第02讲 平行四边形（知识详解+11典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 平行四边形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形 1.定义：有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形.在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图(1)所示. 2.平行四边形的符号：＂＂表示，如图（2）所示的平行四边形，记作＂＂． 注意：表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 【知识点02】平行四边形的性质 定理1：平行四边形的对边相等。 如图，连接AC. 因为四边形是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得．所以．又因为是和的公共边，所以．由此可得． 定理2：平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴∠B=∠D，∠A=∠C（平行四边形的对角相等） ∵AD//BC, ∴∠A+∠B=180°解得x=60.于是x+60=120.所以，∠B=∠D=60°，∠A=∠C=120°. 定理3：平行四边形的对角线互相平分. 证明：因为四边形是一个平行四边形， 由平行四边形的定义和性质定理1，得AD//BC,AD=BC,由此可得OA=OC,OB=OD. 【知识点03】两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质 (1) 两条平行线之间的距离处处相等；(2) 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法 如图所示，直线 ，在直线 上任取一 点 ，过点 向直线 作垂线，垂足为点 ，则线段 的长即为 ， 两条平行线 之间的距离 注意 (1)距离是指垂线段的长度，它是正数； (2)当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的改变而改变； (3) 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 四边形具有不稳定性. 【知识点04】平行四边形的判定方法 定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如图，连接AC. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得，. 所以，. 又因为AC是和的公共边， 所以 △ ABC≌ △ CDA 由此可得，. 定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 如图，连接. 在和中，因为， 证明：∵ 四边形是一个平行四边形， ∴ 又 ∵ 点分别在边上，， ∴， 即． ∴ 四边形是一个平行四边形． 定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形 在和中，因为，，所以． 由此推出，所以． 由平行四边形的判定定理2，得四边形是一个平行四边形 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则 ． 变式2．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例2．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例3．（22-23八年级下·上海徐汇·期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 变式1．（23-24八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 变式2．如图，在中，是它的一条对角线，求证：．    【题型四】利用平行线间距离解决问题 例4．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积 ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【题型五】四边形的不稳定性 例5．（22-23八年级上·上海·期中）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 变式1．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【题型六】证明四边形是平行四边形 例6．（22-23八年级·上海·期中）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行 B．对角线互相垂直 C．一组对边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 变式1．已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形． 【题型七】判断能否构成平行四边形 例7．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 变式1．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 变式2．如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【题型八】添一个条件成为平行四边形 例8．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【题型九】利用平行四边形的判定与性质求解 例9．如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，，，，，那么的长为 ． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【题型十】利用平行四边形性质和判定证明 例10．已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 变式1．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ． 变式2．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【题型十一】平行四边形性质和判定的应用 例11．（24-25八年级下·上海静安）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 变式1．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 变式2．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　） A．120° B．60° C．30° D．15° 3．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠BEA＝35°，则∠D的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（   ） A．60 B．30 C．20 D．16 5．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 二、填空题 7．如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是 ． 8．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ． 9．如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，如果的周长为23，那么 ．    10．如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ． 11．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 12．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 13．如图，在中，，，，交于点，则的长为 ．    14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为 ． 15．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F，若，，则的面积为 ．（用含m的代数式表示）    16．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 17．如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的 ． 三、解答题 18．▱ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF． 19．如图，已知，，点A、E、F、C在同一直线上且．求证：四边形是平行四边形． 20．已知实数a，b满足式子． (1)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，求斜边长c； (2)如图，在平行四边形中，，，，求四边形的周长． 21．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C，D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为10； （2）在图2中画一个钝角三角形，点E在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，请直接写出的长． 22．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，点M，N分别在，上，连接，． (1)给出以下条件： ①；②； ③． 请你从中选取两个条件证明． (2)在（1）中你所选条件的前提下，添加，则四边形是平行四边形吗？试加以证明． 23．如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4．    (1)求四边形的面积； (2)求证：． 24．如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，点F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD． （1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度； （2）求证：△BCG≌△EAG； （3）直接写出三条线段CD，CE，BE之间的数量关系． 25．如图： (1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：． (2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：． (3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行四边形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形 1.定义：有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形.在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图(1)所示. 2.平行四边形的符号：＂＂表示，如图（2）所示的平行四边形，记作＂＂． 注意：表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 【知识点02】平行四边形的性质 定理1：平行四边形的对边相等。 如图，连接AC. 因为四边形是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得．所以．又因为是和的公共边，所以．由此可得． 定理2：平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴∠B=∠D，∠A=∠C（平行四边形的对角相等） ∵AD//BC, ∴∠A+∠B=180°解得x=60.于是x+60=120.所以，∠B=∠D=60°，∠A=∠C=120°. 定理3：平行四边形的对角线互相平分. 证明：因为四边形是一个平行四边形， 由平行四边形的定义和性质定理1，得AD//BC,AD=BC,由此可得OA=OC,OB=OD. 【知识点03】两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质 (1) 两条平行线之间的距离处处相等；(2) 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法 如图所示，直线 ，在直线 上任取一 点 ，过点 向直线 作垂线，垂足为点 ，则线段 的长即为 ， 两条平行线 之间的距离 注意 (1)距离是指垂线段的长度，它是正数； (2)当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的改变而改变； (3) 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 四边形具有不稳定性. 【知识点04】平行四边形的判定方法 定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如图，连接AC. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得，. 所以，. 又因为AC是和的公共边， 所以 △ ABC≌ △ CDA 由此可得，. 定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 如图，连接. 在和中，因为， 证明：∵ 四边形是一个平行四边形， ∴ 又 ∵ 点分别在边上，， ∴， 即． ∴ 四边形是一个平行四边形． 定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形 在和中，因为，，所以． 由此推出，所以． 由平行四边形的判定定理2，得四边形是一个平行四边形 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，过A作交BD的延长线于M，于N，由平行四边形的性质推出，，则可证明，、A、N共线，再由平行四边形的性质得到的面积，的面积，进而可证明，据此可得答案． 【详解】解：过A作交的延长线于M，于N， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 、A、N共线， 四边形是平行四边形， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则 ． 【答案】5 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查三角形的周长，平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 由平行四边形的周长可求得的长，再根据平行四边形的性质及的周长比的周长多，可得的值，从而不难求得的值，即可解答． 【详解】解：∵的周长为． ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴ 解得， ∴． 故答案为：5． 变式2．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质和勾股定理得到，即可得到的长； （2）根据平行四边形的性质得到，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积为 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例2．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 变式1．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例3．（22-23八年级下·上海徐汇·期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【答案】2 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 变式1．（23-24八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【答案】12或18/18或12 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 变式2．如图，在中，是它的一条对角线，求证：．    【答案】见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，正确掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型四】利用平行线间距离解决问题 例4．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】5 【知识点】利用平行线间距离解决问题、(等腰)梯形的定义 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行线间距离解决问题、利用平行四边形的性质证明 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 【题型五】四边形的不稳定性 例5．（22-23八年级上·上海·期中）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 变式1．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 【题型六】证明四边形是平行四边形 例6．（22-23八年级·上海·期中）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行 B．对角线互相垂直 C．一组对边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】由平行四边形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故选项不符合题意； B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故选项不符合题意； C、由一组邻边相等，一组对角相等，不能判定一个四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D、一组对角相等，一组对边平行，可得到任意两对邻角互补，那么可得到两组对边分别平行，为平行四边形，故选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目． 变式1．已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】连接，与交于点G，根据得到，根据，得到，从而得到，问题得证． 【详解】证明：如图，连接，与交于点G， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 【题型七】判断能否构成平行四边形 例7．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，选项D满足对角线互相平分且一组对边平行的条件． 【详解】解：选项A中，，但无法证明另一组对边平行或相等，可能存在等腰梯形的情况，故排除； 选项B中，，仅说明被平分，但未给出被平分的条件，无法确定四边形为平行四边形； 选项C中，且，但这两个角并非对角，无法通过边角关系直接判定为平行四边形； 选项D中，（即被O平分）；由可得（内错角相等），结合，，可证，从而，此时对角线均被O平分，满足对角线互相平分的判定条件，故四边形为平行四边形． 故选：D． 变式1．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 变式2．如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 【题型八】添一个条件成为平行四边形 例8．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 变式1．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 【题型九】利用平行四边形的判定与性质求解 例9．如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，，，，，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】过点作交于点，过点作于点，得，，证明四边形是平行四边形，得，，继而得到，再利用勾股定理得，∴，最后由可得答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造平行四边形、直角三角形是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【答案】梯形的腰的长为；梯形的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、(等腰)梯形的定义、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作交于点，于点，可证明四边形是平行四边形，则，，因为，所以，而，则，因为，所以是等边三角形，则，，勾股定理确定，进而根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作交于点，于点，则， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 梯形的腰的长为；梯形的面积为 【题型十】利用平行四边形性质和判定证明 例10．已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】由，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴①平行四边形的对角相等，即，正确；②平行四边形的对边平行且相等，即，正确； ③平行四边形的对边平行且相等，即，正确． ∴正确的有：①，②， ③， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 变式1．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行的性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．在解题的时候要注意找准对应平行线所形成的角．由平行推理得是等边三角形，由等边三角形三边相等的性质和平行四边形的性质求出的值． 【详解】解：∵ ∴ 则四边形和四边形都是平行四边形， ∵是等边三角形 ∴三角形是等边三角形， 则， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴． 故答案为：6． 变式2．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 【题型十一】平行四边形性质和判定的应用 例11．（24-25八年级下·上海静安）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 变式1．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形． 【答案】4 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 变式2．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据平行四边形的性质得出的方程，进而解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ，， 设，，可得：， 解得：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，难度不大，注意熟练掌握平行四边形的性质是关键． 2．平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　） A．120° B．60° C．30° D．15° 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得出BCAD，根据平行线的性质推出∠A＋∠B＝180°，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BCAD， ∴∠A＋∠B＝180°， 把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝120° 故选：A． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A＋∠B＝180°是解此题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，∠BEA＝35°，则∠D的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D，AD∥BC，则∠CBE＝∠BEA＝35°，再由角平分线定义得∠ABC＝2∠CBE＝70°，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D，AD∥BC， ∴∠CBE＝∠BEA＝35°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBE＝70°， ∴∠D＝70°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（   ） A．60 B．30 C．20 D．16 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长． 【详解】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∵▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CED， ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD， ∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2， ∴AD=BC=6， ∴CE=BC-BE=6-2=4， ∴CD=AB=4， ∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 5．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可． 【详解】A.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件． B.正确，∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． C.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件． D.错误，∵， ∴，与题目条件重复，无法判断四边形是不是平行四边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 6．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理在网格中的应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据勾股定理和逆定理判断为直角三角形，根据等腰三角形的性质，得出，判断甲正确；连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据，证明，判断乙正确；说明，证明不是直角三角形，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断丙错误． 【详解】解：甲：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故甲正确； 乙：连接，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故乙正确； 丙：∵， ∴， ∴不是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不互余，故丙错误； 综上分析可知：正确的是甲、乙； 故选：A． 二、填空题 7．如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是 ． 【答案】12 【分析】根据平行线间的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线a与b之间的距离就是垂线段PB的长度， ∵， ∴直线a与b之间的距离就是12cm． 故答案为12． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，从平行线上任意一点到另一条直线的垂线段长度称为平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握平行线间的距离的定义是解题的关键． 8．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ． 【答案】平行四边形 【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形． 【详解】证明：∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD=EF，且AD∥EF， 同理可得BC=EF，且BC∥EF， ∴AD=BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 9．如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，如果的周长为23，那么 ．    【答案】9 【分析】根据平行四边形的性质得到，，再根据周长即可求出，从而得到结果． 【详解】解：在中， ，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质推出和的长度． 10．如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定；先说明四边形是平行四边形，可得，再结合已知条件求出，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵的面积是4， ∴， 故答案为：2． 11．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 12．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【详解】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 13．如图，在中，，，，交于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质得，，，进而由勾股定理得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为 ． 【答案】18cm/18厘米 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为9cm，即可求得平行四边形ABCD的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥BD， ∴BE＝DE， ∵△CDE的周长9cm， 即CD+DE+EC＝9cm， ∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×9＝18cm． 故答案为：18cm． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 15．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F，若，，则的面积为 ．（用含m的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；根据线段的和差得到；过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积； 【详解】解：在中，，， ∵， 平分， ， ， ， ， 过作交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等；由平行四边形的性质得，由折叠的性质得，由勾股定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， 由翻折得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 17．如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，可证正确；根据平行四边形对边相等，可证，从而可证成立；根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得：，根据平行线的性质可证，等量代换可得，可证正确， 由可知是直角三角形，可知，根据平行四边形的面积公式可得：，可知错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， , ， , 故正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故正确； 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 平分， 故正确； 由可知， ，， ， ， 故错误． 综上所述，正确的有． 故答案为： ． 三、解答题 18．▱ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF． 【答案】见解析 【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质得出AO=CO，OE=OF，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形DEBF是平行四边形， ∴OA=OC，OE=OF， ∴OA-OE=OC-OF， ∴AE=CF． 【点睛】本题考查了平行四边的性质．熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键． 19．如图，已知，，点A、E、F、C在同一直线上且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】由平行线的性质可得，，证明，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．已知实数a，b满足式子． (1)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，求斜边长c； (2)如图，在平行四边形中，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握相关定理即可． （1）根据即可求解； （2）由题意证四边形是平行四边形，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴ （2）解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∵， ∴， 即. ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∴. ∴四边形的周长 21．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C，D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为10； （2）在图2中画一个钝角三角形，点E在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析， 【分析】（1）画一个平行四边形，使其面积为10即可； （2）以AE为底，则钝角三角形BAE的面积为4即可，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图1，平行四边形ABCD为所作； （2）如图2，△BAE为所作． BE=． 【点睛】本题考查了应用设计与作图，平行四边形的性质，勾股定理．正确结合网格分析是解题关键． 22．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，点M，N分别在，上，连接，． (1)给出以下条件： ①；②； ③． 请你从中选取两个条件证明． (2)在（1）中你所选条件的前提下，添加，则四边形是平行四边形吗？试加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的判定； （1）分别选择两个条件再根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）证明，结合证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：若选①和②，证明如下： 在和中， ， ∴； 若选①和③，证明如下： 在和中， ， ∴； 若选②和③，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是平行四边形， 若选①和②，证明如下： 由（1）可知， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 若选①和③，证明如下： ∵，， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 若选②和③，证明如下： 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 23．如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4．    (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到，同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （2）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． 24．如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，点F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD． （1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度； （2）求证：△BCG≌△EAG； （3）直接写出三条线段CD，CE，BE之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）CD-CE=BE． 【分析】（1）根据勾股定理得出CG，进而利用平行四边形的性质解答即可； （2）延长AE交BC于H，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠AHB=∠HAD，推出∠GAE=∠GCB，则可证明△BCG≌△EAG； （3）根据全等三角形的性质得到AG=CG，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵CG⊥AB， ∴∠AGC=∠BGC=90°， ∵BG=1，BC=， ∴CG==2， ∵∠ABF=45°， ∴BG=EG=1， ∴EC=1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GCD=∠BGC=90°，∠EFC=∠GBE=45°， ∴CF=CE=1， ∴EF=； （2）如图，延长AE交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AB=CD， ∵AE⊥AD， ∴∠AHB=∠HAD=90°， ∴∠BAH+∠ABH=∠BCG+∠CBG=90°， ∴∠GAE=∠GCB， 在△BCG与△EAG中， ， ∴△BCG≌△EAG（AAS）， （3）CD-CE=BE，理由如下： ∵△BCG≌△EAG， ∴BG=GE，CG=AG， ∵∠BGC=90°， ∴BE=BG=GE， ∴AB=BG+AG=CE+EG+BG， ∵BG=EG=BE， ∴CE+BE=AB=CD．即CD-CE=BE． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明△BCG≌△EAG是解题的关键． 25．如图： (1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：． (2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：． (3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）用AAS证明即可； （2）作于M，于N，利用勾股定理和平行四边形的性质即可证明； （3）倍长中线补全图形，证明四边形PQSR是平行四边形，将第二问结论代入数值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴． （2）证明：作于M，于N，如图所示， 在和中， 根据勾股定理得，， ∴， 同理，在和中， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， 联系第一问，易证：， ∴, ∴， 又∵， ∴． （3）延长PT至S，使得，连接QS，RS，如图所示， ∵PT是的中线， ∴， ∴四边形PQSR为平行四边形， ∴，， 由（2）得， ∴， 解得， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识点，第2问运用勾股定理，第3问用倍长中线构造平行四边形是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 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