19.2二次根式的乘法与除法+二次根式化简）（小模块.微专题.大压轴） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《19.2二次根式的乘法与除法+二次根式化简》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次根式的乘法法则 模块6最简二次根式的概念 模块2 二次根式的乘法法则（逆用） 微专题1二次根式的化简 模块3二次根式的估算 微专题2二次根式的应用 模块4 二次根式的除法法则 压轴1 分母有理化 模块5二次根式的除法法则（逆用） 压轴2 探索规律 模块通关·举一反三 【模块一】二次根式的乘法法则： 【例1】(1)= (2) (3) ． (4) ． (5)= (6) ； (7) (8) (9) = (10)= (11)= ； (12)= ； 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算结果的平方根为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式1-3】设，，则可以表示为( ) A． B． C． D． 【变式1-4】计算：． 【变式1-5】计算下列各式： (1)； (2) (3)； (4)． 【模块二】二次根式的乘法法则（逆用）： 【例2】化简： (1)． (2)（，）． 【变式2-1】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】化简： (1)； (2)． 【变式2-3】若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【变式2-5】阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【模块三】二次根式的估算 【例3】估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】若n为正整数，且满足，则 ． 【变式3-2】估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【变式3-3】估计的值在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【变式3-4】估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式3-5】若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号） 【模块四】二次根式的除法法则： 【例4】计算 (1)； (2)； (3)．(4) (5) (6) (7)． (8) (9) (10) (11) (12) 【变式4-1】若成立，则x的取值范围是_____． 【变式4-2】下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】计算：（1）； （2）； (3)； (4)． 【变式4-5】计算： (2) (3) (4) (5) (6) 【模块五】二次根式的除法法则（逆用）： 【例5】下列等式不成立的是（    ） B． C． D． 【变式5-1】下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】若成立，则x的取值范围是_____． 【变式5-4】已知，，则________． 【变式5-5】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【模块六】最简二次根式的概念 【例6】下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-4】下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-5】在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次根式的化简 【例7】把下列各式化成最简二次根式 ，； (2)； (3) (4) (5) (6) (7)． (8) (9) (10) (11) (12) 【变式7-1】把下列各式化成最简二次根式 (1) ； (2) ； (3)． (4) (5) (6) (7)． (8) (9) (10)； (11)； (12)． (13) (14) （15） （16） 【变式7-2】把下列各式化成最简二次根式 (1)已知，化简； (2)； (3)（a>0）． (4) (5) （） (6)（，，） (7)． (8) (9) (10) 2（a，b，c均大于0） (11) (12) 【变式7-3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-5】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【变式7-6】化各式为最简二次根式：① ；② ； 【微专题二】二次根式的应用 【例2】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 【变式2-2】如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【变式2-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【变式2-4】巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，若图形“4”的小正方形的边长为，则整个七巧板所组成的大正方形的面积为__________． 【变式2-5】如图，正方形的面积为8，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数是 ． 【变式2-6】如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C圆，正方形纸片的周长为C正，则C圆＜C正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 压轴突破·素养提升 【压轴一】分母有理化 【例1】二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（    ） ①若a是的小数部分，则的值为； ②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化； ③比较两个二次根式的大小； ④计算． A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【变式1-1】化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【变式1-2】 【变式1-3】计算=_________． 【变式1-4】计算：． 【变式1-5】定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【变式1-6】阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．   类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．   拓展延伸：   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【压轴二】 探索规律 【例2】观察分析下列数据：，……则第17个数据为______． 【变式2-1】（2024年四川德阳）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】问题探究：因为，所以 因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)； (2) 【变式2-3】仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 __________________． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子__________________． 【变式2-4】像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且，，为正整数，求的值． 【变式2-5】下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《19.2二次根式的乘法与除法+二次根式化简》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次根式的乘法法则 模块6最简二次根式的概念 模块2 二次根式的乘法法则（逆用） 微专题1二次根式的化简 模块3二次根式的估算 微专题2二次根式的应用 模块4 二次根式的除法法则 压轴1 分母有理化 模块5二次根式的除法法则（逆用） 压轴2 探索规律 模块通关·举一反三 【模块一】二次根式的乘法法则： 【例1】(1)= (2) (3) ． (4) ． (5)= (6) ； (7) (8) (9) = (10)= (11)= ； (12)= ； 【答案】(1) (2)2 (3) (4)4 (5) (6)6 (7) (8) (9)1.2 (10) (11) (12) 【知识点】二次根式的乘法 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， （4）解： （5）解： （6）解：， （7）解：， （8）解： （9）解：； （10）解： （11）解： （12）解： 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】四川省成都市电子科技大学实验中学（初中）2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、二次根式的乘法 【分析】本题考查平方根和立方根的计算及二次根式的乘法，需根据算术平方根的非负性和立方根的性质及二次根式的乘法法则逐一判断各选项． 【详解】A：∵表示49的算术平方根，∴，故A错误． B：∵，故B错误． C：∵，故C错误． D：，故D正确． 故选：D 【变式1-2】计算结果的平方根为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省枣庄市2025-2026学年上学期八年级数学期中试题 【知识点】求一个数的平方根、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】该题考查了二次根式的乘法，先利用平方差公式计算原表达式的值，再求该值的平方根． 【详解】解：∵， ∴ 原表达式结果的平方根为． 故选：C． 【变式1-3】设，，则可以表示为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】贵州省铜仁市德江县2025-2026学年上学期八年级11月期中数学试题 【知识点】二次根式的乘法、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 【变式1-4】计算：． 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海市西延安中学2025-2026学年八年级数学上学期12月 月考卷 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式1-5】计算下列各式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【来源】【课本原题】第十五章 二次根式 15.4 二次根式的混合运算 例题 练习 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先化简二次根式，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： （4）解： 【模块二】二次根式的乘法法则（逆用）： 【例2】化简： (1)． (2)（，）． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2-1】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】河北省石家庄市第四十八中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查平方根的运算性质，解题的关键是掌握平方根的运算法则：，同时注意平方根与算术平方根的计算性质． 根据平方根的运算性质，逐一分析每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，因为平方根不满足，故A错误； B、根据平方根性质．，故B正确； C、，而，两者不相等，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【变式2-2】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)120 【难度】0.85 【来源】第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及其加减法 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2-3】若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山西省运城市临猗县2025-2026学年八年级数学上学期期中学业质量检测试卷 【知识点】列代数式、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式2-4】阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【难度】0.85 【来源】 浙江省杭州市江南实验中学2025-2026学年上学期七年级期中考试数学试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； ②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）利用得出的规律化简各式即可． 【详解】解：（1）①，， ②，， 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②． 【变式2-5】阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)24 (3)16 【难度】0.85 【来源】2025--2026学年苏科版八年级数学上册期中考试卷 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得，即可解答； （2）根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得； （2）解：； （3）解：长方形的长为，宽为， ， 答：这个长方形的面积为16． 【模块三】二次根式的估算 【例3】估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【来源】重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，计算出式子的结果，再根据无理数的估算方法求出结果的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的运算结果最接近4， 故选：B． 【变式3-1】若n为正整数，且满足，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【来源】重庆市南开中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵为正整数， ， 故答案为：4． 【变式3-2】估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【难度】0.85 【来源】重庆市育才中学校2025-2026学年八年级上学期第三次自主作业 数学试卷 【知识点】二次根式的乘法、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】估计的值在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】C 【难度】0.85 【来源】重庆市第九十五初级中学校2025--2026学年上学期九年级期中数学试题 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了无理数的估算． 先计算表达式，将其化为，再估计取值范围，最后确定范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 故选：C． 【变式3-4】估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】 【难度】0.85 【来源】重庆市第八中学校2025-2026学年九年级上学期11月定时练习数学试题 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法，无理数的大小估算，解题关键是正确掌握二次根式的运算法则． 先计算原表达式，化简为 ，然后估计 的近似值，从而判断整体值的范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值应在和之间． 故选：． 【变式3-5】若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则． 先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的③段， 故答案为：③． 【模块四】二次根式的除法法则： 【例4】计算 (1)； (2)； (3)．(4) (5) (6) (7)． (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 3 (5) 2 (6) (7) (8)3；(9)；(10)3；(11) (12) (8)【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． （8）解：； （9）解：； （10）解：； （11）解： ． (12) ）解： ． 【变式4-1】若成立，则x的取值范围是_____． 【来源】湖北省恩施州巴东县三校联考2022-2023学年八年级下学期第一次质量检测数学试题 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案． 【详解】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键． 【变式4-2】下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】上海市浦东新区进才北校2025--2026学年上学期八年级期中评价数学试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可．选项A、B、C的等式均需满足特定条件才成立，而选项D的变形符合二次根式的除法性质，在且时恒成立，因此正确． 【详解】解： A．：仅当且时成立，即，否则不一定成立，故等式不成立； B．：当，时，左边，右边，故等式不成立； C．：，不一定等于，故等式不成立； D．：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立，故正确． 故选：D． 【变式4-3】下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【来源】河北省石家庄市赵县2022-2023学年八年级下学期数学3月月考试题 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法公式逐一计算即可． 【详解】A. 运算正确； B. 运算正确； C. 运算正确； D. 运算错误． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法公式是解答本题的关键． 【变式4-4】计算：（1）； （2）； (3)； (4)． 【详解】解：（1）． （2）， （3）原式． （4）原式． 【变式4-5】计算： (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.85 【来源】12.2二次根式的乘除（3） 八年级数学下册苏科版 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【模块五】二次根式的除法法则（逆用）： 【例5】下列等式不成立的是（    ） B． C． D． 【来源】吉林省长春市朝阳区吉林省实验中学繁荣学校2022-2023学年八年级下学期第一次质量监测试数学试题 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除法可进行求解． 【详解】A、，原等式不成立，故符合题意； B、，原等式成立，故不符合题意； C、，原等式成立，故不符合题意； D、，原等式成立，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法是解题的关键． 【变式5-1】下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【来源】第十六章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷-2022-2023学年八年级数学下册《考点�题型�技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版） 【答案】D 【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可． 【详解】解：A． ，故原选项计算错误，不符合题意； B． ，故原选项计算错误，不符合题意； C． ，故原选项计算错误，不符合题意； D． ，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式5-2】下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市西昌航天学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，或没有意义，则不成立，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、，符合题意； D、当时，和没有意义，则不成立，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【变式5-3】若成立，则x的取值范围是_____． 【来源】湖北省恩施州巴东县三校联考2022-2023学年八年级下学期第一次质量检测数学试题 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案． 【详解】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键． 【变式5-4】已知，，则________． 【答案】-0.5706 【分析】把0.3256化为再利用计算即可得到结果． 【详解】解：当时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是把0.3256化为． 【变式5-5】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 【模块六】最简二次根式的概念 【例6】下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】上海市普陀区教育附属中学2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试题 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简； B、，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简； C、，被开方数含平方因数4，不是最简； D、，被开方数含平方因式，不是最简． 故选B． 【变式6-1】下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】河南省平顶山市汝州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试卷 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 【变式6-2】下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】上海市第二工业大学附属龚路中学（五四制）2025-2026学年七年级上学期九月月考数学试卷 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，被开方数中不含能开方开得尽的因式或因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数中含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式6-3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 【变式6-4】下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【来源】四川省泸州市纳溪区第二学区2025-2026学年上学期九年级数学11月考监测试卷 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A 【变式6-5】在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【来源】第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及其加减法 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次根式的化简 【例7】把下列各式化成最简二次根式 ，； (2)； (3) (4) (5) (6) (7)． (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【详解】（1）解： （2）解：解：，； （3）解： （4）解：：； （5）解：； （6）解：原式； （7）解：． （8）解：． （9）解：，； （10）解：； （11）解：= (12) ）解：= 【变式7-1】把下列各式化成最简二次根式 (1) ； (2) ； (3)． (4) (5) (6) (7)． (8) (9) (10)； (11)； (12)． (13) (14) （15） （16） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) （15）（16） 【详解】（1）化简为； （2）解：化简为； （3）解：， （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． （8）解：； （9）解：； （10）解：． （11）解：． （12）解：． (13)解： (14))解：原式． （15）解：原式 （16）解： 【变式7-2】把下列各式化成最简二次根式 (1)已知，化简； (2)； (3)（a>0）． (4) (5) （） (6)（，，） (7)． (8) (9) (10) 2（a，b，c均大于0） (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【详解】 （1）解：∵， ∴， （2）解：； （3）解 原式： （4）解： （5）解：； （6）解：； （7）解：∵， ∴， ∴． （8）解：∵， ∴， ∴； （9）解：∵， ∴， ∴． （10）解：∵a，b，c均大于0 ∴； （11）解：： (12) ）解： ，， ， ， 【变式7-3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式7-4】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】广东省肇庆市封开县封川中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式7-5】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【来源】上海市宝山实验学校2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷1 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式7-6】化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海五浦汇实验学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 【微专题二】二次根式的应用 【例2】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式2-1】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 【答案】(1)， (2)留下部分的面积为 【难度】0.85 【来源】 广西南宁市横州市2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题 【知识点】二次根式的乘法、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根． 根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长； 根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为，宽为，根据长方形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）解：较大正方形的面积是， 较大正方形的边长是； 较小正方形的面积是， 较小正方形的边长是； 故答案为：，； （2）解：由可知裁去的较大正方形的边长为，较小正方形的边长为， 留下矩形的长为，宽为， 留下部分的面积， 答：留下部分的面积为．   【变式2-2】如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【难度】0.4 【来源】陕西省咸阳市秦都区咸阳彩虹学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 【变式2-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)会产生危害，严禁高空抛物． 【难度】0.85 【来源】湖南省麻阳苗族自治县锦江中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】算术平方根的实际应用、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解． 【详解】（1）解：当时， 答：物体从的高空落到地面的时间为． （2）解：当时，，解得， 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m） ∴， ∵， ∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物． 【变式2-4】巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，若图形“4”的小正方形的边长为，则整个七巧板所组成的大正方形的面积为__________． 【来源】河南省周口市商水县希望初级中学2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题 【答案】24 【分析】设整个七巧板所组成的正方形对角线交点为O，根据图形“4”的小正方形的边长为，可得整个七巧板所组成的正方形对角线，即可求出答案． 【详解】解：设整个七巧板所组成的正方形对角线交点为O，如图所示： ∵图形“4”的小正方形的边长为，由七巧板的组成可得， ∴整个七巧板所组成的正方形边长为， ∴整个七巧板所组成的正方形面积为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，掌握七巧板的特点，由已知求出整个七巧板所组成的正方形的对角线长度是解题的关键． 【变式2-5】如图，正方形的面积为8，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的意义，二次根式化简，用数轴表示无理数等知识．先根据正方形的面积为8，得到正方形的边长，根据点在数轴上（点在点左侧），且，即可得到点所表示的数是． 【详解】解：∵正方形的面积为8， ∴正方形的边长， ∵点在数轴上（点在点左侧），且， ∴点所表示的数是． 故答案为： 【变式2-6】如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C圆，正方形纸片的周长为C正，则C圆＜C正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用算术平方根的概念判断①，由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法，从而判断②，采用方程思想求出长方形的长与宽，从而判断③． 【详解】解：∵正方形纸片的面积是1，则AB2=1， ∴正方形的长AB=1，故①正确； ∵一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π， ∴圆的半径，正方形的边长为， ∴圆的周长C圆为，正方形的周长C正为， ∴＜1， ∴C圆＜C正，故②正确； 设长方形长为3a，宽为2a，由题意可得： 3a•2a=12， 解得：a=（负值已舍去）， ∴长方形的长为3，宽为2， 若正方形面积为16，则正方形的边长为=4， 又∵3＞4， ∴若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向不可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，故③错误； 故选：A． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，实数的大小比较，掌握算术平方根的概念和二次根式的除法运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】分母有理化 【例1】二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（    ） ①若a是的小数部分，则的值为； ②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化； ③比较两个二次根式的大小； ④计算． A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【来源】期中押题预测卷（2）（考试范围：第16-18章）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版） 【答案】D 【分析】先判断的整数部分求解a的值，再分母有理化可判断①，再把的分子，分母都乘以或 由结果可判断②，先把分母有理化，再比较结果的大小可判断③，逐一把各项分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故①不符合题意； ∵ 故②符合题意； ∵ 而 ∴，故③不符合题意； ∵ 故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，分母有理化，理解分母有理化的含义，熟练的运用分母有理化的方法解决问题是关键． 【变式1-1】化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【来源】12.2 二次根式的乘除（4） 八年级数学下册苏科版 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-2】 【来源】四川省遂宁市射洪市射洪市柳树中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题 【答案】 【分析】根据平方差公式，二次根式的乘法，二次根式的除法，化简计算即可． 【详解】 = =． 【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的乘法，二次根式的除法，准确计算是解题的关键． 【变式1-3】计算=_________． 【来源】专题07-12分母有理化提升 【答案】 【分析】先把二次根式有理化，再计算即可． 【详解】解： = = = = = = 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，解题的关键是把分母有理化，注意平方差公式． 【变式1-4】计算：． 【来源】上海市浦东新区进才中学北校2021-2022学年八年级上学期10月月考数学试题 【答案】 【分析】根据平方差公式在实数范围因式分解，第二项先提出公因式，进而约分化简，再进行二次根式的加减运算即可 【详解】 【点睛】本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键． 【变式1-5】定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【来源】第一单元 二次根式单元检测卷（B卷）-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（浙教版） 【答案】(1) (2)－2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可． 【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴． （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 【变式1-6】阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．   类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．   拓展延伸：   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【来源】专题43 根式的应用和几何图形结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版） 【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3） 【分析】类比应用： （1）仿照题干中的过程进行计算； （2）仿照题干中的过程进行计算； 拓展延伸： （1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算； （2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可. 【详解】解：类比应用： （1）根据题意可得： =； （2）根据题意可得： = = = =2； 拓展延伸： （1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD的宽AB=1， 则黄金矩形ABCD的长BC===； （2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=， ∴FD=EC=AD-AF==， ∴=， 故矩形DCEF为黄金矩形； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，AD=， ∴AE=， 在△AED中， S△AED =， 即，则， 解得DG=， ∴点D到线段AE的距离为. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． 【压轴二】 探索规律 【例2】观察分析下列数据：，……则第17个数据为______． 【来源】四川省自贡市荣县长山片区2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题 【答案】 【分析】根据给出的数据找出规律，得出第17个数据即可． 【详解】解：，……可以表示为： ，，，，…… 则第n个数为：， ∴第17个数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数字规律探究，解题的关键是根据给出的数据找出数字变化规律． 【变式2-1】（2024年四川德阳）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 【变式2-2】问题探究：因为，所以 因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)； (2) 【来源】专题07 复合二次根式的化简-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，且，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可; （2）因为，且，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝． （2） ＝ ＝ ＝ ＝ =． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性质化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 【变式2-3】仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 __________________． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子__________________． 【来源】专题16.3 二次根式（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版） 【答案】          （n为正整数） 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 【变式2-4】像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且，，为正整数，求的值． 【来源】专题42 即学即用之复合二次根式的化简-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版） 【答案】(1) (2) (3)14或46． 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：， 且， 且， ，，为正整数， 当，时； 当，时，． 所以的值为：14或46． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是结合完全平方公式进行求解． 【变式2-5】下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【来源】湖南省岳阳市湘一南湖学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】与实数运算相关的规律题、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ……， 以此类推，可知，第n行有个数， ∴前五行一共有个数， ∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根 ∴第5行的最后一个数是； 前行一共有个数， ∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是， 故答案为：；． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $