专题2.4 一元一次不等式组（4大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题2.4 一元一次不等式组 教学目标 1. 理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握解不等式组的基本步骤。 2. 能通过数轴确定两个一元一次不等式解集的公共部分，从而求出不等式组的解集。 3. 能分析实际问题中的多个不等关系，建立不等式组模型并求解，发展模型思想与应用能力。 教学重难点 重点： 1. 掌握一元一次不等式组的解法，特别是利用数轴确定解集的方法。 2. 准确求出不等式组的解集，并理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀含义。 教学难点： 1. 在数轴上正确表示各个不等式的解集，并精准找出其公共部分（交集）。 2. 从复杂实际问题中识别多个不等关系，并建立正确的不等式组模型。 知识点1：一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【即学即练】1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 知识点2：解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【即学即练】2．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集，解题的关键是会解一元一次不等式，先分别求出两个一元一次不等式的解集，再将两个不等式的解在数轴上表示出来，公共区域为解集． 【详解】 ； ； ∴不等式组的解集为：． 知识点3：一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【即学即练】3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的方法，以及根据整数解的个数确定参数取值范围的思路是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据只有2个整数解确定整数解为0和1，从而推导a的取值范围． 【详解】解：解不等式组： ∵ 且 ∴解集为． ∵解集只有2个整数解，且， ∴整数解为和． 为确保只有这两个整数解： 在解集中，∴； 不在解集中，∴． ∴． 故选 C． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先解不等式组，得到解集为 ，该解集恰有3个整数解，即整数解为 ，因此， 必须大于 1（以确保 被包含），且小于或等于 2（以确保 不被包含）． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 由于解集恰有3个整数解，即整数解为， 因此需满足 ． 故答案为：． 知识点4：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【即学即练】5．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】（25-26七年级上·上海·假期作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 题型02 求一元一次不等式组的解集 【典例2】（25-26七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·月考）解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，熟练掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)   见解析 (2)   见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别解两个一元一次不等式，然后取两个解集公共部分就是这个不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式， 移项得 合并同类项得， 解不等式， 移项得 合并同类项得 系数化为得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图①所示． （2）解：解不等式， 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 解不等式， 去分母得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图②所示． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)．数轴见解析 (2)．数轴见解析 (3)无解．数轴见解析 【分析】（1）（2）（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图①所示， ∴这个不等式组的解集为． （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图②所示， ∴这个不等式组的解集为． （3）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图③所示， ∴这个不等式组无解． 题型03 求一元一次不等式组的整数解 【典例3】（2026·广东中山·模拟预测）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求解两个不等式，找出解集的公共部分，然后确定最小整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为， 故答案为：． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， ∴ 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有三个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 题型04 解一元一次不等式组中错解复原问题 【典例4】（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 第一步，去括号时未知数x没有乘以2； 第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变． 正确过程如下：由①得， 所以， 所以， 由②得， 所以， 所以不等式组的解集为． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误； (2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的基本性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集． （1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2； 第三步移项出错，移项没有改变符号； 故答案为：不等式的基本性质2；三； （2）解：由①去分母得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； 由②移项，得， 解得； 不等式组的解集为：； 如图： ． 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出①②的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 题型05 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例5】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）若不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知关于的不等式组，有下列四个结论： ①若不等式组的解集是，则； ②当时，不等式组无解； ③若不等式组的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若不等式组有解，则 其中正确的结论有 个 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据对应条件下不等式的解集情况分别求解判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：； 若不等式组的解集是，则，解得，故①正确； 当时，， ∴此时原不等式组无解，故②正确； 若不等式组的整数解仅有3个， ∴， ∴，故③错误； 若不等式组有解，则，解得，故④正确； ∴正确的有3个， 故答案为：3． 题型06 一元一次不等式组和方程组结合的问题 【典例6】（24-25七年级下·河南三门峡·期末）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 题型07 列一元一次不等式组 【典例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 题型08 用一元一次不等组解决实际问题 【典例8】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 【变式2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【答案】(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确 (2)5种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，根据采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意得， 解得， ∵，， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆， 依题意得， 解得， ∵a为整数， ∴，4，5，6，7， 答：该企业有5种可行的采购方案． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？哪种方案最省钱?最省的费用是多少？ 【答案】(1)A型80万元/台，B型60万元/台 (2)该企业购买方案有两种，方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台；A型5台，B型5台最省钱，最省的费用是700万元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴或6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 最少费用为（万元）． 故方案①最省钱，最省的费用是700万元． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解不等式组，熟练掌握各象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第二象限点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标，纵坐标， 即， 解不等式组得：， ∴m的取值范围是． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运算可得不等式组为，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解可得：， 解可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：D． 5．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆，根据题意可列不等式组，再求解出即可． 【详解】解：设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆， 由题意得： 解得： ，且为正整数，故． 故选：B． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11；其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式，求一次函数的最值等，先解方程组得到解为 ，再逐一验证各结论是否正确． 【详解】解：∵ 方程组为 ， 用得：， ∴ ， 代入⑥得：， ∴ ， ∴ 方程组的解为 ． 对于结论①：给定解为 ，与上述解不符，∴ ①错误； 对于结论②：当 时，，， ∴ ，，互为相反数，∴ ②正确； 对于结论③：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， 则 ，当 时 ，当 时 ，∴ ，∴ ③正确； 对于结论④：， ∵ ，∴ 当 时 ，最大值为11，∴ ④正确； 综上，②③④正确， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江西南昌·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）一次函数的图象不经过第二象限，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质：时图象经过第一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过第一，二，四象限；时经过第二，三，四象限．根据一次函数经过的象限得到，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）关于的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 表示出不等式组的解集，根据不等式组恰好有个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 又∵不等式组恰好有个整数解， ∴整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：， 10．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键．根据题意，先计算第一次，得到的结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 第一次计算得：， 第二次计算得：， ∵如果程序操作进行了二次才停止，则有； 解得：， ∴的取值范围是； 故答案为：． 11．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是 （填写序号即可） 【答案】①③ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组． 根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当时，，即不等式组无解， ∴②错误， ∵若不等式组有解，即，则， ∴③正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， ∴④错误， 故答案为：①③． 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川资阳·期末）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解为：，，，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：，整数解为：，，，，，， 解集表示在数轴上如图， 14．（25-26七年级下·全国·周测）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键； （1）（2）分别解出两个不等式的解，取两个不等式解相交的部分就是不等式组的解． 【详解】（1）解：解不等式①， 得， 解不等式②， 得， ∴原不等式组的解集为． （2）解；解不等式①， 得， 解不等式②， 得， ∴原不等式组的解集为． 15．（25-26八年级下·全国·单元测试）下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查了代数式的表示和一元一次不等式组的求解，掌握将程序逻辑转化为数学不等式是解题的关键． (1) 将 代入程序，按流程计算，直到得到的结果大于； (2) 首先，根据程序流程，用代数式表示出第一次、第二次和第三次运算的结果；然后，根据程序进行了三次运算才输出这一条件，列出关于的不等式组，这个条件意味着第二次运算的结果必须不大于，而第三次运算的结果必须大于，解这个不等式组即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当输入 时： 第一次运算： ，程序继续； 第二次运算： ，程序输出结果； 故输出的值是． （2）解：由题意可知，第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 第三次运算结果为． 可列不等式组 解得． 16．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【详解】（1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 17．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值． (2)在（1）的结论下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x取整数），求有哪几种购买方案． (3)在（2）的结论下，超市采用哪种方案可以获得最大利润． 【答案】(1)m的值为10，n的值为14 (2)有3种购买方案：方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克 (3)超市采用方案3（购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克）可以获得最大利润，最大利润为520元 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一元一次方程的实际问题，根据题意列出正确的方程组或不等式组是解题的关键． （1）根据题干信息列出二元一次方程组即可求解； （2）在（1）的结论下根据题干信息列出一元一次不等式组进行求解即可； （3）在（2）的结论下，首先列出利润与购进千克数之间的解析式，分析得到利润随购进千克数的增大而增大，进而选择利润最大的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜进价每千克10元，乙种蔬菜进价每千克14元， ∴m的值为10，n的值为14； （2）解：设每天购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克， 由题意可得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴有3种购买方案：方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克； （3）解：设超市获得的利润为y元， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，最大值为， ∴超市采用方案3（购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克）可以获得最大利润，最大利润为520元． 18．（2025八年级上·浙江·专题练习）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了不等式组的求解以及新定义： （1）先解不等式组，再根据定义得到解集的长度，再求“整点”； （2）先求不等式组，根据不等式组的长度来确定的值． 【详解】（1）解：， 解得， ∴， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1． （2）解：， ， 当时，可以是任意实数， 不等式组的解集为， ，不符合题意； 当时，即， 则：， ∵且，， ∴不等式的解集为， ∴， 解得：； 当时，即， 则：， 此时， ∴不等式组的解集为， ，不符合题意； 综上所述：的值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.4一元一次不等式组 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点：一元一次不等式组的定义 知识点2：解一元一次不等式组 知识清单 知识点3：一元一次不等式组的整数解 知识点4：一元一次不等式组的应用 题型01一元一次不等式组的定义 一元一次不等式组 题型02求一元一次不等式组的解集 题型03求一元一次不等式组的整数解 题型04解一元一次不等式组中错解复原问题 题型精讲 题型05由一元一次不等式组的解集求参数 题型06一元一次不等式组和方程组结合的问题 题型07列一元一次不等式组 题型08用一元一次不等组解决实际问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握解不等式组的基本步骤。 2.1 能通过数轴确定两个一元一次不等式解集的公共部分，从而求出不等式组的解集。 教学目标 3.能分析实际问题中的多个不等关系，建立不等式组模型并求解，发展模型思想与应 用能力。 重点： 1.掌握一元一次不等式组的解法，特别是利用数轴确定解集的方法。 教学重难点 2.准确求出不等式组的解集，并理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大 小小无处找”的口诀含义。 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教学难点： 1.在数轴上正确表示各个不等式的解集，并精准找出其公共部分（交集）。 2.从复杂实际问题中识别多个不等关系，并建立正确的不等式组模型。 知识清单 ☑知识点1：一元一次不等式组的定义 (1)一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组. (2)概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组.但与方程组也 有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的 任意几个 【即学即练】1.(24-25七年级下·全国·课后作业)下列各式不是一元一次不等式组的是(). x-1>3 x-1<0 x≥4 3x<5 A. B x-3<2 y+2>-1 D x<-1 2x-1<3 ☑知识点2：解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集。 (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组. (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小找不到. 3x-1>2(x+1) 【即学即练】2.(25-26九年级上·甘肃平凉月考)解不等式组： x+2 二>x-2 ，并把它的解集在数轴上 3 表示出来。 ☑知识点3：一元一次不等式组的整数解 (1)利用数轴确定不等式组的解（整数解）， 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一 步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解。 (2)已知解集（整数解）求字母的取值 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结 果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案， 2-x>2x-4 【即学即练】3.(25-26七年级下·全国课后作业)若关于x的不等式组 只有2个整数解，则 3x>2x+a a的取值范围是() A.-1<a<0B.-1<a≤0 C.-1≤a<0 D.-1≤a≤0 x-1z1 4.(25-26八年级上浙江杭州期中)已知关于x的不等式组{2恰有3个整数解，则的取值范围 x-a<0 为 ☑知识点4：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的间题，考虑列一元一次不等式组，并求解 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： (1)分析题意，找出不等关系： (2)设未知数，列出不等式组； (3)解不等式组： (4)从不等式组解集中找出符合题意的答案： (5)作答 【即学即练】5.(2025湖南模拟预测)我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则 还有19人无宿舍住；若每间住7人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足5人.若设宿舍间 数为x,根据题意x应满足的不等式（组）为一 6.(25-26七年级下·全国·课后作业)七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽 子分给这些学生，如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到 的粽子不少于2个但少于4个.求参加端午节包粽子活动的学生的人数. 题型精讲 题型01一元一次不等式组的定义 【典例1】(25-26七年级上·上海假期作业)下列选项中是一元一次不等式组的是() x+2≤3 1-X∠2 x+j<2 [3>2 x≤3 A B. D. 3x+2≥0 2x≥4 x>6 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级下·全国·课后作业)下列不等式组是一元一次不等式组的是() x+3<2 x2-x>1 A. B. x-2>-6 x-1<0 3x-x>x+1 x+y>0 D. x+y<0 x-y<0 【变式2】(2025八年级下·全国专题练习)在下列各式中，是一元一次不等式组的是() [x+3>2 x+y>4 x+4≥-3 x-6>-2 A. 1 C D. +2≤5 x-y<6 6<12 x+1<8 【变式3】(24-25七年级下，全国课后作业)下列不等式组： x>-2 x>0 「x+1>0[x+3>0。x2+1>x ① ② ④ x<3 x+2>4⊙y-4<01x<-7⊙x3+2>4 其中是一元一次不等式组的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型02求一元一次不等式组的解集 【典例2】(25-26七年级下·全国周测)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 3x-1≤x+1 (1) 2x>x-3 x-3(x-2≤8 23+x>x-1 3 【变式1】(25-26八年级上重庆月考)解不等式组： 2x+7≥3x-2 ①)x-1_3x-1<2 3 4 x+1-1>-x (2) 3 3(x-1)-2(2x-5)>6 【变式2】(25-26七年级下·全国期末)解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： [2x-1>x+1 (1) x+8<4x-1 2x-5≤3(x- Q)x+7>4x 2 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x_x>-1 (1)231 2(x-3)-3(x-2>-6 6+2x<7+x (②)13x-2≤-8 [5x-1<x-5 (3) x+4>7 题型03求一元一次不等式组的整数解 2-x<0 【典例3】(2026广东中山模拟预测)不等式组 2x-5>3 的最小整数解是 3x-1)≤x+1 【变式1】(2025黑龙江大庆三模)求不等式组： x-9 整数解之和 <2x 2 2x-a<0 【变式2】(25-26八年级上·重庆期未)关于x的不等式组7-6x≤8有且只有3个整数解，则满足条件的 2 整数a的和为】 (3x-1<x+1 【变式3】(25-26八年级上·重庆铜梁期中)若关于x的不等式组{2 有且仅有4个整数解，则 2(x+1≥-x+a 所有满足条件的整数α的值之和 题型04解一元一次不等式组中错解复原问题 21+x>-1① 【典例4】(24-25八年级下·河南郑州月考)以下是圆圆解不等式组 的解答过程： 1-x>2② 解：由①，得2+x>-1,第一步 x>-3.第二步 由②，得-x>1,第三步 .x>-1.第四步 故原不等式组的解集为x>-1,第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程. 12r-2>3-x⊙ 1- 【变式1】(25-26八年级上·福建漳州月考)下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组{ 5 的过 3x-5<4② 程，请认真阅读并完成相应的任务， 解：由①去分母，得10-2(2x-2)≥5(3-x第一步 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 去括号，得10-4x+4>15-5x第二步 移项，得-4x-5x≥15-10-4第三步 合并同类项，得-9x≥1第四步 系数化为1，得长第五步 (①)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是；第 步开始出现错误； (2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上. x-2<2x ① 【变式2】(24-25七年级下·广西南宁期末)以下是乐乐解不等式组 2x+1②的部分过程： 3 解不等式①得x-2x<2. 第一步 x<-2. 第二步 解不等式②得，2(2x+2)≤3x+1. 第三步 4x+4≤3x+1. 第四步 4x-3x≤1-4. 第五步 x≤-3. 第六步 -4-3-2-101234 (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是 (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来. x-2<2x ① 【变式3】(24-25七年级下·上海奉贤期中)以下是乐乐解不等式组 2x+2≤+1②的部分过程： 3 解不等式①得，x-2x<2.第一步 x<-2.第二步 解不等式②得，2(2x+2)≤3x+1.第三步 4x+4≤3x+1.第四步 4x-3x≤1-4.第五步 x≤-3第六步 (I)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是_； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来。 -4-3-2-101234 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05由一元一次不等式组的解集求参数 【典例5】(25-26七年级上江苏苏州·月考)若不等式组 -3x>0的解集是-1<x<1,则a+b的值 x-a>1 是 2x-1≥3 【变式1】(2025黑龙江佳木斯模拟预测)若关于x的一元一次不等式组 x+a<5无解，则a的取值范围 是」 x>a①D 【变式2】(24-25七年级下.全国假期作业)若不等式组 的解集是x>1,则a的取值范围 x+2<4x-1② 3x-5 -<2 【变式3】(24-25七年级下·河南南阳·期末)已知关于x的不等式组 2<2,有下列四个结论： 2x-a≤-1 ①若不等式组的解集是1<x≤3，则a=7; ②当a=3时，不等式组无解； ③若不等式组的整数解仅有3个，则的取值范围是11≤a<13; ④若不等式组有解，则a>3. 其中正确的结论有 个 题型06一元一次不等式组和方程组结合的问题 -x-2y=1 【典例6】(24-25七年级下，河南三门峡期末)若方程组 的解x,y满足2x-y<3,则a的取值 3x+y=-a 范围为 [3x+y=4k+1 【变式1】(24-25七年级下江西新余·期末)已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足 x+3y=3 0<x+y<1,求k的取值范围一， 6x-5≥m 【变式2】(24-25八年级上重庆期中)若m使得关于x的不等式xx-1,1至少2个整数解，且关于x, 4-62 2x+y=4 y的方程组 x+2y=-3m+2 的解满足x-y>10,则满足条件的整数m之和是」 x-m>0 【变式3】(24-25七年级下.安徽合肥·期中)已知关于x的不等式组 x-4-x<4 的解集为x>4. 3 (1)m的取值范围是 7/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+y=6 (2)若整数m使得关于x,y的二元一次方程组 3x+y=2 的解为整数，则符合条件的所有整数m的和 是 题型07列一元一次不等式组 【典例7】(25-26八年级下·全国课后作业)将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则 还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个.求这一箱苹果的个数与 小朋友的人数.若设小朋友的人数为x,则可列不等式组为() 8(x-1<5x+12 [0<5x+12 A. B 5x+12<8 5x+12<8x 0<5x+12-8(x-1 [8x<5x+12 C. D 5x+12-8(x-1)<8 5x+12<8 【变式1】(25-26七年级上·全国假期作业)若干名学生乘船.若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船 坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有x条船，则可列不等式组为() 4x+2-6x-1)>0 4x+2-6x-1)>1 A. B 4x+2-6x-1)<6 4x+2-6x-1)<5 4x+2-6(x-2)>0 4x+2-6x-2>1 C. D. 4x+2-6x-2)<6 4x+2-6x-2)<5 【变式2】(24-25八年级上浙江杭州期中)若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住 6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为() 4x+2-6x-1>0 4x+2-6x-1>1 A. B 4x+2-6x-1)<6 4x+2-6(x-1)<5 4x+2-6x-2)>0 4x+2-6(x-1)>1 C. D 4x+2-6x-2)<6 4x+2-6x-2)<5 【变式3】(2425九年级上贵州铜仁期中)将一些书分给九(1)班的所有学生，若每人分4本，则还剩 77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九(1)班学生的人数，设 九(1)班有学生x人，则列出的不等式组是() 4x+77-6x>0 6x+77-4x>0 A. B 4x+77-6x<5 6x+77-4x<5 4x+77-6(x-1)>0 6x+77-4x-1)>0 C. D 14x+77-6x-1)<5 6x+77-4x-1<5 题型08用一元一次不等组解决实际问题 【典例8】(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观.现 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示.设租用甲种客车x辆，租车总费用 为y元 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 1000 800 (I)求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式. (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案。 【变式1】(25-26八年级上浙江绍兴期中)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车 充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩.己知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要 0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元 (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (②)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的 2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案. 【变式2】(25-26九年级上海南省直辖县级单位·期末)海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运 输业务分两批次采购新能源冷链运输车.第一批购进1辆A型冷链车、4辆B型冷链车，共花费68万元； 第二批购进2辆A型冷链车、3辆B型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）.该企业采购经理估 计：每辆A型冷链车进价约19~21万元，每辆B型冷链车进价约11~13万元. (I)求A、B两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (②)该企业计划再次采购A、B两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过 180万元，其中A型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案 【变式3】(25-26八年级上·浙江金华·月考)2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智 能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、 B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价： (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递 9/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？哪种方案最省钱？最省的费用是多少？ 强化训练 一、单选题 1.(25-26七年级下·全国·课后作业)下列属于一元一次不等式组的是() x=1 [x2-1>-3 x+y>7 x≤-1 A. C 3x-1<5 B. D. x-5<2x y-5x<-1 3x-1<5 2.(25-26八年级上河南周口期末)已知点P(2m-1,m+3)在第二象限，则m的取值范围是() A.m< 2 B.m>-3 C.-3<m< D.m> -x+a<2 3.(25-26八年级上·全国期末)如果关于x的不等式组{3x-1 恰有2个整数解，符合条件的a的取 2 ≤x+1 值可以是() A.6 B.3.5 C.4 D.4.5 4.(25-26八年级上·全国期末)对于实数a,b定义一种运算“⊕”：a⊕b=a2+2ab,则不等式组 3⊕x<3 (-2)⊕x≥0的解集在数轴上表示正确的是（) A. B -2-1 -2-10 C. 202→ D.. 5.(24-25七年级下·甘肃武威期中)北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为 中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车 不够，每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满， 请问甲队有出租车()辆. A.9 B.10 C.11 D.12 [x+3y=4-a 6.(24-25九年级上湖北襄阳·自主招生)己知关于x、y的方程组 其中-3≤a≤1，给出下 x-y=3a 列结论：① 二十。是方程组的解，②当a=-2时，x、y的值互为相反数：③若)≤1，则1Sx≤3：④ x=1+4a S=3x-y+2a的最大值为11；其中正确的是() 10/12