2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 [课时跟踪检测] 1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一组基的一组向量是 (　　) A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 解析:选C　因为a,b,c不共面,故a,2b,b-c也不共面,能构成空间的一组基.其他选项皆共面. 2.[多选]下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 (　　) A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 解析:选AC　A选项中,3-1-1=1,四点共面;C选项中,=--,∴点M,A,B,C共面. 3.已知{e1,e2,e3}是标准正交基,则空间向量-2e1+2(e2-3e3)的坐标是 (　　) A.(-2,2,-6) B.(-2,1,-3) C.(-2,2,-3) D.(2,2,-3) 解析:选A　根据空间向量的坐标表示的定义可知-2e1+2(e2-3e3)=-2e1+2e2-6e3,因为{e1,e2,e3}是标准正交基,所以空间向量-2e1+2(e2-3e3)的坐标是(-2,2,-6).故选A. 4.已知{e1,e2,e3}为空间的一组基,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,且d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为 (　　) A.,-1,- B.,1, C.-,1,- D.,1,- 解析:选A　由题意,知d=α a+β b+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)·e3.又d=e1+2e2+3e3,所以解得 5.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是 (　　) A.0 B. C. D. 解析:选A　取{,,}为空间的一组基.根据题意,可得·=(++)·(++)=·=--=×4-1-×4=0,所以和垂直,即A1E⊥GF,故A1E与GF所成角的余弦值为0. 6.已知{a,b,c}是空间的一组基,{a+b,a-b,c}是空间的另一组基,若向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　　) A.(4,0,3) B.(1,2,3) C.(3,1,3) D.(2,1,3) 解析:选C　∵p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),∴p=4a+2b+3c.设p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,对照系数,可得解得∴p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).故选C. 7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是棱CC1上靠近点C的三等分点,点N满足=t,若N为AM与平面BDA1的交点,则t等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点,得=++=++,即=t=t+t+,由N为AM与平面BDA1的交点,则N,B,D,A1四点共面,则t+t+=1,所以t=. 8.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{,,}为空间的一组基,则向量的坐标为　　,向量的坐标为　　　　,向量的坐标为　　　　.  解析:因为=++=++,所以向量的坐标为.因为=++=++, 所以向量的坐标为. 因为=++, 所以向量的坐标为(1,1,1). 答案:　　(1,1,1) 9.(5分)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c,P是CA'的中点,M是CD'的中点,N是C'D'的中点,Q是CA'上的点,且CQ∶QA'=4∶1,用基{a,b,c}表示下列各向量: (1)=　　　　;(2)=　　　　.  解析:连接AC,AD'(图略). (1)= ==(a+b+c). (2)= ==a+b+c. 答案:(1)(a+b+c)　(2)a+b+c 10.(5分)在正四面体PABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为　　　　.  解析: 如图所示,连接PN,AN.=+=-+(+)=-++,∴x=-,y=,z=. ∴x+y+z=. 答案: 11.(5分)在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面),连接对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基{a,b,c}表示向量+的结果为　　　　.  解析:如图,+=(+)+(+)=++=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c. 答案:a+b+c 12.(5分)在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　,线段EF的长度为　　　　.  解析:设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一组基,∴|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=a2.∵=-=(a+b)-c, ∴·=a2+a·b-a·c=a2, ||==a, ∴cos􀎮,􀎯===, ∴异面直线EF与AB所成的角为. 答案:　a 13.(10分)在空间四边形OABC中,E是线段BC的中点,G在线段AE上,且AG=2GE. (1)试用{,,}表示向量;(4分) (2)若OA=2,OB=3,OC=4,∠AOC=∠BOC=60°,求·的值.(6分) 解:(1)∵=2, ∴-=2(-), ∴3=2+,又2=+, ∴=++. (2)由(1)可知,=++,=-,又∠AOC=∠BOC=60°, ∴·=·(-)=-++·-·=-×22+×32+×3×4×cos 60°-×2×4×cos 60°=,即·的值为. 14.(10分)如图,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量的坐标. 解:因为PA=AB=1,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以,,是两两垂直的单位向量. 设=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}为标准正交基建立空间直角坐标系A-xyz,连接AC. 如图所示, 因为=++=-++=-++(+)=-++(++)=+=e2+e3.所以=. 15.(10分)如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D;(4分) (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(6分) 解:(1)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一组基.根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0. ∵=b+c,=-c+b-a, ∴·=-c2+b2=0, ∴CE⊥A'D. (2)∵=-a+c,=b+c, ∴||=|a|,||=|a|, ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2, ∴cos􀎮,􀎯==, 即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $