精品解析：安徽省滁州中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一期末试卷 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为a，b，c，则其面积，其中．现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 3 二､多选题：本题共3小题､每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式中，正确是（ ） A. B. C D. 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的有（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D. 函数在上单调递增 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角（正角）的弧度数为__________ 13. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 14. 风车发电是指把风的动能转为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°．现有一座风车，塔高70米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且4秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面30米）.设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数关系式为______，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为______秒． 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 17. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天()，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ①；②；③，其中含的项的系数均不为0. （1）请根据表格数据从①，②，③中选择一个最合适的函数模型，求出其函数解析式，并预测第4天时的舆论场指数； （2）若本次舆情不是严重的，求的最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，生成函数. （1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围. （2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末试卷 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求，再求交集. 【详解】，， 所以. 故选：B 2. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同角的定义计算确定角的象限即可. 【详解】因为，其中，故的终边在第四象限． 故选:D． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】，则，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】若，则成立，充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的性质可得即可利用正切函数的性质求解不等式得解. 【详解】由题意可得则，解得， 故选：B 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由（且，且），得，从而得到与互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果． 【详解】∵（且，且）， ∴，∴， ∴，函数与函数互为反函数， ∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性. 故选：B． 7. 古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为a，b，c，则其面积，其中．现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入海伦公式之后，用基本不等式计算最大值. 【详解】由题意可知， ， ， 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以ab的最大值为16， 所以三角形面积的最大值． 故选：A． 8. 表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过对题目的分析，将函数分情况讨论，转化为分段函数后求解最小值即可. 【详解】令得或，则， 所以函数在上单调递减，当时，， 当时，，此时， 函数在上单调递增，当时，， 故， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题､每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦的差角公式即可求解A，根据正切的二倍角以及和差角公式可判断BC，根据余弦的二倍角公式可判断D. 【详解】对于A, ，A正确， 对于B, ,B正确， 对于C, ，C错误， 对于D, ,故D正确， 故选：ABD 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D. 函数在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】根据周期可求解，代入平衡点可得，即可求解函数的解析式，代入验证即可判断AB，根据函数图像平移的性质即可求解C，根据整体法，结合余弦函数的性质可求解D. 【详解】由函数的图象，可得，解得，又，所以A正确； 又，且，所以，即，故B错误； ，将该函数的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数为，所以C错误； 当时，，所以函数在上单调递增，所以D正确. 故选：AD. 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角（正角）的弧度数为__________ 【答案】3 【解析】 【分析】设扇形的半径为,圆心角为，进而结合题意得，再解方程即可得答案. 【详解】设扇形的半径为,圆心角为， 因为扇形的弧长和面积的数值都是6， 所以，解得， 所以扇形圆心角（正角）的弧度数为 故答案为： 13. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，运算求解，并结合单调性检验即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，即，解得或， 若，则在上单调递减，符合题意； 若，则在上单调递增，不符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 14. 风车发电是指把风的动能转为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°．现有一座风车，塔高70米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且4秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面30米）.设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数关系式为______，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为______秒． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）设，根据函数的最值求出的值，根据函数的周期求出的值，根据函数图象上的点求出即得解； （2）解不等式即得解. 【详解】解：（1）设， 由题得， 又， 又函数的图象过点（0,30），所以， 所以. 所以. （2）令， 所以, 所以. 当时，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为秒. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平方关系及角的范围求得，再根据商数关系即可求. （2）应用诱导公式化简目标式，由（1）所得结果代入求值即可. 【小问1详解】 因为sin α＝，则，又<α<， 所以，则. 所以. 【小问2详解】 原式==. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 17. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天()，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ①；②；③，其中含的项的系数均不为0. （1）请根据表格数据从①，②，③中选择一个最合适的函数模型，求出其函数解析式，并预测第4天时的舆论场指数； （2）若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数据的增长速度，选择指数型函数刻画数据，再结合已知数据求函数解析式，再求的值即可. （2）问题转化为不等式，恒成立，结合换元法与二次函数的单调性，可求的最小值. 【小问1详解】 因为舆论场指数，，，增长速度越来越快，所以应该选择模型③来刻画数据. 由题意得：. 因为； 由. 所以， 将代入，可得. 将，代入，可得. 所以函数解析式为. 令，得，即预测第4天时的舆论场指数为. 【小问2详解】 因为本次舆情不是严重的，即在时恒成立. 所以，. 设，，则. 又在上单调递增，所以. 所以. 所以的最小值为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得，利用三角函数的周期公式即可求解； （2）令，解出即可求解； （3）令，得，即，令，得，解出，要使函数有两个零点，只需，解出即可求解. 【小问1详解】 由， 所以函数的最小正周期为 【小问2详解】 令，解得， 的单调递减区间为； 【小问3详解】 令，即， (*)， 令， ，即， 由(*)可得，即，解得， 当时，对应原方程有一个根， 要使函数有两个零点，只需， 综上，实数的取值范围是. 19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数. （1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围. （2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由. 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可； （2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案． 【小问1详解】 由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上有解， 等价于在上有解， 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最大值，故. 【小问2详解】 设，则. 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以.所以 . 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增， 在单调递增，，且当时取到“=”. ，又在区间的最小值为， ，且，此时，.所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的对称性确定、的关系，化简得：，通过换元法结合已知条件确定. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $