精品解析：河北沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一容器中有两种菌，为菌的个数，为菌的个数，且在任何时刻两种菌的个数均满足．若分别用和来表示菌、菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 7. 函数在上是减函数，则取值范围是 A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 某企业生产一种机器固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（ ） A. 利润表示为年产量的函数为 B. 当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C. 当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D. 企业不亏本的最大年产量为台 11. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：)满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________． 13. __________． 14. 若不等式对任意及恒成立，则实数取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 19. 已知函数，其中. （1）若函数定义域为，求的值； （2）记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围； （3）当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由，解得的范围，即可判断出结论． 【详解】解：因为，解得或， 因为 “”是“”的充分不必要条件． 故选：． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系. 【详解】由，解得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：A 3. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解. 【详解】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，， 对于C，当时，，C不可能； 对于D，当时，，D不可能； 对于A，当时，，而当时，，则，A可能； 对于B，当时，，而当时，，则，B不可能. 故选：A 4. 已知一容器中有两种菌，为菌的个数，为菌的个数，且在任何时刻两种菌的个数均满足．若分别用和来表示菌、菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合对数运算以及指数幂运算即可求解. 【详解】由题可知，则， 又，所以，． 故选：D. 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求得，，结合求值即可. 【详解】由题设，，又，， 所以，， 又. 故选：D 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 7. 函数在上是减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据可知在定义域内单调递减，若使得函数在上是减函数，则需，解不等式即可. 【详解】 在定义域内单调递减 若使得函数在上是减函数 则需，解得 故选：D 【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令， ，可将问题转化为在区间上的最大值与最小值之差的范围，然后分别讨论在，，，四种范围下的最值情况，可得答案. 【详解】因，则， 令，则，又令， 则问题等价于求在区间上的最大值与最小值之差的范围. 下列提及的，均满足. 当， 则此时在上单调递增， 则， 因， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递增，在上单调递减. 则， 其中 注意到， 则，则， 则此时； 当， 则此时在上单调递减， 则， 因， 在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递减，在上单调递增. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 注意到， 则当时，在区间上的最大值与最小值之差的范围为： ， 即在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是：. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键在于分类讨论，分类讨论时为防止出错，应按照一定的顺序，此外因三角函数具有周期性，可先分析函数在一个周期内的最值情况，再推广到全体定义域内. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 详解】由，可得或. 对于方程，当时，方程无解，符合题意； 当时，解方程，可得. 由题意知，， 此时应有或，解得或. 综上可得，或. 故选：BC. 10. 某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（ ） A. 利润表示为年产量的函数为 B. 当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C. 当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D. 企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. a的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】 先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意得：知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以有如图的函数图象， 故对于A选项，由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B选项，当时，，所以B正确； 对于C选项，当时，由周期为2可知单调性与时的单调性相同，易知当时，单调递增，所以C错误； 对于D选项，设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有，即，解得，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数的零点，周期性，奇偶性等函数性质，考查数形结合思想和运算求解能力，解题的关键在于根据题意做出函数图象，利用数形结合思想求解，是中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：)满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________． 【答案】37.5## 【解析】 【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出，再代入即可得出结论. 【详解】由题知，，， 所以，，可得， 再经过28分钟后，该物体的温度为 ， 故答案为：37.5. 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意得： . 故答案为：. 14. 若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式通过分离参数化为对任意及恒成立， 所以只需当时，；构造函数，，利用一次函数的性质求实数的范围. 【详解】由题意得对任意及恒成立， 所以对任意恒成立，即对恒成立， 令，则是关于的一次函数， 所以只需，即，解得或或， 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为或， ， 所以， . 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【小问1详解】 由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为3680万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【小问1详解】 因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． 【小问2详解】 ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 18. 已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为，利用判别式，列出不等式，即可求解； （2）由函数，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解； （3）根据函数，先分，和三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分，和三种情况讨论，即可求解. 小问1详解】 由题意，函数， 因为该函数的定义域为，则对任意恒成立， 可得，解得， 即实数的取值范围. 【小问2详解】 由函数，若在上单调递减， 则问题等价于在上恒成立，且在上单调递增， 即，解得，所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 当时，，所以当时，， 所以在上没有零点； 当时，，， 若即时，， 此时是函数的一个零点； 若即时，， 此时不是函数的一个零点； 当时，因为，则函数的零点个数等价于函数的零点个数， ①当，即时，，则， 函数在上没有零点； ②当即时，函数有且只有一个零点， 若，由可得，则函数上没有零点； 若，由可得，则函数在上有1个零点； ③当，即或时，函数有两个零点， 不妨设为且， 当时，，， 所以，则在上没有零点； 当时，，，所以， 当即时，，所以，则，， 所以此时在上有且只有一个零点； 当，即时，对称轴，且， 所以，在上有两个零点， 综上所述： 当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 19. 已知函数，其中. （1）若函数的定义域为，求的值； （2）记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围； （3）当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数定义域的求法进行求解； （2）令，则，根据对称轴与定义域的关系分类讨论求解； （3）根据函数的单调性和零点存在性定理证明；，根据对勾函数的单调性求最值. 【小问1详解】 ， 因为函数的定义域为， 所以不等式的解集为， 所以1，2是方程的两个不等实数根， 所以，即； 【小问2详解】 由题意知，， 令，则， ①当，即时，， 由，得，又，所以. ②当，即时，， 由，得，又，所以. ③当，即时，， 由，得， 又，所以. ④当，即时，， 由，得，又，所以. 综上所述： 【小问3详解】 当时，， 所以， 当时，易知单调递增， 又. 由零点存在性定理知函数在上有唯一零点，且， 当时，，所以恒成立， 故在上无零点. 当时，，所以恒成立， 故在上无零点. 综上所述，在上存在唯一的零点，且 因为 又为的零点，所以， 故， 因为，且，所以. 令，则， 显然，在上单调递减， 所以. 【点睛】关键点点睛：方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $