精品解析：江苏省苏州市振华中学校 2025一2026学年第一学期初一年级期末测试 数学试卷

苏州市振华中学校 2025-2026学年第一学期初一年级期末测试 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值为（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项的概念，需注意只有同类项才能合并．根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变逐项求解即可． 【详解】解：、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用方法和注意事项是关键． 用科学记数法表示数的形式为，其中，n为整数，逐一判断即可． 【详解】解：，只有选项C符合． 故选：C． 4. 若，则下列式子中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解决本题的关键是根据不等式的基本性质得到各选项的正确结果，再根据得到的结果判断正误． 【详解】解：A．，根据不等式的基本性质一，可得：，故A选项错误； B．，根据不等式的基本性质一，可得：，故B选项正确； C．，根据不等式的基本性质三，可得：，故C选项错误； D．，根据不等式的基本性质二，可得：，故D选项错误． 故选：B． 5. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故选：C． 6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一、书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 鸡的价钱是固定不变的，根据两种出钱方式分别表示鸡价，并令其相等即可列出方程． 【详解】设共有x个人， ∵每人出9钱，盈11钱， ∴鸡价； ∵每人出6钱，不足16钱， ∴鸡价； ∵鸡价不变， ∴． 故选：A． 7. 某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， 故选：B． 8. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ） A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， … 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故选B． 考点：规律型：图形的变化类． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知，则的余角的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据两角互余和为；求的余角的度数即可． 【详解】解：的余角的度数为． 故答案为：． 10. 单项式的次数是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，单项式中所有字母的指数之和为该单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：单项式中，字母的指数是2，字母的指数是2， 因此次数为， 故答案为：4． 11. 若与互为相反数，求的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相反数定义和非负数的性质．根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算与代数式的化简，掌握整体代入思想是解题关键． 将表达式化简后，利用已知条件整体代入计算． 【详解】解：已知可得， 则． 故答案为：． 13. 将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数的和都相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面识别，方程思想的应用，代数运算，准确找到相对面是解题关键． 先确定正方体展开图中各面的相对关系，再根据“相对面的数之和相等”建立等式，求出和的值，最后计算． 【详解】解：据图可知，折叠成正方体后，与相对，与相对，与相对， 相对面上两个数的和都相等， ， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，外角，则____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，邻补角的性质，掌握邻补角的性质是解题关键． 先通过邻补角的性质求出，再利用三角形内角和定理算出． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，将长方形纸条折叠，若，则_______ °． 【答案】68 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），先利用平角定义可得：，然后利用折叠的性质可得：，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：68． 16. 已知数轴上的、两点对应的数字分别为、，点，同时分别从，出发沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位/秒，点的运动速度为个单位/秒，点是线段的中点，若运动过程中，线段的长度是一个固定的值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上的动点表示，线段中点的性质，代数式的化简与恒定性分析，用代数式表示线段是解题关键． 设两点运动的时间为秒，然后用含时间的代数式表示、，进而表示的长度，再根据为固定值的条件，令含的项的系数为，即可求出． 【详解】解：设两点运动的时间为秒，已知， 则，， 点是的中点， ， ， 可知当，的长度固定为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序是解题关键． 按照有理数混合运算的顺序，先计算乘方、绝对值和括号内的部分，再进行乘法运算，最后合并加减得到结果． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，先根据去括号法则，合并同类项法则对式子进行化简，再代入a，b求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 解一元一次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，根据解一元一次方程的方法求解即可，掌握去分母解一元一次方程的方法是解题的关键，注意符号变换． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 解得． 解集在数轴上表示如下： 21. 如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． （1）与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线性质和判定，三角形内角和定理，是解题的关键． （1）根据平行线和性质与判定定理解答； （2）根据角平分线定义得，可得，运用三角形内角和定理求出，即得． 【小问1详解】 解：，理由如下： 因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 22. 如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． （1）将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； （2）过点画的垂线，垂足为； （3）过点画的垂线，交于点E； （4）线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 【答案】（1）平行 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，网格中的垂线作图，垂线段最短，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质，直接得出与的位置关系； （2）利用网格的垂直特性，过点作竖直线与 交于，得到垂线； （3）根据的格数特征，过点作的垂线，延长该线与交于点，得到垂线； （4）根据垂线段最短即可得出、、这三条线段的大小关系． 【小问1详解】 解：已知向右平移个单位，再向上平移个单位至， 平移不改变线段的方向， 则与的位置关系为平行． 答：平行． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ． 答：． 23. 如图，已知线段，延长至，使得． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，线段中点的有关计算，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． （1）先求出，再求出即可； （2）先根据中点定义得出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：是的中点，是的中点， ， ． 24. 已知关于的方程， （1）若该方程的解满足，求的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最小整数解，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵该方程的解满足， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． ∵该方程的解是不等式的最小整数解， ∴， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 25. 如图，在同一水平地面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为平方米，高为米；容器乙的底面积为平方米，高为米．已知原本容器甲中盛满了水，而容器乙中的水位高度为米．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水立方米．设注水时间为分钟． （1）注水分钟后，甲容器中水位的高度表示为______，乙容器中水位的高度表示为______；（用含的代数式表示） （2）经过多长时间，甲、乙两个容器中水位的高度相差米？ 【答案】（1）， （2）分钟或分钟 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据长方体体积公式，结合注水速度和容器底面积，推导出甲、乙容器水位高度关于时间的代数式； （2）分“甲水位比乙高米”和“乙水位比甲高米”两种情况，建立一元一次方程并求解，得到两种符合条件的时间． 【小问1详解】 解：容器甲中盛满了水，底面积为平方米， 容器甲中水位原高度为米， 注水分钟后水位高度为； 容器乙中水位原高度为米，底面积为平方米 注水分钟后乙容器的水位高度为， 当容器乙被注满时，水位上升了米，则此时注入水的体积为， 容器甲中全部水的体积为，， 最大注水时间为分钟， ， 故两个容器水位高度分别为，． 答：，． 【小问2详解】 解：分两种情况讨论， 当甲容器中的水位比乙容器高， 则， 解得； 当乙容器中的水位比甲容器高， ， 解得． 综上，经过分钟或分钟，两个容器水位相差米． 答：分钟或分钟． 26. 综合与实践 定义：我们称关于的方程与方程（、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程与方程互为“轮换方程”． （1）判断：①与；②与；③与；其中互为“轮换方程”的有______；（填写序号） （2）若关于的方程与方程互为“轮换方程”，求的值； （3）若关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，对于多项式和，不论取多少，A与的和始终等于整数，求常数p的值． 【答案】（1）①② （2） （3）常数p的值为5 【解析】 【分析】（1）根据“轮换方程”的定义直接可得答案； （2）根据“轮换方程”得出，求出，即可得出答案； （3）关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，求出或，再根据不论取多少，A与的和始终等于整数，求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”， ①方程与方程互为“轮换方程”，故①正确； ②方程与互为“轮换方程”，故②正确； ③方程与不互为“轮换方程”，故③错误． 故答案为：①②． 【小问2详解】 解：∵关于的方程与方程互为“轮换方程”， ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：关于的方程的“轮换方程”为：， 由方程得：， 由方程得：， ∵关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数， ∴或， ， ∵多项式和，不论取多少，A与的和始终等于整数， ∴， 解得：， 综上分析可知，常数p的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，整式加减运算，能够正确理解概念是解题的关键． 27. 将2块直角三角板（和）按如图1所示的方式摆放，点E在上，，，，的平分线交所在直线于点F． （1）的度数是____°； （2）将绕点C旋转，的平分线交所在直线于点G． ①如图2，若绕点C从图1位置逆时针旋转度（），当时，求的度数； ②如图3，若绕点C从图1位置顺时针旋转度（），在旋转过程中，的度数是否发生变化，如果不变，请求出的度数，如果发生变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②，不变．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由，得，由，得． （2）①求出，由，得，由角平分线定义得，由和角平分线定义得，得，即得；②设，得，得；由，得，即得． 【小问1详解】 解：∵，，点E在AC上， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴的度数是22.5°． 故答案为：22.5． 【小问2详解】 解：①如图，∵，， ∴， 当时，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②．不变．理由： 设， ∵平分, ∴， ∴； ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角板角度的计算，熟练掌握三角板的特征，角平分线有关计算，旋转性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市振华中学校 2025-2026学年第一学期初一年级期末测试 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值为（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 4. 若，则下列式子中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一、书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ） A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知，则的余角的度数为________． 10. 单项式的次数是_______． 11. 若与互为相反数，求的值为________． 12. 已知，则______． 13. 将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数的和都相等，则______． 14. 如图，在中，，外角，则____°． 15. 如图，将长方形纸条折叠，若，则_______ °． 16. 已知数轴上的、两点对应的数字分别为、，点，同时分别从，出发沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位/秒，点的运动速度为个单位/秒，点是线段的中点，若运动过程中，线段的长度是一个固定的值，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解一元一次方程：． 20. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． （1）与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． （2）若平分，，求的度数． 22. 如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． （1）将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； （2）过点画的垂线，垂足为； （3）过点画的垂线，交于点E； （4）线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 23. 如图，已知线段，延长至，使得． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 24. 已知关于的方程， （1）若该方程的解满足，求的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 25. 如图，在同一水平地面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为平方米，高为米；容器乙的底面积为平方米，高为米．已知原本容器甲中盛满了水，而容器乙中的水位高度为米．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水立方米．设注水时间为分钟． （1）注水分钟后，甲容器中水位的高度表示为______，乙容器中水位的高度表示为______；（用含的代数式表示） （2）经过多长时间，甲、乙两个容器中水位的高度相差米？ 26. 综合与实践 定义：我们称关于的方程与方程（、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程与方程互为“轮换方程”． （1）判断：①与；②与；③与；其中互为“轮换方程”的有______；（填写序号） （2）若关于的方程与方程互为“轮换方程”，求的值； （3）若关于的方程与其“轮换方程”的解都是整数，也为整数，对于多项式和，不论取多少，A与的和始终等于整数，求常数p的值． 27. 将2块直角三角板（和）按如图1所示的方式摆放，点E在上，，，，的平分线交所在直线于点F． （1）的度数是____°； （2）将绕点C旋转，的平分线交所在直线于点G． ①如图2，若绕点C从图1位置逆时针旋转度（），当时，求的度数； ②如图3，若绕点C从图1位置顺时针旋转度（），在旋转过程中，的度数是否发生变化，如果不变，请求出的度数，如果发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $