19.3二次根式的加法与减法（小模块.微专题.大压轴） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《19.3二次根式的加法与减法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 同类二次根式的概念 微专题1二次根式应用 模块2 二次根式的加减 微专题2规律探索 模块3 二次根式的混合运算 压轴1 分母有理化 模块4 与二次根式有关的化简求值 压轴2 比较二次根式的大小 模块通关·举一反三 【模块一】同类二次根式的概念 【例1】下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【变式1-3】与最简二次根式为同类二次根式，则 ． 【变式1-4】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-5】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【模块二】二次根式的加减 【例2】计算 【变式2-1】计算： 【变式2-2】计算： ． 【变式2-3】计算： ． 【变式2-4】计算：． 【变式2-5】计算：． 【模块三】二次根式的混合运算 【例3】计算的结果是 ． 【变式3-1】 【变式3-2】计算：． 【变式3-3】计算：(1)； (2)； (3)． 【变式3-4】计算： (1)． (2)． (3) (4) 【变式3-5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)已知，．求的值． (7) (8) (9)． (10)；   【模块四】与二次根式有关的化简求值 【例4】已知，则代数式的值为 ． 【变式4-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，则的值为 ． 【变式4-4】（2025年广东广州）求代数式的值，其中． 【变式4-5】已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次根式应用 【例5】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． (1)原长方形纸片的长为 ，宽为 ； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【变式5-1】如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【变式5-3】如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ． 【变式5-5】行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 【变式5-6】已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：km/h），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有右图标识的高速公路行驶，若刹车距离是36m，摩擦系数是1.69， (1)实际上该货车已超速，请通过计算说明； (2)请根据下面的分值表判断该货车会被记几分． 超速违法行为记分分值表 违法行为 道路类型 车辆类型 中型以上客货汽车、校车、危险品车 其他机动车 超速 50%以上 高速公路、城市快速路 记12分 记12分 高速公路、城市快速路以外道路 记9分 记6分 20%以上 50%以下 高速公路、城市快速路 记12分 记6分 高速公路、城市快速路以外道路 记6分 记3分 10%以上 20%以下 高速公路、城市快速路 记6分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 记1分 不扣分 10%以下 高速公路、城市快速路 记6分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 不扣分 不扣分 【微专题二】 规律探索 【例6】按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【变式6-2】观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 【变式6-3】在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【变式6-4】观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【变式6-5】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 压轴突破·素养提升 【压轴一】分母有理化 【例7】【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【变式7-1】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【变式7-2】二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 【变式7-3】先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式7-4】阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式7-5】阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 【变式7-6】【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【压轴二】比较二次根式的大小 【例8】比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【变式8-1】下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式8-5】我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【变式8-6】课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【变式8-7】阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【变式8-8】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《19.3二次根式的加法与减法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 同类二次根式的概念 微专题1二次根式应用 模块2 二次根式的加减 微专题2规律探索 模块3 二次根式的混合运算 压轴1 分母有理化 模块4 与二次根式有关的化简求值 压轴2 比较二次根式的大小 模块通关·举一反三 【模块一】同类二次根式的概念 【例1】下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】上海市闵行区七宝中学附属鑫都实验中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 【变式1-1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【难度】0.85 【来源】北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 【变式1-2】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】贵州省遵义市第十二中学2023-2024学年八年级数学下学期第一次月考试卷 【知识点】同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能够合并，那么这两个最简二次根式的被开方数相同；根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】与最简二次根式为同类二次根式，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】甘肃省张掖市第一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，运用化简与方程思想，先将化简为最简二次根式，得到；再根据同类二次根式的定义，被开方数相同，从而建立方程求解． 【详解】 由于与为同类二次根式，因此被开方数相同，即，解得； 故答案为． 【变式1-4】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【难度】0.65 【来源】河南省周口市郸城县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】异分母分式加减法、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式. 判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同. 【详解】解：A.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； B.与根号内的被开方数相同，是同类二次根式； C.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； D.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B. 【变式1-5】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】28 【难度】0.94 【来源】上海市闵行区七宝第二中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 【模块二】二次根式的加减 【例2】计算 【答案】 【难度】0.94 【来源】广东省湛江市滨海学校 2024-2025学年下学期期中素质测评八年级数学试卷 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-1】计算： 【答案】 【难度】0.94 【来源】甘肃省天水市清水县第五中学2025-2026学年九年级上学期期末学业水平监测数学试卷 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的减法． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-2】计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】黑龙江省哈尔滨市香坊区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加法，先化简，，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为 【变式2-3】计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】上海市宝山区教育学院附属中学2025-2026学年八年级数学上学期12月月考试卷 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= ． 故答案为：． 【变式2-4】计算：． 【答案】 【难度】0.94 【来源】北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研（一）八年级数学试题 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-5】计算：． 【答案】 【难度】0.94 【来源】上海市宝山实验学校2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷1 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【模块三】二次根式的混合运算 【例3】计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】山西省太原市第五中学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-1】 【答案】 【难度】0.94 【来源】 上海市黄浦区敬业中学2025-2026学年上学期八年级10月月考数学试题 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式；使用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【难度】0.94 【来源】广东省阳江市阳东区2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试卷 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则化简并计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】计算：(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式3-4】计算： (1)． (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.94 【来源】第二章小结 八年级数学上册（北师大2024）【江西铭文�支点】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题的关键. （1）先进行去括号，然后合并同类项即可求解； （2）首先去括号，然后合并同类项即可求解； （3）先计算平方，然后去括号合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． (4)解： ． 【变式3-5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)已知，．求的值． (7) (8) (9)． (10)；   【答案】(1)1 (2) (3) (4)0 (5) (6)21 (7) (8) (9) (10)； 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：， ， ∴， ， ∴ ． (7)解：原式 (8)解： ． (9)解： ． (10)解：原式． 【模块四】与二次根式有关的化简求值 【例4】已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【难度】0.94 【来源】四川省成都市武侯区西川中学2024--2025学年八年级上学期9月第一次月考数学试题 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查完全平方公式及二次根式，先将配方为，再代入x的值即可计算，也可直接代入x的值，然后直接计算即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：4． 【变式4-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】　湖南省 郴州市桂阳县2023 年九年级课后服务成果检测数学试题卷 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 【变式4-2】已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】湘教版2023-2024学年八年级数学上册5.3 二次根式的加法和减法 同步练习 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【变式4-3】已知，则的值为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【来源】阶段性检测模拟试卷二（二次根式、勾股定理、平四边形）2024－2025学年人教版数学八年级下册 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 【变式4-4】（2025年广东广州）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式4-5】已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【来源】四川省成都市武侯区西川实验学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次根式应用 【例5】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． (1)原长方形纸片的长为 ，宽为 ； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【难度】0.65 【来源】陕西省咸阳市永寿县蒿店中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次阶段性作业 【知识点】二次根式的应用、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的应用以及二次根式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，结合面积为，即可计算正方形纸片B的边长，进一步可得答案． （2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 正方形纸片B的边长为， ∴， 原长方形纸片的长为，宽为． （2）解：∵长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 【变式5-1】如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】云南省昆明市云南师范大学实验中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-2】如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】D 【难度】0.94 【来源】河南省商丘市夏邑县民办学校联考2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题 【知识点】二次根式的应用、二次根式的乘法、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】根据题目中的数据分别求出大长方形的长、宽、周长和面积，以此即可解答． 【详解】解：∵小长方形的长为、宽为， ∴大长方形的长为（故选项A正确）， 大长方形的宽为（故选项B正确）， 大长方形的周长为（故选项C正确）， 大长方形的面积为（故选项D不正确）． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质及运算法则是解题关键． 【变式5-3】如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】广西壮族自治区来宾市武宣县2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：两个空白小正方形的面积是、， 两个空白小正方形的边长是、， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 阴影部分的面积是． 故选：C． 【变式5-4】四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】江苏省苏州市立达中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次根式的应用、用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了几何变换，根据图与图的拼图结果得出线段间的相等关系，求得与，进而即可求解，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系． 【详解】解：如图， ∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角， ∴线段线段， ∴， 由图可知， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【难度】0.85 【来源】陕西省咸阳市永寿县常宁镇中学2025-2026学年八年级上学期数学课后综合作业（一） 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用： （1）把代入，即可求解； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，． 答：该物品落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下：     当时，． ． 所以小明的说法不正确． 【变式5-6】已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：km/h），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有右图标识的高速公路行驶，若刹车距离是36m，摩擦系数是1.69， (1)实际上该货车已超速，请通过计算说明； (2)请根据下面的分值表判断该货车会被记几分． 超速违法行为记分分值表 违法行为 道路类型 车辆类型 中型以上客货汽车、校车、危险品车 其他机动车 超速 50%以上 高速公路、城市快速路 记12分 记12分 高速公路、城市快速路以外道路 记9分 记6分 20%以上 50%以下 高速公路、城市快速路 记12分 记6分 高速公路、城市快速路以外道路 记6分 记3分 10%以上 20%以下 高速公路、城市快速路 记6分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 记1分 不扣分 10%以下 高速公路、城市快速路 记6分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 不扣分 不扣分 【答案】(1)，已超速 (2)记12分 【难度】0.94 【来源】河北省唐山市丰润区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题考查算术平方根的应用． （1）直接代入数值计算再与100比较大小即可； （2）先求出超速的百分比，再根据表格的数据判断即可． 【详解】（1）解：刹车距离是36m，摩擦系数是1.69 该货车已超速； （2） 超速20%以上，50%以下 记12分． 【微专题二】 规律探索 【例6】按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】云南省红河州金平县2024-2025学年下学期教学质量监测八年级数学试题卷 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 【变式6-1】按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】云南省临沧市耿马傣族佤族自治县2024-2025学年七年级下学期期末数学试题卷 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 【变式6-2】观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 【答案】 【难度】0.94 【来源】山东省德州市同济中学2024-2025学年下学期八年级第一次月考数学试题 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的是规律探索，解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式6-3】在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【难度】0.4 【来源】重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年八年级数学上学期定时练习周测15 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 【变式6-4】观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【答案】（） 【难度】0.65 【来源】甘肃省张掖市甘州区甘州区思源实验学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 【详解】解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 【变式6-5】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【难度】0.4 【来源】四川省内江市第六中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试题 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 压轴突破·素养提升 【压轴一】分母有理化 【例7】【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【难度】0.85 【来源】辽宁省鞍山市部分名校2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 【变式7-1】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【难度】0.4 【来源】山东省济南市市中区泉海学校2025--2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 【变式7-2】二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【难度】0.4 【来源】上海市曹杨二中附属江桥实验中学2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试卷 【知识点】无理数整数部分的有关计算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式7-3】先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【难度】0.85 【来源】广东省深圳市中山大学深圳附属实验学校2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试卷 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 【变式7-4】阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)22 (3) 【难度】0.85 【来源】河南省实验中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式， 对于（1），根据分母有理化的定义解答； 对于（2），先根据平方差公式将分母有理化，再合并同类二次根式； 对于（3），先求出两个数的倒数，再比较可得答案. 【详解】（1）解：原式. 故答案为：； （2）解：原式 ； 故答案为：22； （3）解：,理由如下：； . ∵， ∴， ∴. 【变式7-5】阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.85 【来源】期中综合模拟测试卷2023-2024学年沪科版数学八年级下册 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）分子分母同时乘以即可求出答案． （3）将两个数化为的形式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为： ； （2）解：由题意，得 ； 故答案为： （3）解：根据题意，得： ， ， ， ． 【变式7-6】【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【难度】0.65 【来源】湖南省郴州市永兴县等校联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 【压轴二】比较二次根式的大小 【例8】比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【来源】河北省保定市曲阳县2025-2026学年上学期学情分析一八年级数学试题 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 【变式8-1】下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】四川省成都市高新区2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及实数大小的估算解答本题的关键．对选项A、B、C分别与进行比较，选项D估值与比较即可得出． 【详解】解：A中，，故不符合题意； B ，，故不符合题意； C中，，故符合题意； D中，，故不符合题意； 故选：C． 【变式8-2】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】第二章 实数 考点3 实数、平方根、立方根 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、比较二次根式的大小、不等式的性质 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-3】下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】四川省成都市温江中学实验学校2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式8-4】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】湖南省祁阳市浯溪第一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式8-5】我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【来源】甘肃省临夏州康乐县附城中学2024-2025学年下学期5月考八年级数学试题 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式8-6】课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【来源】陕西省咸阳市永寿县蒿店中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次阶段性作业 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【变式8-7】阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】甘肃省白银市平川区第四中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 【变式8-8】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【来源】贵州省贵阳市第十八中学 2025-2026学年八年级数学上学期十二月月考试题 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $