专题01 条件概率与事件的独立性7大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题01 条件概率与事件的独立性 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质及应用 题型三：全概率公式的应用 题型四：贝叶斯公式的应用 题型五：相互独立事件的判断 题型六：相互独立事件的概率问题 题型七：概率的综合问题 题型一：条件概率的计算 1．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（多选）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知两个随机事件，，若，，，则 ． 题型二：条件概率的性质及应用 6．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，用M、、三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M、、正常工作的概率依次是、、，则在系统正常工作的前提下，只有M和正常工作的概率是（    ） A． B． C． D． 8．语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 9．甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为 . 10．一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 11．一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为 ；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为 ． 题型三：全概率公式的应用 12．已知某盒中装有6个大小、质地一致的乒乓球，其中有4个新球（从未被使用过）2个旧球，第一次比赛时从此盒中任取2个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取2个球使用. （i）第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 ； （ii）在第一次比赛时取出2个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 . 13．学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 14．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 16．某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 17．某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为 . 题型四：贝叶斯公式的应用 18．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 19．某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 20．某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 21．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 . 22．进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 题型五：相互独立事件的判断 23．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 24．（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（   ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件相互独立 D．事件A与事件B互斥 25．（多选）辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（   ） A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥 B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立 C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立 D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立 26．（多选）某商场举办抽奖转盘活动，转盘被均匀划分为6个扇形区域，分别标有数字1至6，参与者转动转盘一次，记录指针所指的数字．定义事件“数字为3”，事件“数字为偶数”，事件“数字小于4”，事件“数字大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 27．如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子 记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.设事件，事件，事件. (1)求事件C发生的概率； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由. 题型六：相互独立事件的概率问题 28．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是(    ) A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲25枚，乙50枚 29．有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ． 30．某课程考核分理论与试验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”．若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.6；在试验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响． (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数） 31．10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. (1)求这场选拔赛三局结束的概率； (2)求甲在第四局获胜的概率. 32．女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛. (1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； (2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率. 33．2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出，进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构、落实积极应对人口老龄化国家战略、保持我国人力资源禀赋优势.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. (1)求甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率； (2)求这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率. 题型七：概率的综合问题 34．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 35．（多选）已知为随机事件，且，，则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 36．某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是 ． 37．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； (3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置. 38．若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为，二档队伍胜三档队伍的概率为，一档队伍胜二档队伍的概率为，同档队伍之间比赛胜对方的概率为．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队． (1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率； (2)已知A1进决赛的概率约为，B1进决赛的概率约为，求一档球队夺冠的概率． 39．某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． (1)若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． (2)记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率与事件的独立性 题型一：条件概率的计算 题型二：条件概率的性质及应用 题型三：全概率公式的应用 题型四：贝叶斯公式的应用 题型五：相互独立事件的判断 题型六：相互独立事件的概率问题 题型七：概率的综合问题 题型一：条件概率的计算 1．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 2．对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，. 故选：D 3．（多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 4．（多选）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 5．已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 题型二：条件概率的性质及应用 6．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 7．如图，用M、、三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M、、正常工作的概率依次是、、，则在系统正常工作的前提下，只有M和正常工作的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作， 因为并联元件，能正常工作的概率为，所以， 又因为，所以． 故选B． 8．语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 9．甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为 . 【答案】 【详解】记事件为“甲乙两人中至少有一人选择景点A”，事件为“甲乙两人选择的景点不相同”， 甲乙两人从5个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有5种不同的选法，共有种不同的选法， 甲乙两人都不选择景点A的方法有种， 因此甲乙两人中至少有一人选择景点A的方法共有 种， 甲乙两人中至少有一人选择景点A的概率， 表示甲乙两人中至少有一人选择景点A，且甲乙两人选择的景点不同， 即一人选择景点A，另一人选择其它景点，共有 种选法，则， 所以. 故答案为： 10．一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 【答案】 【详解】数字中有2个偶数，3个奇数， 记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数， 则事件B就是积事件，事件A即三次号码都为偶数或2奇1偶: 当三次号码都为偶数时，每次都有2种取法，所以共有种取法； 当三次号码为2奇1偶时，从三次取球中选一次取偶数，有种选法， 这一次取到偶数有2种取法，另外两次取奇数，每次都有3种取法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种取法. 方法一：所以. 所以, 故答案为：. 方法二：所以， 由条件概率公式知， 故答案为：. 11．一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为 ；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球， . 设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”， ，， 所以. 故答案为：   题型三：全概率公式的应用 12．已知某盒中装有6个大小、质地一致的乒乓球，其中有4个新球（从未被使用过）2个旧球，第一次比赛时从此盒中任取2个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取2个球使用. （i）第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 ； （ii）在第一次比赛时取出2个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率为 . 【答案】 / 【分析】 【详解】（i）第一次取到0个新球的概率为， 第一次取到1个新球的概率为， 第一次取到2个新球的概率为， 所以第二次所取出的球都是新球的概率； （ii）设事件“第一次比赛时取出2个旧球”，则， 设事件“第二次比赛时取出的2个球都是新球”， 则． 故答案为： 13．学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 14．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 16．某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 17．某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为 . 【答案】 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品是次品， 则 , , 故取到次品的概率为. 故答案为：. 题型四：贝叶斯公式的应用 18．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 19．某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】市场占有率：,,; 优质率（条件概率）：,,; 选项A：因为、互斥，所以，则选项A正确； 选项B：表示“买到乙品牌且为优质品”的概率，由乘法公式： ，则选项B错误； 选项C：由全概率公式： ，则选项C正确； 选项D：由贝叶斯公式：，则选项D错误. 故选：AC 20．某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 【答案】 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 21．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 . 【答案】 / 【详解】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 故答案为：，. 22．进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【答案】 【详解】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 题型五：相互独立事件的判断 23．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 【答案】A 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 24．（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（   ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件相互独立 D．事件A与事件B互斥 【答案】AC 【详解】由题意可得事件“第二枚硬币正面朝上”， 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，有如下基本事件，正正，正反，反正，反反， 所以，，， 对于A，因为，所以事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是对立事件，故B错误； 对于C，因为，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，故D错误. 故选：AC 25．（多选）辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（   ） A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥 B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立 C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立 D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立 【答案】BC 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为，，B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，，C正确. “小林参加B场或C场活动”的概率为，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为，，D错误. 故选：BC. 26．（多选）某商场举办抽奖转盘活动，转盘被均匀划分为6个扇形区域，分别标有数字1至6，参与者转动转盘一次，记录指针所指的数字．定义事件“数字为3”，事件“数字为偶数”，事件“数字小于4”，事件“数字大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 【答案】AD 【详解】由题意得，，，， ，则，，，，， 对于A，由题意得中无公共元素，则与互斥，故A正确， 对于B，而，则与不对立，故B错误， 对于C，而，则与不独立，故C错误， 对于D，而，， 且中无公共元素，则与对立，故D正确. 故选：AD 27．如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子 记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.设事件，事件，事件. (1)求事件C发生的概率； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)； (2)不相互独立，理由见解析； 【分析】 【详解】（1）设第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，a 为奇数为事件D， （2）事件A，B不是相互独立； ， ， 因为，所以事件A，B不是相互独立； 题型六：相互独立事件的概率问题 28．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是(    ) A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲25枚，乙50枚 【答案】B 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为. 若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负： ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 则甲胜出的概率为＋＝，则甲应该分得赌金的，即300×＝225枚， 乙分得赌金75枚． 故选：B． 29．有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ． 【答案】 【分析】 【详解】设事件M为A灯亮，事件N为B灯亮，事件X为开关甲闭合，事件Y为开关乙闭合，事件Z为开关丙闭合，则所求概率为 . 其中， ， 所以. 故答案为： 30．某课程考核分理论与试验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”．若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.6；在试验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响． (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记“甲理论考核合格”为事件，“乙理论考核合格”为事件，“丙理论考核合格”为事件，记事件为的对立事件，. 记“理论考核中至少有两人合格”为事件，则 （2）记“甲实验考核合格”为事件，“乙实验考核合格”为事件，“丙实验考核合格”为事件. 记“三个人该课程考核都合格”为事件. 31．10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. (1)求这场选拔赛三局结束的概率； (2)求甲在第四局获胜的概率. 【答案】(1)0.28 (2)0.2592 【分析】 【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5）， 记“三局结束比赛”，则， ∴ ； （2）记“甲在第四局获胜”，则说明甲在前3局胜了2局，输了1局，第4局甲胜，则. 32．女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛. (1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； (2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，甲队将以或的比分赢得比赛. 若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢， 若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢. 故甲队最后赢得整场比赛的概率为. （2）依题意，甲每次发球，甲队得分的概率为，接发球方得分的概率为. 甲接下来可以以或赢得比赛，此时的取值为2或4. 当时，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”， ； 当时，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”， . 两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率为： . 33．2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出，进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构、落实积极应对人口老龄化国家战略、保持我国人力资源禀赋优势.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. (1)求甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率； (2)求这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】 【详解】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，， 则由题意得，解得. 即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，. （2）设事件：这一小时内恰有一位小孩需要照顾， 则 ， 即这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率为是. 题型七：概率的综合问题 34．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【详解】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 35．（多选）已知为随机事件，且，，则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 【答案】AD 【详解】因， ， 由题意得，化简得， 即，即， 即事件相互独立，故AD符合题意， 和不一定成立，故BC不合题意. 故选：AD. 36．某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是 ． 【答案】 【详解】设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率， 设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率， 通过题意可得，， 计算可得， 则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为． 故答案为：. 37．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； (3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置. 【答案】(1)0.32 (2) (3)边锋，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 该球队某场比赛输球的概率为， （2）由（1）知： , 所以 ， 所以球员甲担当前卫的概率为 （3）同（2） 由于，所以甲球员最可能的出场位置是任边锋. 38．若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为，二档队伍胜三档队伍的概率为，一档队伍胜二档队伍的概率为，同档队伍之间比赛胜对方的概率为．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队． (1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率； (2)已知A1进决赛的概率约为，B1进决赛的概率约为，求一档球队夺冠的概率． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）由对阵关系图可得，在一个小组中，一档球队A从小组胜出先要赢三档球队C，概率为，再赢B和D比赛的胜者， 若B胜，A胜出的概率为， 若D胜，A胜出的概率为， 所以一档球队从小组胜出的概率为． 二档球队B从小组胜出先要赢三档球队D，概率为，再赢A和C比赛的胜者， 若A胜，B胜出的概率为， 若C胜，B胜出的概率为， 所以二档球队从小组胜出的概率为． 三档球队C从小组胜出先要赢一档球队A，概率为，再赢B和D比赛的胜者， 若B胜，C胜出的概率为， 若D胜，C胜出的概率为， 所以三档球队C从小组胜出的概率为； 三档球队D从小组胜出先要赢二档球队B，概率为，再赢A和C比赛的胜者， 若A胜，D胜出的概率为， 若C胜，D胜出的概率为， 所以三档球队D从小组胜出的概率为． 所以三档球队从小组胜出的概率为． （2）由题可得A1进决赛的概率为，所以A2进决赛的概率也为，（关键：由对阵关系图可知每个小组内的比赛安排都是一样的，所以同档球队进入决赛的概率也相同） 所以对阵关系图左边是一档球队进决赛的概率为， 同理对阵关系图左边是二档球队进决赛的概率为， 所以对阵关系图左边是三档球队进决赛的概率为， 对阵关系图右边的情况一样． 现仅考虑A1夺冠的情况，A1要先进决赛，概率为，再赢右边进决赛的球队， 若右边是一档球队进决赛，A1胜出的概率为， 若右边是二档球队进决赛，A1胜出的概率为， 若右边是三档球队进决赛，A1胜出的概率为， 所以A1夺冠的概率为． 易知A2，A3，A4夺冠的概率和A1一样，所以一档球队夺冠的概率为． 39．某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． (1)若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． (2)记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 【详解】（1）①由题意得，解得，. ②比赛结束后，甲、乙各自得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，且，相互独立， 记比赛后总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，，，， 所以 ， 所以比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率为． （2）若甲、乙总得分为5分，可知、、、两两互斥， 则， 即， ， 因为，，， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $