20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时 勾股定理的逆定理）课件-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第一课时 勾股定理的逆定理 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形． 2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用． 3. 会认识并判断勾股数． 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ 如图给出了确定直角的一种方法： 把一根长绳打上等 距离的13个结， 然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距 的长度为边长， 用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角 便是直角. 上述方法意味着： 如果围成三角形的三边长分别为3，4，5， 它们满足关系“ 32 + 42 = 52 ”， 那么围成的三角形是直角三角形. 一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 观察 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.5² + 6² = 6.5²”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 由上面的尝试，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形. 这个猜想就是勾股定理的逆命题.下面证明这个猜想。 如图 (1)，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a² + b² = c². 求证 △ABC 是直角三角形. 直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形. 如图 (2)，作一个Rt△A'B'C'，使 B'C' = a，A'C' = b，∠C' = 90°. 根据勾股定理，A'B'² = B'C'² + A'C'² = a² + b². 因为 a² + b² = c²，所以 A'B' = c. 在 △ABC 和 △A'B'C' 中，BC = a = B'C'，AC = b = A'C'，AB = c = A‘B’， 所以 △ABC ≌△A'B'C' (SSS).因此 ∠C = ∠C' = 90°，即 △ABC 是直角三角形. 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据. 教材P35 例题 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 8，b = 15，c = 17； (2) a = 14，b = 13，c = 15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 8，b = 15，c = 17； (2) a = 14，b = 13，c = 15. 解：(1) 因为 8² + 15² = 64 + 225 = 289，17² = 289，所以 8² + 15² = 17². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 解：(2) 因为 14² + 13² = 196 + 169 = 365， 15² = 225，所以 14² + 13² ≠ 15². 根据勾股定理， 由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. 对于例1(2)，如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a² + b² = c².事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形. 1.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3)一个三角形的三边长a，b，c 满足a∶b∶c＝1∶1∶ . 解：(1)∠B＝180°－25°－65°＝90°.因此△ABC 是直角三角形. (2)在△ABC 中，∵ AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2， 因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角. (3)设a＝x，则b＝x，c＝x. 由x2＋x2＝(x)2，知a2＋b2＝c2. 因此该三角形是直角三角形. 变式训练 直角三角形的判定方法 (1)用角判定：①(定义法)有一个角为90°的三角形是直角三角形； ②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形； (2)用边判定：勾股定理的逆定理. 教材P36 练习 课内练习 1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a = 4，b = 5，c = 6； (2) a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4； (3) a = ，b = ，c = ； (4) a = 1，b = ，c = . 解： (1) ∵ 4² + 5² = 16 + 25 =41，6² = 36，∴ 4² + 5² ≠ 6². 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. (2) ∵ 0.7² + 2.4² = 0.49 + 5.76 = 6.25，2.5² = 6.25，∴ 0.7² + 2.4² = 2.5². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. (3) ∵ ()² + ()² = + = ，()² = ，∴ ()² + ()² ≠ ()². 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. (4) ∵ 1² + ()² = 1 + 2 = 3，()² = 3，∴ 1² + ()² = ()². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 2. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆，三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3.若 S1 + S2 = S3，判断 △ABC 是不是直角三角形，并说明理由. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： S1 = π ()² = πAB²，S2 = π ()² = πBC²， S3 = π ()² = πAC². ∵ S1 + S2 = S3 ，∴ πAB² + πBC² = πAC²， ∴ AB² + BC² = AC². 根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是直角三角形. 基础巩固题 知识点1 勾股定理的逆定理 1.【2025山东青岛期末】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们 摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】，，，， ， ，， 长度为7，24，25的三根木棒能摆成直角 三角形；长度为15，20，25的三根木棒能摆成直角三角形，这两个直角三角形共 用一条斜边，斜边长度为25.故选C. 2.关于，有下列条件：； ； ；，其中,,分别为 的三边 长；.其中能确定 是直角三角形的有( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】①因为 ，，所以 ，所以 是直角三角形；②因为 ，所以 是直角三角形； 时，令,,,因为 ，所以 是直角三角形；④因为，即 ,所 以是直角三角形；⑤因为 ，所以 ，所以是锐角三角形.故能确定 是直 角三角形的有4个.故选C. 17 3.【2024广东揭阳校级期末】的三边长,, 满足 ,则 的面积是_____. 180 【解析】， 解得 ，是直角三角形, 其面积为 . 18 知识点2 勾股数 4.下列各组数中，是勾股数的是( ) B A.，，1 B.3，4，5 C.，， D.1，2， 【解析】A选项，三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；B选项， ，是勾股数，符合题意；C选项，三个数都不是整数，不是勾股数， 不符合题意；D选项，三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意.故选B. 归纳总结 ①一组勾股数中的三个数必须是正整数. ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数. ③常用的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12， 19 能力提升题 11，60，61 5.[2025扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为__________． 2 6.[2025天津期中]如图，已知AD∥BC，以B为圆心，BC的长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF＝________． 证明：连接BE，∵D是AB边的中点， DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE. 又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2， 即BE2＝BC2＋CE2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°. 7.如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2．　 (1)求证：∠C＝90°； (2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长． 解：在Rt△BDE中，BE＝＝10，∴AE＝10. 设CE＝x，则AC＝10＋x.∵BD＝8，∴AB＝2BD＝16， 在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2， 在Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2， ∴162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8. 8.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．若PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数． 解：连接DP，由旋转得∠DCP＝60°＝∠ACB，CD＝CP， ∴∠ACB－∠ACP＝∠DCP－∠ACP，即∠ACD＝∠BCP. 又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCP，∴∠BPC＝∠ADC， AD＝PB＝6. ∵∠DCP＝60°，CD＝CP， ∴△DCP是等边三角形，∴∠CDP＝60°，DP＝CP＝8. ∵AP＝10，∴AD2＋DP2＝AP2， ∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°， ∴∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝150°，∴∠BPC的度数为150°. 勾股定理 的逆定理 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 内容 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a² + b² = c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 课堂小结 教科书第36页练习 第1，2题 布置作业 $