第05讲 立方根（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦立方根核心知识点，系统梳理定义、表示方法及性质，通过对比平方根构建知识联系，延伸至用计算器求立方根，形成从概念理解到实际应用的完整学习支架。 资料以7类典例分层呈现，涵盖概念辨析、计算应用等题型，结合变式题培养推理意识，通过正方体体积计算等实例渗透模型意识，助力学生用数学语言解决问题，课中辅助教学高效开展，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

第05讲 立方根（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】立方根 1. 立方根的定义和表示方法   内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³=a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根 因 为 2³=8， 所 以 2是 8 的立方根；因为(-2) ³=-8，所以 -2是 -8 的立方根 表示方法 一个数 a 的立方根记为“  ”读作“三次根号a，”其中 a 是被开方数，3 是根指数，要特别注意，根指数 3 不能省略 读作“三次根号 -27”，其中 -27是被开方数 2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果是一个数的立方根.【知识点02】立方根的性质 1.性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是 0；(4) =- ；(5)( ) 3=a. 2. 立方根与平方根的区别与联系 平方根 立方根 区 别 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a 的立方根 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数 负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数 表示方法 ± ，根指数2可以省略 3，根指数3不可以省略 被开方数的取值范围 被开方数为非负数，即： a ≥ 0  被开方数 a 是任意实数 联系 (1)开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算； (2)0 的平方根和立方根都是0 【知识点03】用计算器求一个数的立方根 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 按键顺序为：先按 键，再输入被开方数，最后按 键.有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明. 【题型一】立方根概念理解 例1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 例2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）求x的值：． 变式1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是 ． 变式3．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）求下列各式中的值． (1) (2) 【题型二】求一个数的立方根 例3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）的立方根为（ ） A． B． C． D．没有立方根 例4．（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）1的立方根是 ；的立方根是 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型三】已知一个数的立方根，求这个数 例5．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 例6．（24-25七年级下·湖南永州·月考）已知，则x的值为 ． 变式1．（24-25七年级下·四川泸州·期中），则的值为（    　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【题型四】与立方根有关的规律探索 例7．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 例8．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 变式1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【题型五】立方根的实际应用 例9．（24-25七年级下·广西百色·期中）七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 例10．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 变式1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【题型六】算术平方根和立方根的综合应用 例11．（22-23七年级下·山东济宁·期中）的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 例12．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 变式1．（23-24七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是 ；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ． 变式2．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）已知 的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【题型七】计算器——平方根和立方根 例13．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 例14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器计算： ， ， ．（结果精确到0.001） 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数点后三位）． 一、单选题 1．的立方根是（    ） A． B．1 C． D．没有立方根 2．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 4．下列说法中，不正确的是（   ） A．正数的立方根是正数 B．的立方根是 C．负数和都有立方根 D．是的立方根 5．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B．0 C．3 D．6 6．下列说法正确的是(    ) A．平方根是本身的数只有0; B．立方根是本身的数只有0和1; C．绝对值是本身的数只有0和1; D．相反数是本身的数只有0和1. 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 9．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．的相反数为 ． 12．计算： ． 13．若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 14．的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为 . 15．若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 16．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 17．小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 18．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： （1）由，，可知是两位数． （2）由59319的个位数字是9，可知的个位数字是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位数字是3．请应用以上方法计算： ， ， ． 三、解答题 19．用计算器计算（精确到0.01）： (1)； (2)． 20．求下列各数的立方根： (1)； (2)343； (3)； (4)． 21．求下列各式中x的值． (1)； (2) 22．若 与 互为相反数，且，求 的值． 23．若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 24．已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 25．（1）若与互为相反数，求的值； （2）已知与互为相反数，求的值； （3）已知x、y是实数，且与互为相反数，求的值． 26．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 27．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 立方根（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】立方根 1. 立方根的定义和表示方法   内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³=a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根 因 为 2³=8， 所 以 2是 8 的立方根；因为(-2) ³=-8，所以 -2是 -8 的立方根 表示方法 一个数 a 的立方根记为“  ”读作“三次根号a，”其中 a 是被开方数，3 是根指数，要特别注意，根指数 3 不能省略 读作“三次根号 -27”，其中 -27是被开方数 2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果是一个数的立方根.【知识点02】立方根的性质 1.性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是 0；(4) =- ；(5)( ) 3=a. 2. 立方根与平方根的区别与联系 平方根 立方根 区 别 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a 的立方根 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数 负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数 表示方法 ± ，根指数2可以省略 3，根指数3不可以省略 被开方数的取值范围 被开方数为非负数，即： a ≥ 0  被开方数 a 是任意实数 联系 (1)开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算； (2)0 的平方根和立方根都是0 【知识点03】用计算器求一个数的立方根 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 按键顺序为：先按 键，再输入被开方数，最后按 键.有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明. 【题型一】立方根概念理解 例1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数， 故选：D． 例2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）求x的值：． 【答案】 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是熟练掌握立方根定义，根据立方根定义解方程即可． 【详解】解： 开立方得：， 解得：． 变式1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 变式3．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）求下列各式中的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根概念理解 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知平方根和立方根的定义是解题的关键． 【题型二】求一个数的立方根 例3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）的立方根为（ ） A． B． C． D．没有立方根 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，根据立方根，即可解答． 【详解】解：的立方根是． 故选：C． 例4．（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4) 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据以及立方根的定义进行计算即可； （3）根据以及立方根的定义进行计算即可； （4）根据以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）1的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 1 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握立方根的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：1的立方根是，的立方根是， 故答案为：1，． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． （1）根据立方根的定义计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可； （3）根据立方根的定义计算即可； （4）根据立方根的定义计算即可； （5）根据立方根的定义计算即可； （6）根据立方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3） （4）； （5）； （6）． 【题型三】已知一个数的立方根，求这个数 例5．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 是的立方根， 故选：D． 例6．（24-25七年级下·湖南永州·月考）已知，则x的值为 ． 【答案】0或1或2 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 变式1．（24-25七年级下·四川泸州·期中），则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 变式2．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 【题型四】与立方根有关的规律探索 例7．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 例8．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 变式1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 【题型五】立方根的实际应用 例9．（24-25七年级下·广西百色·期中）七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是明确正方体体积是棱长的立方，会求立方根． 根据正方体体积是棱长的立方，求的立方根即可． 【详解】解：∵正方体体积是棱长的立方， ∴体积为的正方体的棱长是． 故答案为：A． 例10．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 变式1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是 ． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，根据一个正方体的体积是16，则它的棱长是，即可作答． 【详解】解：∵一个正方体的体积是16，且棱长棱长棱长体积， ∴它的棱长是， 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 【题型六】算术平方根和立方根的综合应用 例11．（22-23七年级下·山东济宁·期中）的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先根据算术平方根的定义化简，然后再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 又的立方根是， 的立方根是， 故选：C 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 例12．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出，再求出，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴ ∴ ∴ 变式1．（23-24七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是 ；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ． 【答案】 ， 1或0 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点．立方根等于其本身的数是，；设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a． 【详解】解：立方根等于其本身的数是，； 设这个数为a，由题意知， ， 解得：或0， 故答案为：，；1或0． 变式2．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）已知 的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】的立方根为2． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根．根据平方根和算术平方根的定义，即可得到，然后即可求得a和b的值，进而求得的立方根． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， ， 8的立方根为2． 则的立方根为2． 【题型七】计算器——平方根和立方根 例13．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题主要考查了利用计算器求算术平方根，知道计算器各个按键的功能是解决问题的关键． 根据题意，的算术平方根为，所以必须按的键是根号键． 【详解】解： 算术平方根的计算需按根号键 ， 故选： C． 例14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器计算： ， ， ．（结果精确到0.001） 【答案】 1.287 2.772 5.972 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】使用计算器计算每个立方根，并按照要求将结果精确到0.001； 本题考查了开立方，熟练使用计算器开立方是解题的关键． 【详解】解：使用计算器计算得： ， ， ， 故答案为1.287，2.772，5.972． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算器——平方根和立方根、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了使用计算器求立方根，计算时注意：立方根计算直接使用计算器功能，无需手动估算． （1）先输入被开方数，再使用计算器的立方根功能，即可得出结果， （2）先输入被开方数，再使用计算器的立方根功能，即可得出结果， （3）先输入被开方数，再使用计算器的立方根功能，即可得出结果，保留小数时，严格四舍五入． 【详解】（1）解： 输入 6859，使用计算器的立方根功能（通常为 或 ），得到结果 19． 故． （2）输入 ，使用计算器的立方根功能（通常为 或 ），得到结果 ． 故． （3）输入 ，使用立方根功能，得到结果约为．根据要求保留小数点后三位，需四舍五入：第三位小数为 3，第四位为 9（≥5），因此进位得． 一、单选题 1．的立方根是（    ） A． B．1 C． D．没有立方根 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的立方根是； 故选A． 2．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 3．如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可． 【详解】 解：A、按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； B、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； C、  按键的结果为，原计算结果错误，故此选项符合题意； D、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．下列说法中，不正确的是（   ） A．正数的立方根是正数 B．的立方根是 C．负数和都有立方根 D．是的立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的概念，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据立方根的概念逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、正数的立方根是正数，选项说法正确，不符合题意； B、的立方根是，选项说法正确，不符合题意； C、负数和0都有立方根，选项说法正确，不符合题意； D、的立方根是，是的立方根，选项说法错误，符合题意． 故选：D ． 5．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根与立方根的定义．熟记定义是解此题的关键．由算术平方根、立方根的定义，即可求得答案，注意的算术平方根就是求9的算术平方根． 【详解】解：的立方根是， ∵， ∴的算术平方根是， ∴的立方根与的算术平方根的和是， 故选：B． 6．下列说法正确的是(    ) A．平方根是本身的数只有0; B．立方根是本身的数只有0和1; C．绝对值是本身的数只有0和1; D．相反数是本身的数只有0和1. 【答案】A 【分析】分别根据平方根，立方根，绝对值，相反数的定义即可得出答案. 【详解】解：平方根是本身的数有O，故A正确；立方根是本身的数只有0、1和-1，故B错误；绝对值是本身的数是非负数，故C错误；相反数是本身的数只有0，故D错误. 故答案为A. 【点睛】本题考查了平方根，立方根，绝对值，相反数的定义，灵活运用定义是解题的关键. 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个判断即可． 【详解】A．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项计算正确，故此选项符合题意； D．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，先根据立方根和算术平方根的定义得出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 9．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及非负性，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：①的平方根是，故①错误； ②与相反数，故②正确； ③，则且，解得，，即，故③正确； 0.1的算术平方根是，故④错误； 综上分析可知，正确的是②③，有个， 故选：B． 10．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 二、填空题 11．的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算及求一个数的相反数，根据立方根的运算可知，再由相反数的定义即可解答，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念． 【详解】∵， ∴的相反数是， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值，先分别求出算术平方根，立方根，再化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义，分别求出x和y的值，然后计算它们的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵x是25的算术平方根，y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为 . 【答案】7或1. 【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】∵， ∴的平方根是±3， 即x=±3， ∵64的立方根是y， ∴y=4， 当x=3时，x+y=7， 当x=−3时，x+y=1. 故答案为7或1. 【点睛】此题考查平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、立方根的基本运算. 15．若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出的，，的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】∵的算术平方根为， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∵是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 17．小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据题目所提供的A变换，B变换的意义，有立方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．本题考查立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出， ∵ ∴ ∴不小于的最小整数为3， 即得到的输出数是3； 故①是符合题意； 输入数，经过一次变换，即先求出， 则 ∴得到的输出数是3； 故②是符合题意； ∵输入数经过一次变换得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③是符合题意； ∵再经过一次变换得到1， ∴， ∴， ∴， ∵经过一次变换得到， 即不小于的最小整数是， ∵ ∴的取值范围是． 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 18．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： （1）由，，可知是两位数． （2）由59319的个位数字是9，可知的个位数字是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位数字是3．请应用以上方法计算： ， ， ． 【答案】 27 56 91． 【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：由题意得：题中所给出几个数的立方根都是两位数，根据题中所给的（2）可知：，和的个位数分别为7，6和1， ∵19683去掉后3位得到19，175616去掉后3位得到175，753571去掉后3为得到753， 23＜19＜33，53＜175＜63，93＜753＜103， ∴，和的十位数分别为：2，5和9， ∴，，． 故答案为：27；56；91． 【点睛】本题主要考查了一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 三、解答题 19．用计算器计算（精确到0.01）： (1)； (2)． 【答案】(1)2.84 (2) 【分析】本题考查了用计算器求立方根，解题的关键是： （1）（2）根据计算器的使用方法结合四舍五入法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．求下列各数的立方根： (1)； (2)343； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：， （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以 21．求下列各式中x的值． (1)； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴． 22．若 与 互为相反数，且，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数，立方根的性质，代数式求值． 根据互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，得到两个被开方数互为相反数，再根据互为相反数的和为零可得式子，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵若 与 互为相反数， ∴与互为相反数， ， 则， 所以 ． 23．若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知立方根，算术平方根，平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根的和为0得到即可求出a；根据立方根的定义得到，即可求出b； （2）根据（1）所求结合算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得． 由题意可知：， 解得：． （2）解：∵，， ∴， ∴其算术平方根为6． 24．已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可； （2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵4是的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 64的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义． 25．（1）若与互为相反数，求的值； （2）已知与互为相反数，求的值； （3）已知x、y是实数，且与互为相反数，求的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）7 【分析】本题考查相反数的性质，二次根式的非负性，立方根定义；由二次根式有意义的条件得到方程是解题的关键． （1）根据立方根的定义、相反数的性质求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件构建二元一次方程组，求解，进而求得代数式值． （3）根据非负数的性质得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵与互为相反数， ∴， ∴，， 则． （3）根据题意，得， ∴，， ∴， ∴， 则． 26．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 27．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $