第02讲 投影与视图（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第02讲 投影与视图 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 投影类型判断（★） 题型02 平行投影计算（★） 题型03 中心投影计算（★） 题型04 投影与相似三角形综合（★★） 题型05 三视图的识别（★） 题型06 三视图的补全与绘制（★） 题型07 由三视图还原（★） 题型08 三视图的相关计算（★） 能力通关 题型归纳：平行投影、镜面反射与相似三角形综合应用题； 考查内容：平行投影的性质（物高与影长对应成比例）、镜面反射性质、相似三角形的判定与性质，实际测量类问题的建模与计算能力。 1．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 题型归纳：平行投影与尺规作图综合题； 考查内容：平行投影的实际意义、尺规基本作图（作角平分线相关作图），能将实际“立竿测影”情境转化为几何作图问题，掌握作图步骤与痕迹保留方法。 2．（2025·甘肃定西·三模）《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）． (1)延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； (2)分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； (3)连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子． 【答案】(1)如图所示 (2)如图所示 (3)如图所示 【分析】本题考查的是依据尺规作图步骤，理解如何作出木杆影子，通过一系列作图步骤构造出与影子形成相关的几何关系，把实际“立竿测影”的情境转化为几何作图问题，利用圆规和直尺的基本作图方法来实现影子的绘制． 本题就是用尺规作图的方法，通过定长、构造交点等操作，作出符合“立竿测影”原理的影子线段，把实际测量情境转化为几何作图流程，考查对尺规基本作图和实际应用几何转化的理解． 【详解】（1）延长至点，以为圆心，任意长为半径作弧交、于、（在、上且到距离相等 ），如图所示： （2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，根据“线段垂直平分线”原理，两弧交点，如图所示： （3）连接并延长，与直线交于点，则线段可看成是木杆在地面上形成的影子，如图所示： 题型归纳：平行投影与解直角三角形（仰角）综合应用题； 考查内容：平行投影的性质、仰角的定义与锐角三角函数的应用，结合标杆测量物体高度，能选择合适方案进行计算求解。 3．（2025·江西赣州·二模）坐落于赣州市阳明路与解放路交汇口的标准钟，曾是赣州唯一精确报时建筑，于年月日落成，建成时为赣州最高建筑．标准钟由基础层、塔身主体和顶部装饰层组成，总高度为米．某数学学习小组的同学想知道顶部装饰层的具体高度，分两小组各设计了一种方案： 课题 测量标准钟顶部装饰层的高度 测量工具 测角仪、皮尺及长的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 测量数据 从标杆顶端处测得点的仰角为，． 顶部装饰层落在地面上的影长，此时标杆的影长． (1)已知标准钟的总高度约为当前层住宅楼的高，那么的值应该是（    ） ．             ．             ． (2)结合（）中得到的数据，请你选择其中一个小组的方案，求出标准钟顶部装饰层的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）如图，延长交于，可得四边形是矩形，即得，，解可得，即得，如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，即得，利用平行投影的性质可得，即得，进而求出即可求解； （）如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，即得，利用平行投影的性质可得，据此即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，平行投影，掌握锐角三角函数的定义及平行投影的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于，则，四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴， 由平行投影可得，， ∴， 解得， ∴， 即， 故选：； （2）解：选择第二小组． 如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴， 由平行投影可得，， ∴， 解得， ∴标准钟顶部装饰层的高度为． 题型01 投影类型判断（★） 1．（2025·广东佛山·一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 2．（2025·广东深圳·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的三视图，截几何体，掌握立体图形的特点是关键． 根据立体图形的特点，确定截面，三视图的特点即可求解． 【详解】解：A、圆锥侧面展开式扇形，不符合题意； B、圆柱俯视图是长方形，不符合题意； C、球体的截面是圆，符合题意； D、正方体的投影是正方形，不符合题意； 故选：C ． 3．（2023·广东深圳·一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 题型02 平行投影计算（★） 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为 m． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：m，m，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点N作于点． 由题意，得， ． 又，， ， ． 故竹竿的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 6．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：A． 7．（2025·江西景德镇·模拟预测）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，求第二时刻标杆的影长． 【答案】尺 【分析】本题主要考查平行投影以及相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．由，得到，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意可得，， ， 故第二时刻标杆的影长为尺． 题型03 中心投影计算（★） 8．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 9．（2025·贵州黔东南·三模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ，，． ，，，轴， ，， ，， ， ， ； 故答案为：12． 10．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 11．（2024·陕西西安·二模）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 【答案】(1)15米； (2)4米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知易得米，证明，从而利用相似三角形的性质可解答； （2）根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）∵，米， 米． 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：明德楼的高为15米． （2）由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：塑像的影长为4米． 题型04 投影与相似三角形综合（★★） 12．（2025·河北·模拟预测）夏日的一天，琪琪想研究太阳下物体高度与影子的变化规律，她记录了一支长的铅笔在下面几个时间点的影长： 时间 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 太阳方向 东偏南 东南 南 西偏南 西南 影子方位 西偏北 基本西北 北 东偏北 基本东北 影子长度 琪琪想用这个测量结果估算学校一棵大树的高度．第二天周一又是一个晴天，在上午10点，琪琪用准备好的卷尺测量了该大树的影子，测得树影长17米． (1)请帮琪琪估算这棵大树的高度； (2)估计此时刻太阳光线与地面的夹角的大小．（注：计算结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】(1)28米 (2)59° 【分析】（1）由于铅笔和树在同一时刻影子长度与高度成正比，根据铅笔影子长度和树影子长度17米，可计算出树高约为28米． （2）利用三角函数，根据铅笔高度和影子长度，计算出太阳光线与地面的夹角的正切值为1.66，查阅参考数据可知该夹角约为59度． 本题考查了相似三角形的应用和三角函数，解直角三角形的应用，平行投影，通过铅笔和树的影子长度比例关系估算树高，并根据铅笔影子长度和高度计算太阳光线与地面的夹角． 【详解】（1）解：∵时间在上午10点左右， ∴树实高：树影长=铅笔长：铅笔影长， 即树实高，解得树实高， 答：这棵大树高约28米； （2）又∵铅笔的影长：铅笔长，， ∴此时刻太阳光线与地面的夹角大约是． 13．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【答案】(1)圆心O到地面的距离为 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)或； (4) 【分析】（1）由题意可得：，，设，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，设光线的延长线交于，证明，可得，从而可得结论； （3）当重合时，过作交于，过作于，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，，如图，当光线时，可得，如图，当时，光线时，求解，结合，可得：，如图，当时，结合，可得，从而可得答案； （4）当时，，此时：，当时，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时， 同理可得：， ∴，解得：， 如图，当时，光线时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，平行投影，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 14．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 15．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)见解析 (2)等比性质； (3)① ② 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）利用盲区的定义作图即可； （2）根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）如图所示: （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 题型05 三视图的识别（★） 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 故选C． 17．（2025·福建漳州·三模）公元1602年，荷兰东印度公司在海上捕获一艘葡萄牙商船——“克拉克号”，船上装有大量来自中国的青花瓷器，欧洲人把这种瓷器命名为“克拉克瓷”．而克拉克瓷原产地为中国福建漳州的平和，漳州克拉克瓷被誉为影响欧洲艺术风格的“海丝明珠”．如图是一件从南澳1号沉船打捞上来的克拉克瓷花瓶，关于它的说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．主视图和左视图相同 D．三种视图均相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：这个花瓶的主视图和左视图相同，俯视图与左视图和主视图不相同， 故选：C． 18．（2025·辽宁大连·一模）如图所示的几何体的左视图是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线进行表示． 【详解】解：由图可知，左视图为： 故选：D． 19．（2025·山东济南·模拟预测）盖碗茶，是一种上有茶盖、下有茶托、中有茶碗的茶具，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人．品茶时托碗闻香，茶盖可拨动茶叶、调节浓度，茶托防烫手且稳固，茶碗聚香留味，三者合一，既美观又实用．如图，是一种盖碗茶的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，掌握三视图的定义是解题的关键． 根据该实物的三视图，逐一判定即可． 【详解】解：由图可知，它的主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同．只有A符合题意． 故选A． 题型06 三视图的补全与绘制（★） 20．（2025·河北邯郸·三模）将四个完全相同的小正方体组成如图1所示的几何体，挪动其中一个小正方体后使其主视图与原主视图（如图2）关于虚线成轴对称图形，下列挪动方式： Ⅰ．将②挪至④上    Ⅱ．将③挪至④上    Ⅲ．将④挪至③上    Ⅳ．将②挪至③上 其中符合要求的挪动方式有（   ） A．Ⅰ和Ⅳ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅱ D．Ⅲ和Ⅳ 【答案】A 【分析】本题考查的是小正方体堆砌图形的三视图，轴对称图形的定义，根据题意分别确定四则情况下的主视图即可得到答案. 【详解】解：将②挪至④上，将②挪至③上的主视图是： ∴主视图与原主视图关于虚线成轴对称图形， 将③挪至④上或将④挪至③上其主视图是： 不符合题意； 故选A 21．（2025·安徽滁州·三模）如图所示是由5个大小相同的正方体组成的几何体①和②，下列说法正确的是（   ） A．它们的主视图相同 B．它们的俯视图相同 C．它们的左视图相同 D．它们的三视图都相同 【答案】B 【分析】本题考查了由小立方块搭成简单几何体的三视图，分别画出三视图对比，即可求解；能熟练画出由小立方块搭成简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】 解：A.①的主视图为②的主视图为，主视图不同，故不符合题意； B.①的俯视图为②的主视图为，俯视图相同，故符合题意； C.①的左视图为②的左视图为，左视图不同，故不符合题意； D.由以上选项得三视图不全相同，故不符合题意； 故选：B． 22．（2025·河北石家庄·二模）如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图、左视图、俯视图的面积分别为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用小立方块组成几何体的三视图，分别得出三视图是解题关键．根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，根据面积的大小，可得答案． 【详解】解：根据图形可知：从正面可以看到4个小正方形，从左面可以看到3个小正方形，从上面可以看到4个小正方形， 设一个小正方形面积为a， 则，，， ∴， 故选：D． 23．（2025·河北唐山·二模）如图是由6个大小相同的正方体塔成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，俯视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．俯视图不变，左视图不变 【答案】D 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键． 利用组合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化． 【详解】解：将正方体①移走后， 新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图的第二层由原来的两个小正方形变为一个小正方形， 故选：D． 24．（24-25九年级下·河南郑州·月考）几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位的小正方体的个数，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，观察图形可知，该几何体的主视图有列，从左到右正方形的个数分别为、、，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图有列，从左到右正方形的个数分别为、、， 故选：D． 25．（2025·广东江门·一模）（1）如图是由几个小方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．    （2）如图，画出以O为位似中心，把放大两倍后的三角形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图、画位似图形，正确作图是解题的关键． （1）根据题意分析可知，主视图的左边有3个小正方形，中间有4个小正方形，右边有2个小正方形；左视图的左边有4个小正方形，右边有2个小正方形，即可画出图形； （2）分两种情况讨论：①和在点O同侧；②和在点O两侧，分别画出顶点关于点O位似的对应点，再顺次连接即可得到． 【详解】：（1）如图所示，主视图和左视图即为所求：    （2）①若和在点O同侧，如图所示，即为所求：    ②若和在点O两侧，如图所示，即为所求：    题型07 由三视图还原（★） 26．（2025·四川广元·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，根据三视图得到该几何体是圆柱，即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图可知该几何体是圆柱， 故选：C． 27．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，下列三视图展示的几何体是（   ） A．圆锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题关键．根据三视图判断即可． 【详解】解：根据三视图可知，该几何体是三棱锥， 故选：C． 28．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．熟悉常见几何体三视图的特点是解题的关键． 根据几何体三视图的特点进行判断即可． 【详解】A：圆台的主视图和左视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，与题目三视图匹配； B：四棱台主视图、左视图是梯形，但俯视图是四边形（带对角线或类似），不是同心圆，不符合题目中三视图的特征； C：长方体三视图是矩形，不符合题目中三视图的特征； D：圆柱三视图中主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，不符合题目中三视图的特征； 故选A． 29．（2025·河北邢台·三模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由主视图和左视图确定是有3列，2层，再由俯视图确定具体形状，即可得到答案． 【详解】解：观察几何体的三视图可知，该几何体有3列，2层，再由俯视图可以知道这个几何体可能是 故选：A． 30．（2025·河南平顶山·二模）某物体的三种视图如左图所示，则这个物体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图还原几何体．根据三视图的形状特征，即可判断答案． 【详解】解：根据主视图、左视图和俯视图，可判断出这个几何体是 ． 故选：C． 题型08 三视图的相关计算（★） 31．（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求面积、正方形的性质；观察该几何体及其三视图可知，该几何体为底面是正方形的长方体，且正方形的对角线长为2，该长方体的高为3，进而求得侧面积，即可求解． 【详解】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3， ∴正方形的边长为， 故其侧面积为． 故选：C． 32．（2025·宁夏银川·三模）用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，然后即可求解． 【详解】 解：根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，如图所示是最少的一种情形下每个位置的小立方块数， ∴， 故选：B． 33．（2025·河北邯郸·三模）图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解主视图的定义并能据此分析几何体的构成． 通过分析原几何体和主视图的特征，确定需要拿走小正方体的位置和数量，从而得出至少拿走的个数． 【详解】如图所示， 拿走若干个小正方体取后，该几何体的主枧圈如图2所示，则至少拿走标有、、、的小正方体， 所以拿走的小正方体的个数至少是4个． 故选：C． 34．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（   ）    A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图还原几何体，由主视图可得，该几何体分为三层，由左视图可知该几何体分为三列，由俯视图可知最下面一层有6个小正方体，由左视图和主视图可知第二层有2个小正方体，第三次有1个小正方体，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，根据三视图可以确定每个位置的小正方体数量，    ∴组成这个几何体的小正方体的个数是个， 故选：C． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）某几何体如图所示，其中“卯”的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，可得答案． 【详解】 解：“卯”的俯视图为， 故选：． 2．（2025全国模拟）王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝主视图与左视图是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图． 根据从不同方向看到的图形解答即可． 【详解】解：由题意可知，主视图与左视图是一样的是， 故选：B． 3．（2025深圳市模拟预测）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 4．（2025·四川广元·模拟预测）下图是由7个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握左视图的定义；明确左视图是从物体的左面看所得到的图形，据此作答即可． 【详解】 解：从物体左面看，图形为， 故选：A． 5．（2025·河南新乡·模拟预测）西周青铜凤纹尊，为西周中期吴国的青铜器，1976年12月于江苏丹阳司徒公社窖藏出土，现收藏于镇江博物馆．西周青铜凤纹尊是所见吴国早期铸造最为华丽的青铜器．如图为一件凤纹尊，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．左视图与俯视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与主视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】C 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可，正确记忆相关知识点解题关键． 【详解】解：由实物图，可知凤纹尊的主视图和左视图相同， 故选：C． 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查由三视图判断几何体．熟练掌握俯视图确定位置，主左视图确实个数，是解题的关键． 根据俯视图确定位置，左视图确实个数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：几何体每个位置上的小正方体的个数最多时，如图所示： 小正方体的个数为：． 故选：． 7．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键． 首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为，母线长为， 所以其侧面积为：，底面积为：， 所以全面积为：． 故答案为：． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由 个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 【答案】 38 126 【分析】本题考查了正方体及其表面积．由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前层到后层有小正方体 （个）； 这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 故答案为：38；126． 9．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为  设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 【答案】 【分析】本题考查了由几何体的三视图确定该几何体的形状，几何体的表面积，根据题意列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：该帐篷所需布料的面积为， ， 故答案为：． 10．（2025·山东青岛·一模）图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是 ；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三视图的相关计算，解题关键是优先选择能形成大块连续图形的组合，减少外露边数． 周长计算原则：拼合图形时，相邻小正方形的边数越多，周长越小； 最优拼合策略：优先选择能形成大块连续图形的组合，减少外露边数． 【详解】解：图1： 第一个图案“直线” 型：通过平移线段，可将其周长看作一个长为4，宽为1的长方形的周长，根据长方形周长公式，（a为长，b为宽），可得周长； 第二个图案“Ｚ” 型：同样平移线段，可看作长3，宽2的长方形周长，； 第三个图案“田”型：可看作长2，宽2的正方形周长，， 第四个图案“Ｌ”型：可看作长3，宽2的长方形周长，； 第五个图案“Ｔ” 型：可看作长3，宽2的长方形周长，； 重合的越多，拼成图形的周长越小，一个 “直线” 型和两个“田”型拼成的图形如图所示， ， 周长为：最小； 图2：重合的越多，所拼成立体图形的表面积越小， 两个 “L”一个 “田”一共个方块，画出图应该是的立方体，表面积为． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 2．（2025·青海西宁·中考真题）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 5．（2025·山东东营·中考真题）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第02讲 投影与视图 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 投影类型判断（★） 题型02 平行投影计算（★） 题型03 中心投影计算（★） 题型04 投影与相似三角形综合（★★） 题型05 三视图的识别（★） 题型06 三视图的补全与绘制（★） 题型07 由三视图还原（★） 题型08 三视图的相关计算（★） 能力通关 题型归纳：平行投影、镜面反射与相似三角形综合应用题； 考查内容：平行投影的性质（物高与影长对应成比例）、镜面反射性质、相似三角形的判定与性质，实际测量类问题的建模与计算能力。 1．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 题型归纳：平行投影与尺规作图综合题； 考查内容：平行投影的实际意义、尺规基本作图（作角平分线相关作图），能将实际“立竿测影”情境转化为几何作图问题，掌握作图步骤与痕迹保留方法。 2．（2025·甘肃定西·三模）《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）． (1)延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； (2)分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； (3)连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子． 题型归纳：平行投影与解直角三角形（仰角）综合应用题； 考查内容：平行投影的性质、仰角的定义与锐角三角函数的应用，结合标杆测量物体高度，能选择合适方案进行计算求解。 3．（2025·江西赣州·二模）坐落于赣州市阳明路与解放路交汇口的标准钟，曾是赣州唯一精确报时建筑，于年月日落成，建成时为赣州最高建筑．标准钟由基础层、塔身主体和顶部装饰层组成，总高度为米．某数学学习小组的同学想知道顶部装饰层的具体高度，分两小组各设计了一种方案： 课题 测量标准钟顶部装饰层的高度 测量工具 测角仪、皮尺及长的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 测量数据 从标杆顶端处测得点的仰角为，． 顶部装饰层落在地面上的影长，此时标杆的影长． (1)已知标准钟的总高度约为当前层住宅楼的高，那么的值应该是（    ） ．             ．             ． (2)结合（）中得到的数据，请你选择其中一个小组的方案，求出标准钟顶部装饰层的高度．（参考数据：，，） 题型01 投影类型判断（★） 1．（2025·广东佛山·一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 2．（2025·广东深圳·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A．B．C． D． 3．（2023·广东深圳·一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（    ） A． B． C． D． 题型02 平行投影计算（★） 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为 m． 5．（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 6．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2025·江西景德镇·模拟预测）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，求第二时刻标杆的影长． 题型03 中心投影计算（★） 8．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·贵州黔东南·三模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 10．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 11．（2024·陕西西安·二模）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 题型04 投影与相似三角形综合（★★） 12．（2025·河北·模拟预测）夏日的一天，琪琪想研究太阳下物体高度与影子的变化规律，她记录了一支长的铅笔在下面几个时间点的影长： 时间 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 太阳方向 东偏南 东南 南 西偏南 西南 影子方位 西偏北 基本西北 北 东偏北 基本东北 影子长度 琪琪想用这个测量结果估算学校一棵大树的高度．第二天周一又是一个晴天，在上午10点，琪琪用准备好的卷尺测量了该大树的影子，测得树影长17米． (1)请帮琪琪估算这棵大树的高度； (2)估计此时刻太阳光线与地面的夹角的大小．（注：计算结果保留整数．参考数据：，，，） 13．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 14．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 15．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 题型05 三视图的识别（★） 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·福建漳州·三模）公元1602年，荷兰东印度公司在海上捕获一艘葡萄牙商船——“克拉克号”，船上装有大量来自中国的青花瓷器，欧洲人把这种瓷器命名为“克拉克瓷”．而克拉克瓷原产地为中国福建漳州的平和，漳州克拉克瓷被誉为影响欧洲艺术风格的“海丝明珠”．如图是一件从南澳1号沉船打捞上来的克拉克瓷花瓶，关于它的说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．主视图和左视图相同 D．三种视图均相同 18．（2025·辽宁大连·一模）如图所示的几何体的左视图是（    ） A．B．C． D． 19．（2025·山东济南·模拟预测）盖碗茶，是一种上有茶盖、下有茶托、中有茶碗的茶具，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人．品茶时托碗闻香，茶盖可拨动茶叶、调节浓度，茶托防烫手且稳固，茶碗聚香留味，三者合一，既美观又实用．如图，是一种盖碗茶的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 题型06 三视图的补全与绘制（★） 20．（2025·河北邯郸·三模）将四个完全相同的小正方体组成如图1所示的几何体，挪动其中一个小正方体后使其主视图与原主视图（如图2）关于虚线成轴对称图形，下列挪动方式： Ⅰ．将②挪至④上    Ⅱ．将③挪至④上    Ⅲ．将④挪至③上    Ⅳ．将②挪至③上 其中符合要求的挪动方式有（   ） A．Ⅰ和Ⅳ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅱ D．Ⅲ和Ⅳ 21．（2025·安徽滁州·三模）如图所示是由5个大小相同的正方体组成的几何体①和②，下列说法正确的是（   ） A．它们的主视图相同 B．它们的俯视图相同 C．它们的左视图相同 D．它们的三视图都相同 22．（2025·河北石家庄·二模）如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图、左视图、俯视图的面积分别为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·河北唐山·二模）如图是由6个大小相同的正方体塔成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（   ） A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，俯视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．俯视图不变，左视图不变 24．（24-25九年级下·河南郑州·月考）几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位的小正方体的个数，则该几何体的主视图是（    ） A．B．C． D． 25．（2025·广东江门·一模）（1）如图是由几个小方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．    （2）如图，画出以O为位似中心，把放大两倍后的三角形．    题型07 由三视图还原（★） 26．（2025·四川广元·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C．D． 27．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，下列三视图展示的几何体是（   ） A．圆锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 28．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（   ） A． B． C． D． 29．（2025·河北邢台·三模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（    ） A．B．C．D． 30．（2025·河南平顶山·二模）某物体的三种视图如左图所示，则这个物体是（   ） A． B． C． D．． 题型08 三视图的相关计算（★） 31．（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 32．（2025·宁夏银川·三模）用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 33．（2025·河北邯郸·三模）图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（   ）    A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 1．（2025·陕西西安·模拟预测）某几何体如图所示，其中“卯”的俯视图为（   ） A． B． C． D． 2．（2025全国模拟）王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝主视图与左视图是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A． B． C． D． 3．（2025深圳市模拟预测）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广元·模拟预测）下图是由7个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（   ） A．B．C． D． 5．（2025·河南新乡·模拟预测）西周青铜凤纹尊，为西周中期吴国的青铜器，1976年12月于江苏丹阳司徒公社窖藏出土，现收藏于镇江博物馆．西周青铜凤纹尊是所见吴国早期铸造最为华丽的青铜器．如图为一件凤纹尊，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．左视图与俯视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与主视图相同 D．三种视图都不相同 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由 个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 9．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为  设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 10．（2025·山东青岛·一模）图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是 ；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是 ． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 2．（2025·青海西宁·中考真题）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（   ） A．B．C． D． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A．B．C． D． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 5．（2025·山东东营·中考真题）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 故选：C． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 7．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $