第二十章勾股定理 （小模块.·微专题·.大压轴） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 - 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 -----【小模块·微专题·大压轴】《勾股定理》专题突破 【专题简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，还看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1利用勾股定理求线段长 模块9勾股定理应用十大类型 模块2 利用勾股定理求图形面积 微专题1求直角三角形斜边上的高——等积法 模块3 勾股树问题 微专题2勾股定理中的分类讨论思想 模块4 勾股定理中的网格问题 微专题3勾股定理中的方程思想 模块5 勾股定理的证明 微专题4勾股定理中数形结合思想 模块6与弦图有关的计算与证明 压轴1 求几何体中最短路径问题——转化法 模块7构造直角三角形用勾股定理解决问题 压轴2 勾股定理中的折叠问题 模块8 勾股定理逆定理应用 模块通关·举一反三 【模块一】 利用勾股定理求线段长 【例1】如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是，且，连接AB．以点A为圆心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（　　） A． B． C．1 D． 【变式1-1】如图，在中，在CA、CB上分别截取CD、CE，使，分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点F，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则点M到AC的距离为 ． 【变式1-2】图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 【变式1-3】（25-26•济宁市嘉祥县八上期中）如图所示，在中，，，点D是线段BC上的一个动点(不与B、C重合)，若线段AD的长为整数，则AD的长度为 ． 【模块二】 利用勾股定理求图形面积 【例2】意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，直线上有三个正方形a，b,c，若a,c的面积分别为2和4，则正方形b的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式2-2】如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（　　） A．16 B．26 C．34 D．9 【模块三】勾股树问题 【例3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【变式3-1】如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是 ． 【变式3-2】如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【变式3-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【模块四】勾股定理中的网格问题 【例4】如图，图①、②是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段AB的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以AB为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上． (1)在图①中以AB为腰画等腰； (2)在图②中以AB为底画等腰，且顶角为锐角，并写出的面积． 【变式4-1】如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【变式4-2】在如图的网格中，以AB为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式4-3】图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出线段AB的垂直平分线EF，保留作图痕迹． 【模块五】勾股定理证明 【例5】我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【变式5-2】【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【变式5-3】项目研究 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在中，，以直角三角形的三条边为边分别向外作正方形，边，边，边的长分别用来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形及正方形．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含的代数式表示）． 【模块六】与弦图有关的计算与证明 【例6】 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【变式6-1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为13，求小正方形的边长． 【变式6-2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【变式6-3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【模块七】构造直角三角形用勾股定理解决问题 【例7】．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站p使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式7-1】如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面4.5m，任何东西只要移至该灯5m及5m内范围，灯就自动发光．已知小军身高1.5m，若他走到CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【变式7-2】（25-26八年级上·江西省抚州市期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且．测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【变式7-3】如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【模块八】勾股定理逆定理应用 【例8】已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 【变式8-1】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【变式8-2】如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【变式8-3】如图，，分别是和中垂线，，分别交于点F，D．若，，，则△的面积为 ． 【模块九】勾股定理应用十大类型 【例9】（梯子滑落高度）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【变式9-1】（求旗杆高度）五星红旗是中华人民共和国的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：小明组员：小亮，小红，小颖 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 3米 图2中的长度 9米 问题解决 任务 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． 【变式9-2】（求大树折断前的高度）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．4.2尺 B．4.55尺 C．5.45尺 D．5.8尺 【变式9-3】（水杯中筷子问题 ）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ． 【变式9-4】（ 航海问题 ）如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 【变式9-5】（求河宽 ）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【变式9-6】（台阶上地毯长度）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【变式9-7】（判断汽车是否超速）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了10s．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【变式9-8】（是否受台风影响）如图，铁路和公路在点O处交会，点A到的直线距离为120m．公路上点A处距离点O处240m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 【变式9-9】（选址使到两地距离相等）如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为A和B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C、D两村到该候车点的距离相等．则候车点E应距A点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【变式9-10】（求最短路径问题）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】求直角三角形斜边上的高——等积法 方法点拨：①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． .【例10】三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为　　 A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【变式10-1】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． (1)求小路的长； (2)求小路的长． 【变式10-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A，B，C均在格点上．若于点D，则线段的长为 【变式10-3】如图，在中，，以C为圆心，以的长为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点E，若，，则 ． 【变式10-4】如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则 ． 【变式10-5】如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【微专题二】勾股定理中的分类讨论思想 方法点拨：在直角三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论. 【例11】已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 【变式11-1】．已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数 时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【变式11-2】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【变式11-3】在平面直角坐标系中，已知点P(2,5)，点Q在y轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【微专题三】勾股定理中的方程思想 【例12】《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【变式12-3】如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（　　） A． B． C． D． 【微专题四】勾股定理中数形结合思想 【例13】已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为 ． 【变式13-1】线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 【变式13-2】借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为N，，，，周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 【变式13-3】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 压轴突破·素养提升 【压轴一】求几何体中最短路径问题——转化法（立体图形平面图形） 方法点拨：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 。 几何体中最短路径基本模型如下： 【例14】如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点D，且．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【变式14-2】中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【变式14-3】如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【变式14-4】如图是一个无盖的长方体形盒子，长AB为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（     ）． A． B． C． D． 【变式14-5】如图，圆柱形玻璃杯高为17cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底6.5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）cm．（杯壁厚度不计） A． B． C．15 D．17 【压轴二】勾股定理中的折叠问题 【例15】如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿DE所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【变式15-1】如图，在中，，点P为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点C的对应点为D，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【变式15-2】如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 【变式15-3】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 - 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 -----【小模块·微专题·大压轴】《勾股定理》专题突破 【专题简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，还看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1利用勾股定理求线段长 模块9勾股定理应用十大类型 模块2 利用勾股定理求图形面积 微专题1求直角三角形斜边上的高——等积法 模块3 勾股树问题 微专题2勾股定理中的分类讨论思想 模块4 勾股定理中的网格问题 微专题3勾股定理中的方程思想 模块5 勾股定理的证明 微专题4勾股定理中数形结合思想 模块6与弦图有关的计算与证明 压轴1 求几何体中最短路径问题——转化法 模块7构造直角三角形用勾股定理解决问题 压轴2 勾股定理中的折叠问题 模块8 勾股定理逆定理应用 模块通关·举一反三 【模块一】 利用勾股定理求线段长 【例1】如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是，且，连接AB．以点A为圆心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山西省晋中市多校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学�试卷 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理与无理数，利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，进而可得出点C表示的数．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴点C表示的数为； 故选：C． 【变式1-1】如图，在中，在CA、CB上分别截取CD、CE，使，分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点F，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则点M到AC的距离为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市宽城区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再运用勾股定理列式计算得，根据作图过程，得出是的平分线，最后结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 根据作图过程，得出是的平分线， ∵， ∴点M到的距离， 故答案为：3． 【变式1-2】图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 【答案】6 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级上册数学期末冲刺试卷（A卷） 【知识点】用勾股定理解三角形、图形类规律探索 【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为：6 【变式1-3】（25-26•济宁市嘉祥县八上期中）如图所示，在中，，，点D是线段BC上的一个动点(不与B、C重合)，若线段AD的长为整数，则AD的长度为 ． 【答案】3或4/4或3 【难度】0.65 【来源】山东省济宁市嘉祥县第二中学2025-2026学年上学期期中学业测评八年级数学押题卷 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到答案． 【详解】解：作于， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 又， ∴， ∵线段AD的长为整数， ∴AD的长度为3或4， 故答案为：3或4． 【模块二】 利用勾股定理求图形面积 【例2】意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】河南省郑州市管城回族区外国语协作体2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】如图所示，直线上有三个正方形a，b,c，若a,c的面积分别为2和4，则正方形b的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级上册数学期末冲刺试卷（A卷） 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a,c的面积分别为2和4， ∴，， ∴， 即正方形b的面积为6． 故选：C． 【变式2-2】如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】第一章 勾股定理 本章考点检测训练 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（　　） A．16 B．26 C．34 D．9 【答案】A 【难度】0.85 【来源】辽宁省丹东市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接BD，由等腰直角三角形的性质可得根据勾股定理可得，，，，根据勾股定理得，，得到，即可求解． 【详解】解：连接BD，如图， 由题意得、、、都是等腰直角三角形， 在中，， 同理可得，，，， ∵， ∴和都是直角三角形， ∴由勾股定理可得，， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，还考查了等腰直角三角形的性质，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【模块三】勾股树问题 【例3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】山东省青岛大学附属中学2025-2026学年八年级上学期数学周测（2） 【知识点】图形类规律探索、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积=1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为1+1=2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 【变式3-1】如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是 ． 【答案】28 【难度】0.65 【来源】江苏省无锡市江南中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 中间左边正方形的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，中间右边正方形的面积=正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积等于中间两个正方形的面积之和，由此即可得出结论． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形E的边长为z， 由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为28． 故答案为：28． 【变式3-2】如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市建邺区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 【变式3-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【答案】55 【难度】0.85 【来源】黑龙江省牡丹江市第十六中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【模块四】勾股定理中的网格问题 【例4】如图，图①、②是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段AB的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以AB为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上． (1)在图①中以AB为腰画等腰； (2)在图②中以AB为底画等腰，且顶角为锐角，并写出的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，4 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市朝阳区长春力旺实验初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了勾股定理等知识，借助网格以及勾股定理得出符合题意的图形是解题关键． （1）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形； （2）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形． 【详解】（1）如图所示，． （2）如图所示，． ． 【变式4-1】如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【来源】山西省临汾市尧都区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】勾股定理与网格问题、实数的混合运算 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键． （1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形； （2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形 【详解】（1）解：，， 如图，即为边长分别为4，，的三角形， （2）解：， 如图，即为腰长为的等腰直角三角形 【变式4-2】在如图的网格中，以AB为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【来源】海南省海口某校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当AB是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 【变式4-3】图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出线段AB的垂直平分线EF，保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.65 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷 【知识点】等腰三角形的定义、勾股定理与网格问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作即可（答案不唯一）； （2）作即可； （3）先作线段，找出的中点E,F，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画； （2）解：如图，即为所画； （3）解：如图，直线EF即为所作 【模块五】勾股定理证明 【例5】我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为c，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为c，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为c，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为c，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【难度】0.94 【来源】江苏省常州市2025-2026学年八年级上学期期中质量调研数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 【变式5-2】【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【难度】0.65 【来源】安徽省六安市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点C关于AB的对称点F，连接，，，如图． ∴ 又, 当D,P,F三点共线时，的最小值为DF， 的最小值为，此时点P到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 【变式5-3】项目研究 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在中，，以直角三角形的三条边为边分别向外作正方形，边，边，边的长分别用来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形及正方形．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含的代数式表示）． 【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三： 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市和平区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明．任务一和任务二：用不同方式表示出正方形的面积，即可验证勾股定理；任务三：图4中的正方形有ACTO，，，FGHK，ABDE，共5个，面积求和即可． 【详解】解：任务一：图2中，，， ； 任务二：图3中，，， ； 任务三：图4中正方形有ACTO，，，FGHK，ABDE，共5个， 面积和为： ． 【模块六】与弦图有关的计算与证明 【例6】 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)23 【难度】0.65 【来源】四川省广元市2024--2025学年下学期八年级数学期末试卷 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确啊啊a,b,c与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式6-1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为13，求小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【难度】0.65 【来源】【智】02周测二 利用勾股定理解决问题（学海风暴26春八年级数学下册人教版-周测） 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知中间小正方形的边长为，每一个直角三角形的面积为， ，即， ． ， ， ． （负值舍去），即小正方形的边长为． 【变式6-2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【答案】3 【难度】0.4 【来源】【智】08 第1课时 勾股定理（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握通过面积法证明勾股定理是解题的关键． 通过面积法，将每幅图的图形面积用两种不同方式表示，建立面积等式，验证是否能推导出，以此判断每幅图能否证明勾股定理． 【详解】解：逐个分析四幅图： 图①：大正方形边长为，面积为；同时该面积也等于边长为c的小正方形面积加4个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图②：大正方形面积可表示为，同时大正方形边长为，面积为，即，化简后得，能证明勾股定理，符合题意； 图③：边长为c的正方形面积为，同时该面积等于边长为的小正方形面积加4个直角三角形的面积，即，展开化简得，能证明勾股定理，符合题意； 图④：图形仅将大正方形拆分为矩形，未关联a,b与斜边c的关系，无法推导，不能证明勾股定理，不符合题意； 故答案为：3． 【变式6-3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【难度】0.65 【来源】江苏省宿迁市钟吾国际学校2025-2026学年上学期期中八年级数学试卷 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 【模块七】构造直角三角形用勾股定理解决问题 【例7】．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站p使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【难度】0.85 【来源】浙江省宁波市鄞州区十三校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点A关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点A关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面4.5m，任何东西只要移至该灯5m及5m内范围，灯就自动发光．已知小军身高1.5m，若他走到CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【难度】0.85 【来源】天津市西青区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点C的位置，头顶D与点A距离是5m时，灯刚好自动发光， 作于E，    则， 在中，， 答：身高1.5m的学生要走到离墙4m的地方灯刚好发光． 故选：B． 【变式7-2】（25-26八年级上·江西省抚州市期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且．测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【答案】(1)60 (2)新路比原路少0.2千米 (3)84 【难度】0.65 【来源】江西省抚州市2025-2026学年八年级上学期数学期中测试卷 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 【变式7-3】如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】湖北省武汉市梅苑学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、等边对等角 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 【模块八】勾股定理逆定理应用 【例8】已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】吉林省松原市前郭县南部学区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算． 【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 【变式8-1】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【难度】0.94 【来源】吉林省吉林市丰满区2024—2025学年下学期八年级期末教学质量检测数学试卷 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【难度】0.85 【来源】浙江省杭州银湖实验中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 【变式8-3】如图，，分别是和中垂线，，分别交于点F，D．若，，，则△的面积为 ． 【答案】24 【难度】0.65 【来源】专题05 期中真题百练通关13题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 【模块九】勾股定理应用十大类型 【例9】（梯子滑落高度）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)24m (2)8m 【难度】0.65 【来源】四川省成都市简阳市2024-2025学年八年级 上期期末学业质量监测 数学 试题 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24m． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为8m． 【变式9-1】（求旗杆高度）五星红旗是中华人民共和国的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：小明组员：小亮，小红，小颖 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 3米 图2中的长度 9米 问题解决 任务 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． 【答案】12米 【难度】0.85 【来源】内蒙古包头市昆都仑区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 【详解】解：设学校旗杆的长度为x米，则绳子的长度为米， 在中，， 即， 解得：． 答：学校旗杆的高度为12米． 【变式9-2】（求大树折断前的高度）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．4.2尺 B．4.55尺 C．5.45尺 D．5.8尺 【答案】B 【难度】0.65 【来源】广东省广州市第九十七中蓝天学校2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是4.55尺， 故选：B． 【变式9-3】（水杯中筷子问题 ）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】江西省吉安市十二校联盟2025-2026学年上学期第二次阶段训练八年级数学试卷 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点C，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，，， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是， 故答案为：． 【变式9-4】（ 航海问题 ）如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 【答案】30海里 【难度】0.85 【来源】【课本原题】第十七章 特殊三角形 17.3 勾股定理 例题 练习 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：连接BC， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， ∴， （海里）． 答：两船1.5h后相距30海里． 【变式9-5】（求河宽 ）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【难度】0.65 【来源】云南省昭通市2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 【变式9-6】（台阶上地毯长度）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【难度】0.85 【来源】江苏省扬州市邗江美琪学校八年级上学期期中数学试卷 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 故答案为：13． 【变式9-7】（判断汽车是否超速）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了10s．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【难度】0.85 【来源】湖南省湘西自治州2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、无理数的大小估算 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 【变式9-8】（是否受台风影响）如图，铁路和公路在点O处交会，点A到的直线距离为120m．公路上点A处距离点O处240m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【来源】河南省郑州市郑东新区玉溪初级中学2025-2026学年八年级上学期10月期中考试数学试题 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点A作，上取点B，D，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作，上取点B，D，使， 由题意可得，， 当火车到点时对A处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点A处受噪音影响的时间为， 故答案为：16． 【变式9-9】（选址使到两地距离相等）如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为A和B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C、D两村到该候车点的距离相等．则候车点E应距A点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉市黄陂区部分学校2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，C，D两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点E应距A点16km． 故选：B． 【变式9-10】（求最短路径问题）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】湖北省襄阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学素养大比拼 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】求直角三角形斜边上的高——等积法 方法点拨：①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． .【例10】三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为　　 A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形，且10为直角三角形的斜边，然后设此三角形最长边上的高为h，再利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， 此三角形是直角三角形，且10为直角三角形的斜边， 设此三角形最长边上的高为h， ， 解得：， 此三角形最长边上的高为4.8， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式10-1】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． (1)求小路的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)小路的长为12米 (2)小路的长为7.2米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及三角形面积，根据勾股定理求出AD、AC的长是解题的关键． （1）由勾股定理求出AD的长即可； （2）由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出DE的长即可． 【详解】（1）， ， （米）， 答：小路的长为12米； （2）在中，由勾股定理得：（米）， ，， （米）， 答：小路的长为7.2米． 【变式10-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A，B，C均在格点上．若于点D，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【变式10-3】如图，在中，，以C为圆心，以的长为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点E，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】湖北省省直辖县级行政单位潜江、仙桃、天门、江汉油田2024-2025学年九年级下学期4月调考数学试卷 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 【变式10-4】如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形等积法求线段长，先证明得，，再由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式10-5】如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见详解 (2)1.78m 【难度】0.4 【来源】陕西省西安市莲湖区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴， 如图所示，过点A作于点G， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘D到地面的距离为． 【微专题二】勾股定理中的分类讨论思想 方法点拨：在直角三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论. 【例11】已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 【答案】4或/或4 【难度】0.85 【来源】辽宁省沈阳市南昌中学2023-2024学年上学期八年级数学10月月考试题 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为y， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 【变式11-1】．已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数 时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】17 【难度】0.85 【来源】江苏省无锡市2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟试卷 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，由于第三条边为整数，需分情况讨论哪条边为斜边． 【详解】解：设第三条线段长为，且为整数， 当为斜边时，由勾股定理得，即 ， 所以，（取正值）； 当15为斜边时，由勾股定理得，即 ，，，不是整数，不符合条件； 当8为斜边时，由于，8不能为斜边，故不存在． 因此，第三条线段的长为． 故答案为：17． 【变式11-2】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①a为最长边，，13是正整数，符合题意； ②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，已知点P(2,5)，点Q在y轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【难度】0.65 【来源】贵州省黔东南苗族侗族自治州三穗中学2024-2025学年上学期八年级期中模拟数学试卷 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、等腰三角形的定义、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在y轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 【详解】解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则Q(0,10)； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有(0,10)，，和，共4个． 故选：B． 【微专题三】勾股定理中的方程思想 【例12】《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】福建省福州第十九中学2024—2025学年八年级上学期数学期末试卷 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【变式12-1】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山西省忻州市河曲县部分学校2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键． 设门的高为尺，则宽为尺，对角线长为10尺，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺， 由题意知，对角线长为10尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 【变式12-2】“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【难度】0.85 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 【变式12-3】如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【来源】江苏省常州市2025-2026学年八年级上学期期中质量调研数学试题 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：D． 【微专题四】勾股定理中数形结合思想 【例13】已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为 ． 【答案】17 【难度】0.4 【来源】江苏省苏州市相城区苏州大学实验学校2024-2025学年上学期八年级数学十二月测试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，最短路径，理解勾股定理的意义是解题的关键．通过勾股定理构造几何图形，将代数问题转化为几何问题，利用三点共线时路径最短的原理求解最小值． 【详解】解：如图，取线段，在上取一点C，设，，则． 构造和，使，，且，，其中垂直于向上，垂直于向下． 则，， 故． 当点A，C，E三点共线时，的值最小，最小值等于的长． 点A坐标为(0,4)，点E坐标为， 计算． 故答案为17． 【变式13-1】线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 【答案】 图见详解，文字说明见详解 图与文字说明见详解 【难度】0.65 【来源】天津市建华中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】全等三角形综合问题、格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）构造等腰直角三角形，点D即为所求； （2）构造推出，再由，可得． 【详解】解：（1）所作点D如图所示： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴； （2）所作点E如图所示； 先构造， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式13-2】借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为N，，，，周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2 【难度】0.65 【来源】福建省福州市第十六中学教育集团2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形AEDN的面积为：，即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形AEDN的面积为：． 【变式13-3】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）13；（2） 【难度】0.65 【来源】山东省青岛第二十六中学2025-2026学年八年级上学期期中检测数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为13； 故答案为13； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 压轴突破·素养提升 【压轴一】求几何体中最短路径问题——转化法（立体图形平面图形） 方法点拨：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 。 几何体中最短路径基本模型如下： 【例14】如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点D，且．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】陕西省西安市新城区爱知初级中学2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 【变式14-1】如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】甘肃省白银市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可． 【详解】平面展开，如下： ∴在中，（cm）， ∴蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度为：． 故选：C．    【变式14-2】中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为1.5米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 【变式14-3】如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径， 故选A 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 【变式14-4】如图是一个无盖的长方体形盒子，长AB为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．将盒子分情况展开，根据勾股定理求出线段的长度比较即可． 【详解】解：如图，把侧面展平，侧面展开即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把底面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是， 故选：A． 【变式14-5】如图，圆柱形玻璃杯高为17cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底6.5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）cm．（杯壁厚度不计） A． B． C．15 D．17 【答案】D 【难度】0.65 【来源】河南省鹤壁市浚县八年级五校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题重点考查平面展开--最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接，由垂直平分，得，则，可知蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长，作于点G，则，求出，求得，根据勾股定理求出，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接AF， ∵垂直平分， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长，作于点G，则， ∴四边形BGLH是矩形， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为17Ccm， 故选：D． 【压轴二】勾股定理中的折叠问题 【例15】如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿DE所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】8或 【难度】0.65 【来源】福建省三明市沙县区第三中学2024-2025学年下学期期中考八年级数学试题 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，A共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图2，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为8或． 故答案为8或． 【变式15-1】如图，在中，，点P为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点C的对应点为D，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】5或 【难度】0.65 【来源】 2024年河南省商丘市柘城县实验中学中考第八次模拟数学试题 【知识点】根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：①如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为5或， 故答案为：5或． 【变式15-2】如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 【答案】 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市晋江市晋江第一中学教育集团校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 【变式15-3】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】福建省漳州第一中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点E， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $