精品解析：江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高二（20班）数学试题

高二20班上学期数学期末测试 一､单选题 1. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（    ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据，依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084，371（超出299，舍去），169，285，074，360（超出299，舍去），295（与前样本重复，舍去），418（超出299，舍去），315（超出299，舍去），726（超出299，舍去），049， 故得到的第7个样本编号是049， 故选：C. 2. 某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：，这八人成绩的第60百分位数是.若在该小组随机选取两名学生，则得分都比低的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】，故这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数， 即，在该小组随机选取两名学生共有种情况， 其中得分都比低的有种， 所以所求概率 故选：C 3. 某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ） A. 抽取男生的样本量为40 B. 估计该校高三学生身高的均值为165 C. 抽样时女生甲被抽到的概率为 D. 估计该校高三学生身高的方差为19 【答案】C 【解析】 【分析】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C. 【详解】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本. 则抽取男生的样本量为，A选项错误； 男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19， 则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误； 抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确； 估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误； 故选：C. 4. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和为1求参数值，再由频率直方图求众数、百分位数、中位数、平均数依次判断各项正误. 【详解】由题设，可得，A错； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，B错； 由， 则样本数据的第分位数在内， 设为，则，可得，C对； 由平均数为， 由图易知中位数在内，设中位数为，则，可得， 所以中位数大于平均数，D错. 故选：C. 5. 下列说法中，错误的有（ ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布对称性和偶函数定义可判断④. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，则， 令，则， 所以，， 因为正态曲线关于直线对称，所以， 所以是偶函数，故④正确. 综上，错误的只有①. 故选：A. 6. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式以及事件之间的关系可得的值，再根据可得，结合条件概率公式与对立事件概率关系即可得所求. 【详解】若， 则，所以，故， 所以，所以， 所以， 则. 故选：C. 7. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ） A. 投掷2次骰子，最终得分的期望为 B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D. 设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【解析】 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， ， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. 8. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种 【答案】D 【解析】 【分析】先涂3区域，然后涂1区域，然后涂5区域，进而分若1和5区域同色与不同色两种情况求解即可. 【详解】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法， 然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为； 若1和5区不同色，一共的涂法种数为. 故一共的涂色总数为. 故选：D. 二､多选题 9. 某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A. 若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C. 若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案． 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，剩余4人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 在语文、B在数学，剩余3人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理（），最后1人去语文或数学（），方案数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D正确. 故选：BCD． 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，正内切圆即为球的截面大圆，又正的边长为2，求出球的半径，得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，求出正三角形的边长和面积，求出；D选项，动点的轨迹是圆，可得，故，因此，由均值不等式得到，故D正确. 【详解】A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上， 又等边三角形的边长为2，所以，， 则球的半径， 所以球的表面积，故A正确； B选项，圆锥的侧面积，故B错误； C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为， 则，故， 故三角形的面积为， 即，故C正确； D选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， ，故，是边，的中点，可得，， ， 则有，故， 又，故， 即，因此， 由均值不等式，得，即， 当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 展开式中含项的系数为_____ 【答案】20 【解析】 【分析】应用两项乘积的二项式展开式计算求解系数即可. 【详解】展开式的通项公式为， ， 展开式的一般项为 由，得，符合题意； 展开式的一般项为 由，得(舍去)， 所以含项的系数为. 故答案为：20. 13. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将题意转化为，即存在两个不同的零点，设，分和，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案. 【详解】令，得， 设，显然在上单调递增， 而，则， 依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得. 故答案为：. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】分析抛一次骰子得1分以及得3分的概率，从而计算最终得分的概率，计算期望值；设得1分的次数为，计算得1分次数为次时总得分为分的概率，列不等式组计算概率最大时的值，从而求出的值. 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 【点睛】思路点睛：得分由扔骰子过程中出现1分的次数和出现3分的次数决定，所以求得分的概率先设出现1分的次数，再计算的概率，列不等式组求出概率最大的的值，再计算. 四､解答题 15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1），线性相关性很强 （2），8.5万元 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【小问1详解】 由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； 【小问2详解】 由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 16. 小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完. （1）求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率； （2）在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望； （3）记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）设小霞第1次抽到棒棒糖模型为事件，第4次恰好吃完2支棒棒糖为事件，利用条件概率公式进行求解； （2）写出的可能取值和对应的概率，得到分布列，并计算出数学期望； （3）求出第（）次抽到第一支棒棒糖，第次抽到第2支棒棒糖的概率，结合等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设小霞第1次抽到棒棒糖模型为事件，第4次恰好吃完2支棒棒糖为事件， 所以事件意味着第1次抽到棒棒糖模型，第4次抽到棒棒糖， 则第2次和第3次中有一次抽到1次棒棒糖，1次棒棒糖模型， 则，， 故； 【小问2详解】 的可能取值为2，3，4， ，即两次均抽到棒棒糖模型，， ，即两次中，1次抽到棒棒糖模型，1次抽到棒棒糖，， ，两次均抽到棒棒糖，， 所以分布列如下： 2 3 4 故数学期望为； 【小问3详解】 恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完， 设第（）次抽到第一支棒棒糖，则第次抽到第2支棒棒糖的概率为 ， 所以 17. DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 55 45 100 合计 120 80 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先进行零假设，接着计算卡方值，依据卡方值即可求解； （2）（i）先求出甲、乙同时回答第道题时，甲得分为的概率，接着求出甲获胜时的得分可能的取值及其概率即可求甲获胜的概率；（ii）先设事件“比赛结束后甲获胜”的概率，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”，接着求出即可由求解. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关. 【小问2详解】 （i）当甲、乙同时回答第道题时，甲得分为， ，，. 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 则，， ， 所以比赛结束后甲获胜的概率 （ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， 其中甲三道题都做对，乙对一道错两道的概率为：， 其中一题两人均对，一题两人均错，一题甲对乙错的概率为： ， 其中一题甲错乙对，另两题甲均对，乙错的概率为：， ，由（1）知， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 18. 已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点. （1）求体积的最大值； （2）若. （i）时，求外接球的表面积； （ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）为定值， 【解析】 【分析】（1）根据棱锥体积公式可确定当平面时，四棱锥体积取得最大值，将该体积最大值表示为关于的函数，利用导数可求得最终结果； （2）（i）以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球球心为，根据球心到各个顶点的距离相等可构造方程求得球心坐标和半径，验证可知在该球上，结合球的表面积公式可求得结果； （ii）设，由此可得，根据线面垂直的判定可构造方程组求得的值，进而得到点坐标，由此可表示出，根据向量模长运算可求得结果. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，作，垂足为，连接， ，，，， ，又， ； ，，， 为中点，是边长为的等边三角形，， ，，即； ，，， 即，，又，平面， 平面，又平面，， ，平面，平面， ， 若四棱锥体积最大，则， 此时； 令，则， 令，解得：， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即四棱锥体积最大值为. 【小问2详解】 由（1）得：为中点，，即，又， 即为二面角的平面角，， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，过作轴平面，可建立如图所示空间直角坐标系， （i）当时，，，，，， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，则， ，解得：，， 此时，即点在三棱锥的外接球上， 三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 四棱锥外接球的表面积. （ii）由题意知：，，，，，， ，，， 三点共线，平面即为平面， 设，则， ， 平面， ，解得：， ，又，， 又， ， ，即的长度为定值，定值为. 19. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. （1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； （2）记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； （3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【小问1详解】 设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . 【小问2详解】 设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. 【小问3详解】 不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔” “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二20班上学期数学期末测试 一､单选题 1. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（    ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A. B. C. D. 2. 某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：，这八人成绩的第60百分位数是.若在该小组随机选取两名学生，则得分都比低的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ） A. 抽取男生的样本量为40 B. 估计该校高三学生身高的均值为165 C. 抽样时女生甲被抽到的概率为 D. 估计该校高三学生身高的方差为19 4. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 5. 下列说法中，错误的有（ ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知，则（　　） A. B. C. D. 7. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ） A. 投掷2次骰子，最终得分的期望为 B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D. 设最终得分为分的概率为，则 8. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种 二､多选题 9. 某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A. 若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C. 若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案． 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正整数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 三､填空题 12. 展开式中含项的系数为_____ 13. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 四､解答题 15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 16. 小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完. （1）求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率； （2）在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望； （3）记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求. 17. DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 55 45 100 合计 120 80 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点. （1）求体积的最大值； （2）若. （i）时，求外接球的表面积； （ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由. 19. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. （1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； （2）记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； （3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $