专题1.2 等腰三角形（寒假预习讲义）（4大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

专题1.2 等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质 1.核心性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等，即若，则。 2.核心性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（需满足“等腰”前提，针对底边和顶角）。 3.拓展性质： 等腰三角形两腰上的高、中线、底角平分线分别相等。 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 知识点2：等腰三角形的判定 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形，。 3.注意事项：“等角对等边”的应用前提是“在同一个三角形中”。 知识点3：等边三角形的性质与判定 类别 性质 判定方法 等边三角形 1.三边相等； 2.三个内角均为； 3.具备等腰三角形的所有性质； 4.三条对称轴 1.三边相等（定义法）； 2.三个角均相等（均为）； 3.有一个角为的等腰三角形 知识点4：反证法 1.定义：先假设命题的结论不成立，推导出与已知条件、定理等矛盾的结果，进而证明原结论成立的证明方法。 2.步骤：①假设结论不成立；②推导矛盾；③否定假设，确认原结论正确。 3.注意：否定结论时需全面（如“至少有一个”的否定是“一个也没有”）。 【基础必考题型】 【题型1】等边对等角的直接应用 1.核心知识点 等腰三角形性质1：。 三角形内角和定理：。 2.解题方法技巧 直接代入：已知一边相等，直接得出对应角相等，结合内角和求未知角。 注意符号：角的对应关系，避免混淆腰和底对应的角。 【例题1】.（25-26八年级上·广西南宁·期末）等腰三角形的顶角为，则它的底角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和定理计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两个底角之和为， 又∵两个底角相等， ∴每个底角为， 故选：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为，再根据三角形内角和定理，顶角等于减去两个底角之和计算即可． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， 另一个底角也为， 三角形内角和为， 顶角， 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，则和的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，由平角的定义可得的度数，同理可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若是等腰三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 故选：D． 【题型2】三线合一的基础应用 1.核心知识点 等腰三角形性质2：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 垂直、平分的定义。 2.解题方法技巧 明确条件：先确认三角形为等腰三角形，再确定“三线”中的一个，推导另外两个（如，是中线，则，平分）。 辅助线构造：需用三线合一时，可作顶角平分线或底边上的中线、高。 【例题2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在等腰中，，，于点D，则 ． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形三线合一可得． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 中，，，于点D， ∴（等腰三角形三线合一）． 故答案为：3． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 【变式题2-2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，然后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：，是边上的高， ，  ． 在中，由勾股定理得： ． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，由等腰三角形三线合一的性质得出，，再由勾股定理即可得出． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， 故选A． 【题型3】等角对等边判定等腰三角形 1.核心知识点 等腰三角形判定定理：。 平行线的性质（角度转化）。 2.解题方法技巧 角度转化：通过平行线、角平分线等转化角度，证明两个角相等，进而判定等腰三角形。 验证前提：确保两个角在同一个三角形中。 【例题3】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知：如图，的高、相交于点O且，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形高的应用，熟练掌握三角形面积公式的应用是解题的关键． 由三角形面积公式得，结合，可得，即可证出是等腰三角形． 【详解】解：∵与是的高， ∴， ∵， ∴， 故是等腰三角形． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，等角对等边，掌握角平分线性质是解题的关键． 由题意可知，结合可得，进而得到，则即可判断B正确，而ACD无法判断． 【详解】的平分线交于点，交的延长线于点， 是的平分线， ， 又， ， ， ，故B正确；而ACD无法判断． 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【培优高频题型】 【题型4】等腰三角形的分类讨论（顶角/底角不确定） 1.核心知识点 等腰三角形的顶角与底角的关系：顶角底角，底角。 三角形内角和定理（内角需大于）。 2.解题方法技巧 分情况讨论：①已知角为顶角；②已知角为底角，分别计算另两个角，排除不符合三角形内角和的情况（如已知角为，只能是顶角，底角为）。 验证合理性：每种情况需保证三个角均为正角。 【例题4】.（25-26八年级上·四川内江·期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，由于未指定是顶角或底角，分类讨论，利用等腰三角形性质及内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形有两个相等的角， 当为顶角时，底角 ； 当为底角时，另一个底角也为， 底角为或， 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·月考）在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为 度． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可知的角可能是顶角，也可能是底角，利用三角形内角和定理，可求解． 【详解】解：当顶角为时，则这个等腰三角形的顶角为； 当底角为时，顶角为， 故答案为：或． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏·月考）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形有两个角相等，需考虑是顶角或底角的情况，分别计算的可能值． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， 分以下两种情况讨论： 情况1：当是顶角时， 则底角相等，即， ∴； 情况2：当是底角时， 此时分两种情形：若也是底角，则； 若是顶角，则另一底角，故． 综上，可能为或或． 【题型5】折叠问题中的等腰三角形 1.核心知识点 等腰三角形的性质与判定。 折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 标注对应关系：折叠后重合的边和角相等，转化为等腰三角形的边或角关系（如折叠后，则为等腰三角形）。 构建方程：设未知角为，结合等腰三角形性质和折叠性质列方程求解。 【例题5】.（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，长方形纸片沿对角线折叠，点落在处，交于，设重叠部分为，给出以下四个结论：①是等腰三角形；②和一定是全等三角形；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后和一定相等．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，，，得出，由折叠的性质得出，，，，得到，继而得出是等腰三角形，①正确， 可证，可得到②③正确，无法得到和相等，进而判断④，即可得到答案． 【详解】解：长方形， ，，，， ， 由题可知， ，，，， ，，， ， 是等腰三角形， ①正确， 在和中， ， ②正确， 是等腰三角形，， 折叠后得到的图形是轴对称图形， ③正确， 折叠后，和不一定相等， ④错误， 综上正确的结论是：①②③， 故选：C ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由三角形内角和定理得到，再由折叠性质得到，，结合等腰三角形性质得到，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， 把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，则，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质、折叠性质是解决问题的关键． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，把长方形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，点A落在处． (1)试说明是等腰三角形； (2)试猜想之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由矩形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，结合等腰三角形的判定及性质，即可求解； （2）由矩形的性质及折叠的性质，结合勾股定理得，则，即可求解； 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ∴是等腰三角形 （2）解：，理由如下： 四边形是长方形， ， 由折叠得：，，，， 由（2）得 ， 在中，， 即． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·福建福州·期中）数学活动--折纸中的探索 【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系． 【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔． 【问题1】（1）如图1，把长方形的纸张沿对角线折叠，重合部分（）是一个等腰三角形吗？为什么？ 【问题2】（2）如图2，①对折长方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平；②再一次折叠纸张，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．求证：； 【问题3】（3）如图3，要求在正方形中折出一个等边三角形，使点，分别在边，上，请画出折痕，并简要说明折叠过程． 【答案】（1）是；理由见解析  （2）证明见解析  （3）见解析 【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质等知识点． （1）由折叠的性质，再根据，得出角相等、边相等即可求解； （2）根据折叠的性质得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质的出各角之间的等量关系，即可求证； （3）仿照问题2中折叠的方法，逐步折叠并画出折痕即可． 【详解】（1）答：重合部分是等腰三角形． 理由：由沿折叠得到， ． ， ， ， ， 重合部分是等腰三角形； （2）证明：连接，如图； 由折叠可知，垂直平分， ， ， 是等边三角形， ． ， ； （3）解：如图3，折叠过程如下： ①对折正方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平； ②折叠纸张，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，得到线段，把纸张展平； ③折叠纸张，使与重合，折痕交于点，得到折痕，把纸张展平； ④折叠纸张，使与重合，折痕交于点M，得到折痕，把纸张展平； ⑤过点，折叠，得到折痕； 就是折叠得到的等边三角形． 【题型6】角平分线+平行线模型（构造等腰三角形） 1.核心知识点 平行线的性质：内错角相等。 等角对等边判定定理。 2.解题方法技巧 模型识别：识别“角平分线+平行线”结构，推导两角相等，进而判定等腰三角形。 快速转化：直接利用模型结论，简化推导过程。 【例题6】.（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，平分平分，且交于M，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出，是解决本题的关键． 根据题意得出，确定，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：平分平分 ∵， ，， ， ，． ， 故答案为：10． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，平分，平分．那么的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键．由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：C． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行线的性质得，由折叠的性质得，从而，进而可证是等腰三角形； （2）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型7】等腰三角形的构造法 1.核心知识点 “2圆一垂”构造原理：以已知线段两端为圆心、线段长为半径画圆（获取腰相等的顶点），作线段垂直平分线（获取底边相等的顶点）。 等腰三角形判定定理：两边相等的三角形是等腰三角形。 2.解题方法技巧 排除与AB共线的重合点，确保构造的三角形为有效三角形（三顶点不共线）。 【例题7】.（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可． 【详解】解：①作， ∴ ∴是等腰三角形； ②作， ∴， ∴是等腰三角形； ③作， ∴，， ∴， ∴和是等腰三角形； ④在上取， ∴是等腰三角形， ∴这样的点有个． 故答案为：4． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【详解】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 【变式题7-2】.（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． 　　 (1)画出关于直线l对称的； (2)在直线l上画一点P，使得最短； (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，等腰三角形的定义． （1）分别作出的顶点关于直线的对称点，顺次连接可得； （2）作直线与直线l的交点即为点P； （3）分别以B和C两点为圆心，长为半径作圆，从而得出符合条件的格点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；   ； （2）解：如上图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，在正方形网格中存在5个格点、与B、C两点构成以为腰的等腰三角形， 故答案为：5． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有1个，则满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可． 【详解】解：①如图1，当时，即，以M为圆心，以1为半径的圆交于点P，此时， 则点P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好只有一个． ②如图2．当时，即，过点M作于点P， ∵， ∴． ∴， 作的垂直平分线交于点，则． 此时，以点P，M，N构成的等腰三角形的点恰好有2个． 则当时，点M到的距离大于1，则，，在上只能找一点P使，即以点P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 综上分析可知，当或时，以点P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 故答案为：或． 【题型8】新定义问题（等腰三角形拓展） 1.核心知识点 等腰三角形的性质与判定。 新定义规则（如“和谐等腰三角形”“伴随角”）。 2.解题方法技巧 解读定义：明确新定义的条件。 分类讨论：结合等腰三角形性质，分情况验证新定义条件，列方程求解。 假设否定结论：假设底角为直角或钝角，推导与三角形内角和矛盾的结果，进而证明原结论成立。 【例题8】.（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题主要考查的新定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理的运用，理解新定义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·江西吉安·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)①不是，②该三角形是可爱三角形，理由见解析； (2)的长为或． 【分析】本题考查了新定义“可爱三角形”，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，根据“可爱三角形”的定义即可判断； ②直接根据“可爱三角形”的定义即可判断； （2）分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长， ， ∴等腰直角三角形一定不是“可爱三角形”， 故答案为：不是； ②由题意得：， ，， ， ∴该三角形是可爱三角形； （2）解：是直角三角形，， ，即， ∵是可爱三角形，， ∴有三种情况： ，即 ， ， （负值已舍去）； ，即 （负值已舍去）； ，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·全国·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，以及勾股定理，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键． 根据“倍长三角形”的定义，分两种情况讨论：①底边是腰的2倍；②腰是底边的2倍．利用三角形三边关系检验，只有情况②成立，此时腰长为8．再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理即可求解． 【详解】∵等腰是“倍长三角形”，底边， ∴有两种情况： ①若，则，但此时，不能构成三角形，不符合题意； ②若，则，此时三边满足三角形三边关系，符合题意． ∴． 设的中点为D，则． ∵等腰三角形底边中线也是高， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 【题型9】动态问题中的等腰三角形存在性 1.核心知识点 等腰三角形的判定。 动态几何：点在线段或直线上运动，探究等腰三角形的存在性。 2.解题方法技巧 定边分类：以某条线段为腰或底边，分别讨论点的位置（如直线上找一点，使为等腰三角形，分、、三种情况）。 几何计算：利用距离公式或角度关系确定点的位置，排除重合情况。 【例题9】.（22-23九年级上·广西南宁·月考）如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分点M在O点下方或点M在O点上方两种情况，分别根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】 解：当点M在O点下方时， ∵， ∴当时， ∴， 解得， 当点M在点A上方时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得， ∴或， 故选：C． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·福建南平·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)或时，是等腰三角形，见解析 (2)或时，是直角三角形，见解析 【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可； （2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 （2）解：当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴，      解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)①；②见解析 【分析】（1）由题意可得是等边三角形，推出当为的中点时，，此时是直角三角形，得到，即可求解； （2）根据题意可得：，，进而得到，由是等边三角形，可得，分两种情况：当时，当时，根据含角的直角三角形的性质，列出关于的方程即可求解； （3）①根据三角形的外角性质可得，推出是等腰三角形，此时只能使，然后证明是直角三角形，再列出关于的方程即可求解；②过点作交于点，过点作于点，可得是等边三角形，推出，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解： ， 是等边三角形， 当为的中点时，，此时是直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）根据题意可得：，， ， 是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， 解得：； 当时，， ， ，即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）① 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形，此时只能使， ，， ，， ， ， ， 解得：， 当为时，是等腰三角形， 故答案为：； ②证明：如图，过点作交于点，过点作于点， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和的高均为， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 易错点 1.分类讨论不全：已知角为等腰三角形的一个角时，未分顶角和底角讨论；已知边为腰或底时，未分情况验证三角形三边关系。 2.三线合一应用错误：忽略“等腰三角形”前提，误将任意三角形的中线、高、角平分线等同；或混淆“底边上的中线”与“腰上的中线”。 3.等角对等边的前提遗漏：未确认两个角在同一个三角形中，直接判定边相等。 4.反证法逻辑错误：假设结论不全面（如“至少有一个”否定为“一个也没有”），或推导过程未出现矛盾。 重点 1.熟练掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（定义法、等角对等边），能灵活转化边与角的关系。 2.理解等边三角形的特殊性（既是等腰三角形，又是特殊的锐角三角形），掌握其性质与三种判定方法。 3.运用分类讨论思想解决等腰三角形的边角计算问题，避免漏解。 4.能将实际问题转化为等腰三角形几何模型，运用性质解决实际应用。 难点 1.动态问题中等腰三角形的存在性分析：分情况讨论点的位置，结合几何计算验证，排除不合理情况。 2.截长补短法的应用：构造全等或等腰三角形，实现线段关系的转化，需具备较强的几何构造能力。 3.反证法的逻辑推理：正确假设结论的否定形式，通过演绎推理推导矛盾，逻辑链条需严谨。 4.复杂几何图形中等腰三角形的识别与构造：从多个三角形组成的图形中，分离等腰三角形结构，或通过辅助线构造等腰三角形。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，根据等腰三角形的性质，底角相等，再结合三角形内角和定理计算的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 解得， 故选：B． 2．等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和外角定理，等腰三角形的一个外角为，则其对应内角为，该内角可能是顶角或底角，需分类讨论底角可能值，解题时需注意内角可能为顶角或底角，避免漏解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其对应内角为， 当为顶角时，则底角为， 当为底角时，则底角为， 综上所述，底角为或， 故选：C． 3．如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是（   ）    A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并求出的取值范围是解题的关键． 先通过等腰三角形“三线合一”的性质，确定是边上的高和中线，同时平分顶角；再利用含角的直角三角形性质求出的长度，得到的最小值；结合得到的最大值，从而确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于，   ， ，， ， ， ， ， 的长度不可能是3， 故选：A． 4．等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质． 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，判断角为顶角，进而计算底角． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为， 又∵角若为底角，则两底角之和为，不符合题意， ∴角为顶角， ∴两底角之和为， ∴每个底角为． 故选：A． 5．如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交于点H，则，，由，得，则，所以，而，，即可根据“”证明，得，，由，得，可判断A选项；可推导出可判断B选项；假设成立，则，因为D、E都是动点，所以不总是成立的，可知不总是成立的，可判断C选项；因为，，所以，可判断D选项． 【详解】解：作交于点H，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故A结论不成立． ∵，， ∴，故B结论成立． 假设成立， ∵， ∴， ∵D、E分别是线段、线段延长线上的动点， ∴不总是成立的， ∴不总是成立的，即C结论不成立； ∵，， ∴，故D结论不成立． 故选：B． 6．如图，在中，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据角平分线的定义即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：． 二、填空题 7．如图，已知中，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形定理和等边对等角，由得 由得，再由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：，∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，先得出等腰三角形的一个内角是，则这个角只能是顶角，再根据三角形内角和求出底角即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其对应的内角为， 若是底角，则两底角之和为，不成立。 ∴这个的角只能是顶角， ∴它的底角的度数为， 故答案为：． 9．已知为等腰三角形，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解． 【详解】如图，过点A作于点D， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，，点是延长线上的一点，动点从点出发，沿射线以的速度移动，动点从点出发，沿射线以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等腰三角形的定义列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时， ∵，是等腰三角形， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得； 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 即， 解得； 综上，当或时，是等腰三角形， 故答案为：或． 11．如图，在中，，，D为的中点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是利用倍长中线法构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度． 首先延长到，使，连接，构造，利用全等三角形的性质可求，，从而可得，从而可得：． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 为的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 在中，． 故答案为：． 三、解答题 12．在中，． (1)已知，则 ， ； (2)已知，则 ， ； (3)已知有一个角等于，则其余两个角分别是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意等边对等角定理的应用． （1）由在中，，根据等边对等角的性质，可得，然后由三角形内角和定理，求得两个角的度数； （2）由在中，，根据等边对等角的性质，可求得的度数，然后由三角形内角和定理，求得的度数； （3）如果有一个角等于，要分两种情况讨论：①当顶角为时，求出两个底角即可；②当底角为时，求出另外一个底角和顶角即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴． ∴． 故答案为：，． （3）解：如果有一个角等于，有以下两种情况： ①当顶角为时，即， ∴； ②当底角为时，即， ∴ 综上所述：其余两个角分别是，或，． 13．如图，在中，，D是的中点，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及平角的定义，利用等腰三角形三线合一的性质，通过全等三角形证明角的关系，进而证明垂直即可． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在和中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先根据，，，证明，故，最后由等角对等边，得，即可作答． 【详解】证明： ，，， ． ． ． 15．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，尺规作图作角平分线，勾股定理． （1）根据等腰三角形三线合一，作的平分线交于点D，则即为所求； （2）根据等腰三角形三线合一得到，，由勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵，是边上中线， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴的面积． 16．已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据对应角相等得出，根据等角对等边可得． 【详解】证明：在与中， ， ， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质 1.核心性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等，即若，则。 2.核心性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（需满足“等腰”前提，针对底边和顶角）。 3.拓展性质： 等腰三角形两腰上的高、中线、底角平分线分别相等。 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 知识点2：等腰三角形的判定 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形，。 3.注意事项：“等角对等边”的应用前提是“在同一个三角形中”。 知识点3：等边三角形的性质与判定 类别 性质 判定方法 等边三角形 1.三边相等； 2.三个内角均为； 3.具备等腰三角形的所有性质； 4.三条对称轴 1.三边相等（定义法）； 2.三个角均相等（均为）； 3.有一个角为的等腰三角形 知识点4：反证法 1.定义：先假设命题的结论不成立，推导出与已知条件、定理等矛盾的结果，进而证明原结论成立的证明方法。 2.步骤：①假设结论不成立；②推导矛盾；③否定假设，确认原结论正确。 3.注意：否定结论时需全面（如“至少有一个”的否定是“一个也没有”）。 【基础必考题型】 【题型1】等边对等角的直接应用 1.核心知识点 等腰三角形性质1：。 三角形内角和定理：。 2.解题方法技巧 直接代入：已知一边相等，直接得出对应角相等，结合内角和求未知角。 注意符号：角的对应关系，避免混淆腰和底对应的角。 【例题1】.（25-26八年级上·广西南宁·期末）等腰三角形的顶角为，则它的底角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，则和的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若是等腰三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】三线合一的基础应用 1.核心知识点 等腰三角形性质2：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 垂直、平分的定义。 2.解题方法技巧 明确条件：先确认三角形为等腰三角形，再确定“三线”中的一个，推导另外两个（如，是中线，则，平分）。 辅助线构造：需用三线合一时，可作顶角平分线或底边上的中线、高。 【例题2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在等腰中，，，于点D，则 ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．6 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 【题型3】等角对等边判定等腰三角形 1.核心知识点 等腰三角形判定定理：。 平行线的性质（角度转化）。 2.解题方法技巧 角度转化：通过平行线、角平分线等转化角度，证明两个角相等，进而判定等腰三角形。 验证前提：确保两个角在同一个三角形中。 【例题3】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知：如图，的高、相交于点O且，求证：是等腰三角形． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【培优高频题型】 【题型4】等腰三角形的分类讨论（顶角/底角不确定） 1.核心知识点 等腰三角形的顶角与底角的关系：顶角底角，底角。 三角形内角和定理（内角需大于）。 2.解题方法技巧 分情况讨论：①已知角为顶角；②已知角为底角，分别计算另两个角，排除不符合三角形内角和的情况（如已知角为，只能是顶角，底角为）。 验证合理性：每种情况需保证三个角均为正角。 【例题4】.（25-26八年级上·四川内江·期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为（       ） A． B．或 C． D．或 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·月考）在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为 度． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏·月考）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【题型5】折叠问题中的等腰三角形 1.核心知识点 等腰三角形的性质与判定。 折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 标注对应关系：折叠后重合的边和角相等，转化为等腰三角形的边或角关系（如折叠后，则为等腰三角形）。 构建方程：设未知角为，结合等腰三角形性质和折叠性质列方程求解。 【例题5】.（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，长方形纸片沿对角线折叠，点落在处，交于，设重叠部分为，给出以下四个结论：①是等腰三角形；②和一定是全等三角形；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后和一定相等．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题5-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，把长方形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，点A落在处． (1)试说明是等腰三角形； (2)试猜想之间的关系，并说明理由． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·福建福州·期中）数学活动--折纸中的探索 【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系． 【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔． 【问题1】（1）如图1，把长方形的纸张沿对角线折叠，重合部分（）是一个等腰三角形吗？为什么？ 【问题2】（2）如图2，①对折长方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平；②再一次折叠纸张，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．求证：； 【问题3】（3）如图3，要求在正方形中折出一个等边三角形，使点，分别在边，上，请画出折痕，并简要说明折叠过程． 【题型6】角平分线+平行线模型（构造等腰三角形） 1.核心知识点 平行线的性质：内错角相等。 等角对等边判定定理。 2.解题方法技巧 模型识别：识别“角平分线+平行线”结构，推导两角相等，进而判定等腰三角形。 快速转化：直接利用模型结论，简化推导过程。 【例题6】.（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，平分平分，且交于M，若，则 ． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，平分，平分．那么的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【变式题6-2】.（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【压轴素养题型】 【题型7】等腰三角形的构造法 1.核心知识点 “2圆一垂”构造原理：以已知线段两端为圆心、线段长为半径画圆（获取腰相等的顶点），作线段垂直平分线（获取底边相等的顶点）。 等腰三角形判定定理：两边相等的三角形是等腰三角形。 2.解题方法技巧 排除与AB共线的重合点，确保构造的三角形为有效三角形（三顶点不共线）。 【例题7】.（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有 个． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【变式题7-2】.（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． 　　 (1)画出关于直线l对称的； (2)在直线l上画一点P，使得最短； (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有1个，则满足的条件是 ． 【题型8】新定义问题（等腰三角形拓展） 1.核心知识点 等腰三角形的性质与判定。 新定义规则（如“和谐等腰三角形”“伴随角”）。 2.解题方法技巧 解读定义：明确新定义的条件。 分类讨论：结合等腰三角形性质，分情况验证新定义条件，列方程求解。 假设否定结论：假设底角为直角或钝角，推导与三角形内角和矛盾的结果，进而证明原结论成立。 【例题8】.（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·江西吉安·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·全国·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为 ． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【题型9】动态问题中的等腰三角形存在性 1.核心知识点 等腰三角形的判定。 动态几何：点在线段或直线上运动，探究等腰三角形的存在性。 2.解题方法技巧 定边分类：以某条线段为腰或底边，分别讨论点的位置（如直线上找一点，使为等腰三角形，分、、三种情况）。 几何计算：利用距离公式或角度关系确定点的位置，排除重合情况。 【例题9】.（22-23九年级上·广西南宁·月考）如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【变式题9-1】.（24-25八年级上·福建南平·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【变式题9-3】.（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 易错点 1.分类讨论不全：已知角为等腰三角形的一个角时，未分顶角和底角讨论；已知边为腰或底时，未分情况验证三角形三边关系。 2.三线合一应用错误：忽略“等腰三角形”前提，误将任意三角形的中线、高、角平分线等同；或混淆“底边上的中线”与“腰上的中线”。 3.等角对等边的前提遗漏：未确认两个角在同一个三角形中，直接判定边相等。 4.反证法逻辑错误：假设结论不全面（如“至少有一个”否定为“一个也没有”），或推导过程未出现矛盾。 重点 1.熟练掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（定义法、等角对等边），能灵活转化边与角的关系。 2.理解等边三角形的特殊性（既是等腰三角形，又是特殊的锐角三角形），掌握其性质与三种判定方法。 3.运用分类讨论思想解决等腰三角形的边角计算问题，避免漏解。 4.能将实际问题转化为等腰三角形几何模型，运用性质解决实际应用。 难点 1.动态问题中等腰三角形的存在性分析：分情况讨论点的位置，结合几何计算验证，排除不合理情况。 2.截长补短法的应用：构造全等或等腰三角形，实现线段关系的转化，需具备较强的几何构造能力。 3.反证法的逻辑推理：正确假设结论的否定形式，通过演绎推理推导矛盾，逻辑链条需严谨。 4.复杂几何图形中等腰三角形的识别与构造：从多个三角形组成的图形中，分离等腰三角形结构，或通过辅助线构造等腰三角形。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D． 或 3．如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是（   ）    A．3 B．5 C．6 D．7 4．等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 5．如图在等腰三角形中，，动点D在线段上，动点E在线段的延长线上，线段交于点F，当时，下列等式总是成立的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，已知中，，则 °． 8．等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为 ． 9．已知为等腰三角形，，，若，则 ． 10．如图，，点是延长线上的一点，动点从点出发，沿射线以的速度移动，动点从点出发，沿射线以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 11．如图，在中，，，D为的中点，，则的长是 ． 三、解答题 12．在中，． (1)已知，则 ， ； (2)已知，则 ， ； (3)已知有一个角等于，则其余两个角分别是 ． 13．如图，在中，，D是的中点，连接．求证：． 14．如图，在和中，，．求证：． 15．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的面积． 16．已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $