度为，，所以 【变式7-3】（25-26高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【知识点】用空间向量求点的坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 题型08 求空间向量的投影 【典例8】（23-24高二上·湖北·月考）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量、求空间向量的数量积 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高二上·黑龙江绥化·月考）已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标， 轴上坐标不变，轴上坐标变为0． 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是： 故选：C. 【变式8-2】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间向量求点的坐标、空间向量的坐标表示、空间中点的位置及坐标特征 【分析】由空间点在坐标平面上投影的性质确定向量在平面上的投影向量. 【详解】若起点为原点，则终点为，该点在平面上投影坐标为， 所以向量在平面上的投影向量是. 故选：D 【变式8-3】（23-24高二上·四川成都·期末）已知向量，则 在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】根据条件，利用投影向量的定义即可求出结果. 【详解】因为，得到， 所以在上的投影向量为， 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【详解】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A 2．（20-21高二上·山东济南·月考）已知向量，则向量在向量 上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为向量， 所以向量在向量 上的投影向量为 ， 故选：B 3．（25-26高二上·贵州黔南·月考）如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 4．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 5．（25-26高二上·河南商丘·月考）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】设，根据列出方程组即可求解． 【详解】设， 则 ， 又，则，解得，，， 所以． 故选：A． 6．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知空间向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示、用空间基底表示向量 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：D. 7.（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 所以 . 故选：B. 8．（2024·上海奉贤·一模）在四棱锥中，若，则实数组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量的坐标表示 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断B、C、D． 【详解】 对于选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故A正确； 对于选项B，若，则，故B错误； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：A． 二、多选题 9．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 10．（25-26高二上·河南新乡·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】利用向量共面的判定定理逐项判定即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面. 选项A：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合. 选项B：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.B不符合. 选项C：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.C不符合. 选项D：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面. D符合. 故选：AD. 11．（25-26高二上·河北·月考）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量、空间向量共面求参数 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理，结合空间线性运算及共面向量定理计算得解. 【详解】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量 . 【答案】 【知识点】求空间两点的中点坐标、空间向量的坐标表示 【分析】由中点公式求得的坐标，再由向量的点坐标表示写出. 【详解】由题意，而，则. 故答案为： 13．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用 【分析】由题意可知存在、，使得，化简得出，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、、四点共面，根据共面向量定理的推论， 对于空间中任意一点，存在实数使得，且满足， 将题设条件与该定理对比，可知系数之和必须为，即， 解得， 故答案为：. 14．（24-25高二上·福建福州·月考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标表示、用空间基底表示向量 【分析】根据坐标与基底表示向量的关系，即可求解. 【详解】向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 即，解得：， 即， 所以以为基底时的坐标为. 故答案为： 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值．    (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算与空间向量基本定理算出答案即可． 【详解】（1）因为， 又， 所以，，． （2）因为 ， 又， 所以，，． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】空间向量的坐标表示、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 17．（25-26高二·全国·假期作业）如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】判定空间向量共面、空间向量加减运算的几何表示、证明面面平行 【分析】（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面. （2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴E，F，G，H共面 （2）证明：∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． ∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． 又，平面ABCD. 所以，平面ABCD∥平面EFGH． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 教学目标 1.了解共面向量的概念，理解空间向量基本定理及其核心意义，能判断一组空间向量能否作为基底。 2.掌握空间向量在选定基底下的分解方法，会求空间向量在基底及单位正交基底下的坐标。 3.能结合长方体、平行六面体等几何体，完成简单空间向量的分解与坐标表示。 教学重难点 1.重点： （1）理解空间向量基本定理的内涵与意义，掌握基底的判定条件。 （2）掌握空间向量的分解方法，能熟练求空间向量在基底下的坐标。 （3）理解空间向量坐标表示的本质，建立空间向量与坐标的对应关系。 2.难点： （1）空间向量基本定理的逻辑推导过程，尤其是对 “三个不共面向量可以表示任意空间向量” 的证明和理解。 （2）结合复杂空间几何体（非长方体 / 正方体），选择合适的基底对向量进行分解。 （3 ）理解空间向量分解与坐标表示的内在联系，能灵活将向量的几何分解转化为坐标运算。 知识点01 共面向量 1.共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。 2.共面向量定理：如果两个向量e1 ,e2不共线，那么向量p与向量e1 ,e2共面的充要条件是存在有序实数组 (x,y)，使得p=xe1 +ye2 这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1 ,e2线性表示。 3.特殊共面情况：在三个向量a,b,c中，若某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面。 【即学即练】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是 ． 知识点02 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理： 我们把e1,e2,e3称为空间的一组基底，e1,e2,e3叫作基向量。(x,y,z)称为向量 p=xe1+ye2+ze3在基e1,e2,e3下的坐标。 【即学即练】（多选）（24-25高二上·贵州毕节·期末）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 空间向量的直角坐标表示 1.标准正交基底的定义：空间中任意三个两两垂直、长度均为 1 的向量i,j,k不共面，可将它们组成空间的一组基底，我们把这组基底称为标准正交基底。 2. 向量在标准正交基下的分解与坐标： 空间中每个向量 p 都可以分解成基向量的实数倍之和：p=xi+yj+zk系数 x,y,z 按顺序排成的实数组 (x,y,z)，称为向量 p 的坐标，记为 p=(x,y,z)。 3. 空间向量坐标的几何意义： 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标。 【即学即练】（22-23高二·全国·课堂例题）在长方体中，已知，，．    (1)建立适当的空间直角坐标系，并求点的坐标； (2)求的坐标． 题型01 判断空间向量共面 【典例1】（25-26高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（25-26高二上·河北邢台·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（25-26高三上·江苏盐城·月考）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据空间向量共面求参数 【典例2】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 题型03 空间向量基底概念及辨析 【典例3】（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·安徽池州·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 题型04 用空间基底表示向量 【典例4】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·陕西安康·期末）在四面体中，点为底面上一点，，则（    ） A． B． C．4 D．6 【变式4-3】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 题型05 空间向量基本定理及其应用 【典例5】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 .    【变式5-3】（25-26高二上·四川成都·月考）正四面体中棱长为2，为的中点，则 ． 题型06 空间向量的坐标表示 【典例6】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形中，，，，点是的中点，且平面平面．若以为原点建立空间直角坐标系，点的坐标是，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·四川成都·月考）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23高二下·陕西宝鸡·开学考试）如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型07 用空间向量求点的坐标 【典例7】（22-23高二上·黑龙江牡丹江·月考）在中，，，. (1)求； (2)若点在上，且，求点的坐标. 【变式7-1】 【变式7-2】（21-22高二·湖南·课后作业）已知长方体的四个顶点分别为，，，，求其余各顶点的坐标以及对角线的长． 【变式7-3】（25-26高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 题型08 求空间向量的投影 【典例8】（23-24高二上·湖北·月考）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·黑龙江绥化·月考）已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·四川成都·期末）已知向量，则 在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·山东济南·月考）已知向量，则向量在向量 上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州黔南·月考）如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南商丘·月考）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知空间向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（2024·上海奉贤·一模）在四棱锥中，若，则实数组可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河南新乡·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·河北·月考）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量 . 13．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为 . 14．（24-25高二上·福建福州·月考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 . 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值．    (1)； (2)． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 17．（25-26高二·全国·假期作业）如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $