27.3位似（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦“位似”核心知识点，系统梳理位似图形的定义（相似、对应点连线交于一点、对应边平行）、坐标关系（原点为位似中心时坐标比为k或-k）及作图步骤，承接相似图形知识，搭建从一般相似到特殊位似的学习支架。 资料题型丰富，含选择、填空、解答题，如位似比与面积计算、坐标变换、位似中心确定及视力表实际应用等，培养几何直观、推理意识与应用意识。课中辅助教师巩固知识，课后助力学生通过多样题型查漏补缺，强化对位似概念和性质的理解。

27.3位似（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 1．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 2．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【题型演练】 一、单选题 1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 2．以原点为位似中心，作的位似图形与的位似比为3.若点的坐标为，则点的坐标为（　　）. A． B．或 C． D．或 3． 如图，与是位似图形，点是位似中心，若：：，的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的周长与周长之比为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在4×7的方格中，点A，B， C， D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　） A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4 6．在平面直角坐标系中，已知点E（－6，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，位似比为 ，把△EFO缩小，则点F的对应点F′的坐标是（　　） A．（－1，－1） B．（1，1） C．（－4，－4）或（4，4） D．（－1，－1）或（1，1） 7． 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点A 的坐标为(-2，4).若以原点O 为位似中心，作与△AOB 的位似比为 的位似图形 则点 A 的对应点A'的坐标是 (　　) A．(-1，2) B．(-1，2)或(1，-2) C．(-4，8) D．(-4，8)或(4，-8) 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是　 　． 10．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(4，0)，O(0，0)，B(2，6)，以点O为位似中心，将△AOB在第一象限缩小，若点B的对应点 的坐标(1，3)，则 的比值为　 　． 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C是位似图形，位似中心是原点O，已知点A （2，a）、A' （4，b），则△ABC与△A' B' C'的相似比是　 　 12．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为　 　 13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 　 　． 三、解答题 15．如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为．找出图中所有的平行线及所有的相似三角形，相似三角形的相似比是多少？并说明理由． 16．如图，以点M为位似中心，画出四边形ABCD的位似四边形A1B1C1D1，使得四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为2：1． 17．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． （1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF； （2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1． 18．如图，一张矩形张贴广告的印刷面积是32平方分米，上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长(A'B')为x分米，四周空白处的面积为S平方分米． （1）求S关于x的函数表达式． （2）当要求四周空白处的面积为18平方分米时，用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？ （3）在第(2)题的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？ 19．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； 20．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔． 画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N． 原理： 连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）； ②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）； ③，于是可得O，A，E三点在一条直线上； ④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的． 21．视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． ​​ 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， OB：OE＝2：3， ∴S△ABC：S△DEF=(2：3)2=4：9， ∵△ABC的面积为4， ∴S△DEF=9 故答案为：D． 【分析】根据位似图形的性质可得S△ABC：S△DEF=(2：3)2=4：9，再结合△ABC的面积为4，即可得到S△DEF=9。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得点C'的坐标为：（12，3）或（-12，-3）. 故答案为：D. 【分析】若原图形上点的坐标为(x，y），以原点为位似中心，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵与是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，△OAB∽△ODE， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为3， ∴. 故答案是：D. 【分析】根据位似可得△ABC∽△DEF，△OAB∽△ODE，再利用相似三角形的性质即可求解. 4．【答案】A 【解析】【解答】解： ∵与位似，位似中心为点， ∴∽， ∴的周长与周长之比为=OC：OF=3：2. 故答案为：A. 【分析】由位似的性质可得∽，根据相似三角形的性质即可求解. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接CA和DB，并延长交于一点，这一点即是位似中心， ∴位似中心为P1. 故答案为：A. 【分析】根据位似图形的作法原理，先连接CA，DB，并延长，则交点即是它们的位似中心，即可作答. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点 ，以原点O为位似中心，位似比为 ， ∴点F的对应点 的坐标为， 或 ， 即点F的对应点 的坐标为 ， ， 故答案为：D. 【分析】根据位似比，给点F的横纵坐标分别乘以-或就可得到点F′的坐标. 7．【答案】C 【解析】【解答】分别连接OA，DB，EC，如图所示： ∵对应点的连线交于一点G， ∴点G为位似图形的位似中心， ∵点G的坐标为（4，2）， ∴位似图形的位似中心为（4，2）， 故答案为：C. 【分析】利用位似图形的定义求出位似中心，再求解即可. 8．【答案】B 9．【答案】1∶3 【解析】【解答】解：∵B（0，1），D（0，3）， ∴OB=1，OD=3， ∴ ， ∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB与△OCD的相似比是1∶3． 故答案为：1∶3 【分析】先求出OB和OD的长，再求出，最后根据位似图形的性质可得：△OAB与△OCD的相似比是1∶3。 10．【答案】 【解析】【解答】解：如图， ∵ 的坐标(1，3) ，B(2，6) ∴位似比为1：2 ∴ ． 故答案为 ． 【分析】根据相似三角形的性质可得。 11．【答案】1：2 【解析】【解答】解：∵ △ABC与△A'B'C是位似图形， ∴△ABC∽△A'B'C， ∵点A （2，a）、A' （4，b） ， ∴△ABC∽△A'B'C的相似比是1：2. 故答案为：1：2. 【分析】根据位似图形的性质可得△ABC∽△A'B'C，再利用点A、B的坐标求出相似比即可. 12．【答案】（-3，1）或（3，-1） 【解析】【解答】解∶ 以点为位似中心，按的比例把缩小， 点的对应点的坐标为∶ 或， 即（-3，1）或（3，-1）， 故答案为：∶（-3，1）或（3，-1） 【分析】利用位似图形的性质求解即可。 13．【答案】（8，4） 【解析】【解答】∵等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，， ∴A'（4，0），B'（4，8）， ∴AA'=4-2=2， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴∠CAA'=45°， ∴A'C=AA'=2， ∴点C的坐标为（4，2）， ∴点C'的坐标为（8，4）， 故答案为：（8，4）. 【分析】先求出AA'=4-2=2，再利用等腰直角三角形的性质可得A'C=AA'=2，可得点C的坐标，再求出点C'的坐标即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F， ∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形， ∴BC∥DE， ∴△OBC∽△ODE， ∴， ∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6， ∴ 解得，BC=2，OB=3， ∴OA=1， ∵CA=CB，CF⊥AB， ∴AF=1， 由勾股定理得， ∴OF=OA+AF=2， ∴点C的坐标为 故答案为：． 【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标. 15．【答案】解：∵EF∥BC，GF∥DC， ∴△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC； ∵ 四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比=AG：AD=AE：AB， ∴相似比都为：. 【解析】【分析】根据位似图形的定义可得EF∥BC，GF∥DC，然后由平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC；再根据相似三角形的性质可得相似三角形的相似比为. 16．【答案】解：当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的同一侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A1，B1，C1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，如图：即为所求. 当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的两侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A2，B2，C1，以点M为圆心，A2M和B2M的长为半径，在AM和BM的延长线上确定点A1，B1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，如图：即为所求. 【解析】【分析】结合题意，当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的同一侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，找到DM的中点D1，AM的中点A1，BM的中点B1，CM的中点C1，连接D1A1，A1B1，B1C1，即为所求；当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的两侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A2，B2，C1，以点M为圆心，A2M和B2M的长为半径，在AM和BM的延长线上确定点A1，B1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，即为所求. 17．【答案】（1）解：如图②，△DFE为所作； 由题意可得： 而， ∴△ABC与△DEF相似． （2）解：如图③，△A1B1C1为所作； 【解析】【分析】（1）利用网格特点和相似的判定定理“SSS”，画出边长为的△DEF即可； （2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O=2AO，延长BO到B1使B1O=2BO，延长CO到C1使C1O=2CO，再顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1就是所求的三角形． （1）解：如图②，△DFE为所作； 由题意可得： 而， ∴△ABC与△DEF相似． （2）如图③，△A1B1C1为所作． 18．【答案】（1）解：因为印刷部分的面积是32平方分米， 印刷部分从上到下的长A'B'是x分米， 则印刷部分从左到右的宽B'C'是分米， 故， 整理得：. （2）解：当S=18，即， 整理得：x2-16x+64=0， 解得：x1=x2=8． 经检验x=8是原方程的解， 故印刷部分从左到右的宽是分米； 所以用来印刷这张广告的纸张的长为8+2=10分米，宽为4+1=5分米． （3）解：内外两个矩形是位似图形．理由如下： ∵，， ∴， 所以内外两个矩形是相似图形， 又∵两矩形的中心重合， ∴内外两个矩形是位似图形． 【解析】【分析】（1）根据题意表示出B'C'的值，根据矩形的总面积=印刷面积+空白部分面积即可列出关系式，即可求解； （2）让（1）的式子等于18即可求得印刷部分的长，进而就能求出这张广告的纸张的长和宽； （3）先结合题意求得，结合对应角为直角，可得内外两个矩形是相似图形，根据两矩形的中心重合，可判断内外两个矩形是位似图形． 19．【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作. A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6） 【解析】【分析】根据位似图形的定义作出图象，再利用平面直角坐标系直接写出点坐标即可。 20．【答案】解：连接，，如图， ①∵， ∴ ∴△OAD和△OEC是等腰三角形， ∴∠，∠ ∴∠，∠ ②∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ③∵ ∴，，三点在一条直线上； ④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形， ∴其倍数比为三角形的边长比即：， 又，且 ∴ 即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的． 故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。 21．【答案】（1）解：． ①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上， ①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 是相似比， ． （2）解：， ． ． 答：②号“E”的测量距离是． 【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解； （2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $