相似与圆的性质综合、相似与平行四边形的性质综合专项训练-2026年中考数学一轮复习

相似与圆的性质综合、相似与平行四边形的性质综合专项训练 相似与圆的性质综合、相似与平行四边形的性质综合专项训练 考点目录 相似与圆的性质综合 相似与平行四边形的性质综合 考点一 相似与圆的性质综合 例1．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是圆O的切线． （2）解：如图：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：． ∴，， ∴， ∴， ∴圆O的半径为． 例2．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，三角形中，点为上一点，过，，三点作圆，是圆的直径，连接，给出如下信息：①；②是圆的切线；③． (1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明． (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）选择①③作为条件，②作为结论， 证明：， ， ， ， 由圆周角定理得，， 是圆的直径， ，即， ，即， 是圆的切线； 选择①②作为条件，③作为结论， 证明：是圆的切线， ， 是圆的直径， ，即， 由圆周角定理得，， ， ， 选择②③作为条件，①作为结论， 证明：是圆的切线， ， 是圆的直径， ，即， 由圆周角定理得，， ， ， ； （2）取的中点，连接， ， ， 在中， 设，则 ， ， ， ，即， 的半径为 例3．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，直线与圆相切于点，是圆的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与圆交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若圆的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 例4．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）连接， ∵切于是的半径， （2）∵为所对圆周角， ∴， ∴． 连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ∴设则 ， ∴， ， ， ， ． 变式1．（2025·青海·模拟预测）如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，点D为弧中点，的延长线上有一点E，与圆O相切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【详解】（1）证明：∵点D为弧中点， ∴， ∴， ∵为圆O直径，与圆O相切于点D， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵为圆O直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴． 变式2．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，内接于圆O，，作的平分线，分别交、圆O于点E、P，过点A作的平行线与的平分线交于点D，．    (1)求证：为圆O的切线． (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，如图，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是圆O的半径， ∴为圆O的切线； （2）解：连接并延长交于点H，连接，如图，    由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 设圆O的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：． ∴圆O的半径为． 变式3．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接． (1)求证：； (2)求证：是圆O的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【详解】（1）证明：为的直径， ，即， 又， ； （2）证明：连接，如图， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 为的切线， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3），， ， ， 在中， ， ， ． 是的直径， ， ． ， ， ， ， ． 变式4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，是的角平分线，以O为圆心，为半径作圆O． (1)求证：是圆O的切线； (2)已知交圆O于点E，延长交于点D，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点作于， ∵平分， ∴， 即点在圆上， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 设，圆的半径为r，则， 在中，， 解得：或（舍）， 则， ， ， ， 设， 根据（1）可得， ∴， 则， 在中，， 解得（舍去）或， ， ， ． 考点二 相似与平行四边形的性质综合 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2．（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或． 【详解】（1）解：，， ． 在中，设，由得． ，即， 解得（负值舍去）． ． 在中，根据菱形的性质． 对动线长为：． 故答案为： （2）解：如图，延长和交于点 ， ，． ， ． ． ， ，． ． 和a的数量关系为：． （3）解：当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：；． 过点E作． ，则，． 由可得． ． ，即． 解得：． 在中，，即， ， ．即 解得：． ． 由勾股定理可得：． 即： 解得：． 故． ，则，． 同理由可得． 解得． 由和，可得，． 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得：． 则． 故的长度为或． 当，时，如图： 同理可求的长度为：或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或或或或或． 例3．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中，， 在中，． 故答案为：2；． （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． ②如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 例4．（2025·河南周口·三模）综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． （1）任务1：初步探究． 求证：． 创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． （2）任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． 开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． （3）任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点 ∴ ∴ ∴． （2）， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，过点作于点 同理（1）可得 ∵，， ∴， ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，则 ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 在中， ∴ 解得：． ∴． 变式1．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． (1)的长为___________； (2)连接，求的大小； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 【答案】(1)5 (2)为 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：D落在对角线上，如图，过点作于点，设交延长线于点， 由题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴,， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 变式2．（24-25九年级上·四川巴中·月考）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)求的值； (3)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平行四边形的面积为． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：∵平行四边形对角线的交点为O， ，，， ， ， ∵P为的中点， ， 设， 则，， ， 解得：， ， ， ； （3）解：设，则，， 在中， ， 在中， ， ， 解得：负值舍去， ，， ，， 菱形的面积． 变式3．（2025·湖南长沙·一模）【课本再现】 思考： 我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形的对角线互相垂直． 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 通过观察，可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）为了证明该判定定理，小南同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请根据定义完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②． 【详解】解：（1）∵四边形平行四边形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）①∵四边形平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 变式4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，矩形中，，，点，分别在边，上，且，连接，，并以，为边作平行四边形． (1)连接，求的长度； (2)求平行四边形周长的最小值； (3)当平行四边形为正方形时如图，连接，分别交，于点、，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴，，， ∵ ∴ ∴ （2）作点关直线的对称点，连接交于点，连接，，点在上是一个动点， ∴，， ∴， 当点不与点重合时点、、可构成一个三角形， ， 当点与点重合时点、，在同一条直线上， ∴， ∴当点于点重合是，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形周长的最小值为：． （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 综合所述，：的值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似与圆的性质综合、相似与平行四边形的性质综合专项训练 相似与圆的性质综合、相似与平行四边形的性质综合专项训练 考点目录 相似与圆的性质综合 相似与平行四边形的性质综合 考点一 相似与圆的性质综合 例1．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 例2．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，三角形中，点为上一点，过，，三点作圆，是圆的直径，连接，给出如下信息：①；②是圆的切线；③． (1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明． (2)若，，求圆的半径． 例3．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，直线与圆相切于点，是圆的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与圆交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若圆的半径，，，求的长． 例4．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 变式1．（2025·青海·模拟预测）如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，点D为弧中点，的延长线上有一点E，与圆O相切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，则 ． 变式2．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，内接于圆O，，作的平分线，分别交、圆O于点E、P，过点A作的平行线与的平分线交于点D，．    (1)求证：为圆O的切线． (2)若，求圆O的半径． 变式3．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接． (1)求证：； (2)求证：是圆O的切线； (3)若，求的长． 变式4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，是的角平分线，以O为圆心，为半径作圆O． (1)求证：是圆O的切线； (2)已知交圆O于点E，延长交于点D，，求的值． 考点二 相似与平行四边形的性质综合 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 例2．（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 例3．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 例4．（2025·河南周口·三模）综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． （1）任务1：初步探究． 求证：． 创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． （2）任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． 开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． （3）任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 变式1．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． (1)的长为___________； (2)连接，求的大小； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 变式2．（24-25九年级上·四川巴中·月考）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)求的值； (3)若，，求平行四边形的面积． 变式3．（2025·湖南长沙·一模）【课本再现】 思考： 我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形的对角线互相垂直． 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 通过观察，可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）为了证明该判定定理，小南同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请根据定义完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的值． 变式4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，矩形中，，，点，分别在边，上，且，连接，，并以，为边作平行四边形． (1)连接，求的长度； (2)求平行四边形周长的最小值； (3)当平行四边形为正方形时如图，连接，分别交，于点、，求：的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $