19.1二次根式及其性质（小模块.微专题.大压轴） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《19.1二次根式及其性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次根式的概念 微专题1求二次根式中的参数与最值 模块2 二次根式有意义的条件 微专题2二次根式非负性的应用 模块3 求二次根式的值 压轴1 数轴背景下二次根式的化简 模块4 二次根式的基本性质 压轴2 二次根式背景下规律探索 模块通关·举一反三 【模块一】二次根式的概念 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年第一学期九年级数学期中试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式1-1】下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】湖南省郴州市永兴县等校联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 【变式1-2】下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】贵州省铜仁市松桃苗族自治县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 【变式1-3】下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】云南省个旧市2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【变式1-4】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的识别 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【变式1-5】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.65 【来源】第1课时 二次根式的概念和乘除运算 八年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 【模块二】二次根式有意义的条件 【例2】若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】甘肃省武威市凉州区红星乡中学2025-2026学年上学期九年级第四次月考数学试卷 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握非负数才能开平方是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数非负，故，求解该不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故选B． 【变式2-1】（2024年四川省绵阳市中考数学试题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 【变式2-2】若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年八年级数学上学期定时练习周测15 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为0，二次根式有意义，则被开方数非负．据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，且 解得， 故选：A． 【变式2-3】使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】山东省威海市环翠区威海恒山实验学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式2-4】（江苏省宿迁市2021年中考数学真题）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解． 【详解】解：∵， ∴＞0， ∴无论x取何值，代数式均有意义， ∴x的取值范围为任意实数， 故答案为：任意实数． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键． 【变式2-5】（已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】湖南省永州第十二中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，没有意义，不符合题意； B、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D、当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选：D． 【模块三】求二次根式的值 【例3】已知二次根式. （1）当时，求该二次根式的值； （2）当该二次根式的值为时，求的值． 【分析】将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】解：（1）当时，则， （2）令时，则， 解得：． 【变式3-1】当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【难度】0.94 【来源】四川省绵阳市安州区2024—2025学年七年级下学期5月期中数学试题 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 【变式3-2】若求的值． 【答案】 【难度】0.65 【来源】贵州省黔南布依族苗族自治州第五中学2023-2024学年八年级下学期期中平行数学试题 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求二次根式的值 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 【变式3-3】任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【来源】吉林省长春市东北师大净月实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、程序流程图与代数式求值、多项式除以单项式、求二次根式的值 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 【变式3-4】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市周至县2024-2025学年七年级下学期数学期中调研试题 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【变式3-5】当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【难度】0.65 【来源】河南省安阳市2024-2025学年下学期八年级期中学情抽样调研 数字试题 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求二次根式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【模块四】二次根式的基本性质 【例4】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【变式4-1】下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用算术平方根的性质逐项计算判断即可． 【详解】解： A：，故等式成立． B：∵，故错误． C：∵ ，故错误． D：∵，故错误． 故选：A． 【变式4-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： （2）解：∵，∴， （3）解：； （4）解：：． 【变式4-3】已知，化简 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【来源】北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 【变式4-4】 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海市杨浦实验中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】整式的加减运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-5】已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 【来源】第12章 二次根式（A卷�知识通关练） -【单元测试】2022-2023学年八年级数学下册分层训练AB卷（苏科版） 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案． 【详解】解：∵的三边分别为a、b、c， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】求二次根式中的参数与最值 【例1】已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海市位育初级中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 【变式1-1】若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【难度】0.94 【来源】广东省深圳市罗湖区2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试题 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 【变式1-2】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【难度】0.85 【来源】上海市建平中学西校2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试卷 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【变式1-3】若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【难度】0.65 【来源】第2课时 二次根式的化简 八年级数学上册（湘教2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 【变式1-4】若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【难度】0.65 【来源】湖南省益阳市安化县思源实验学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 【变式1-5】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【难度】0.4 【来源】北京市西城区第八中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 【微专题二】 二次根式非负性的应用 【例2】若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】湖南省永州第十二中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、零指数幂、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 【变式2-1】若，为实数，，则的值为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 【变式2-2】已知，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】四川省成都市武侯区西川实验学校2025-2026学年北师大版八年级上学期半期测试数学试卷 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式求值，根据题意可得，得出，进而得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 当时， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】已知实数，满足，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【来源】四川省达州市渠县第二中学 2025—2026学年八年级上学期9月月考数学测试题 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式有意义的条件、求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 【变式2-4】若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【难度】0.65 【来源】山东省济南市槐荫区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 【变式2-5】若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】江苏扬州市江都区八校联谊2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数、加减消元法 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 压轴突破·素养提升 【压轴一】数轴背景下二次根式的化简 【例1】阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，则a的取值范围． 分析：原式，而表示数x在数轴上的点到原点的距离，表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式 在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是 (1)此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举例说明． (2)化简 【来源】山西省临县第四中学校2022-2023学年八年级下学期数学期中考卷（一） 【答案】(1)数形结合思想，分类讨论思想 (2)当时，原式；时，原式；当时，原式 【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论； （2）分，及三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）数形结合思想：借助数轴进行分析的值； 分类讨论思想：在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边． （2）原式 ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论． 【变式1-1】如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 【变式1-2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】江苏省南通市田家炳中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 【变式1-3】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】广东省佛山市南海区桂城街道石石肯初级中学2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可； （2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数，，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质，平方根的定义，掌握平方根的定义和二次根式的性质是解题关键． 【变式1-4】发现 ①计算：___________，___________； ②计算：___________，___________； 总结  通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来； 应用  利用你总结的规律，结合图示计算的值． 【来源】河南省驻马店市新蔡县今是中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题 【答案】①，；②，；总结：一个数的算术平方根的平方等于这个数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；应用：8． 【分析】①②根据二次根式的性质计算即可； 总结：根据二次根式的性质得出规律； 应用：根据数轴可知，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：，； 总结：一个数的算术平方根的平方等于这个数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 应用：由数轴得：， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，熟练掌握，是解题的关键． 【变式1-5】【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【难度】0.65 【来源】湖南省永州第十二中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 【压轴二】 二次根式背景下规律探索 【例2】观察下列等式： ；   ；     ；                   …… 根据以上规律，计算______． 【来源】四川省遂宁市射洪市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 【答案】 【分析】根据等式所呈现的规律，将原式转化为，再进行运算即可求解． 【详解】解：； ； ； …… ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字变化类，掌握等式所呈现的规律是正确计算的前提． 【变式2-1】观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】宁夏回族自治区吴忠市盐池县第五中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题 【知识点】数字类规律探索、求二次根式的值 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 【变式2-2】观察下列各式：①；②；③；…； 根据这些等式反映的规律，若，则_____． 【来源】 安徽省蚌埠市五校联考2022-2023学年八年级下学期第一次调研数学试卷 【答案】1 【分析】根据等式得出规律：若，则，，进而解决此题． 【详解】解：由题意得：若， 则，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题关键是理解题干找出规律． 【变式2-3】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】云南省曲靖市2024-2025学年下学期教学质量监测 九年级数学试题 【知识点】单项式规律题、二次根式的识别 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 【变式2-4】（2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键． 【变式2-5】观察下列各式： ，，，… (1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含（为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子； (2)请你验证所发现的规律． 【来源】安徽省淮北市五校联考2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积． （2）运用二次根式的性质进行化简即可 【详解】（1）规律：， 第10个式子：； （2）证明：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简问题．注意认真观察题中式子的特点，找出其中的规律是解此题的关键． 【变式2-6】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：，…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第4个等式：___________； (2)请写出第个等式（是正整数，用含的式子表示），并证明 【来源】数学（人教版A卷）-学易金卷：2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意写出第4个等式即可； （2）根据前面几个等式猜想规律，再利用二次根式的运算法则进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得到第4个等式为：， 故答案为： （2）由题意：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… ∴第个等式为：， 证明如下：， 故结论成立． 【点睛】此题考查了二次根式规律题，熟练掌握二次根式的运算法则和找到规律是解题的关键． 【变式2-7】．观察下列各式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)=________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【来源】山东省济南市市中区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【答案】(1)； (2) (3)． 【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律． 【变式2-8】观察下列各式： ；； ，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想：＝ ＝ ； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)应用：计算． 【来源】河北省承德市兴隆县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】（1）根据所给例子解答即可； （2）根据所给例子用含n（n为正整数）的代数式表示即可； （3）先将改写成，然后根据规律解答即可． 【详解】（1）猜想：； 故答案为：，； （2）由所给例子可得，． 故答案为：； （3） ＝ ＝ ＝1． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的性质与化简，观察出规律是解答本题的关键． 【变式2-9】已知，，，…，其中为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【来源】广东省惠州市惠东县2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷 【答案】A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《19.1二次根式及其性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次根式的概念 微专题1求二次根式中的参数与最值 模块2 二次根式有意义的条件 微专题2二次根式非负性的应用 模块3 求二次根式的值 压轴1 数轴背景下二次根式的化简 模块4 二次根式的基本性质 压轴2 二次根式背景下规律探索 模块通关·举一反三 【模块一】二次根式的概念 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-5】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【模块二】二次根式有意义的条件 【例2】若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024年四川省绵阳市中考数学试题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（江苏省宿迁市2021年中考数学真题）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【变式2-5】（已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【模块三】求二次根式的值 【例3】已知二次根式. （1）当时，求该二次根式的值； （2）当该二次根式的值为时，求的值． 【变式3-1】当时，二次根式的值是 ． 【变式3-2】若求的值． 【变式3-3】任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【变式3-4】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【变式3-5】当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【模块四】二次根式的基本性质 【例4】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【变式4-1】下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4-3】已知，化简 ． 【变式4-4】 ． 【变式4-5】已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】求二次根式中的参数与最值 【例1】已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 【变式1-1】若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【变式1-2】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【变式1-3】若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【变式1-4】若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【变式1-5】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【微专题二】 二次根式非负性的应用 【例2】若，则 ． 【变式2-1】若，为实数，，则的值为 ． 【变式2-2】已知，则 ． 【变式2-3】已知实数，满足，求的值． 【变式2-4】若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【变式2-5】若满足关系式 ，则 ． 压轴突破·素养提升 【压轴一】数轴背景下二次根式的化简 【例1】阅读材料，解答问题． 例：若代数式的值是常数2，则a的取值范围． 分析：原式，而表示数x在数轴上的点到原点的距离，表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式 在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是 (1)此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举例说明． (2)化简 【来源】山西省临县第四中学校2022-2023学年八年级下学期数学期中考卷（一） 【变式1-1】如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【变式1-2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【变式1-3】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【变式1-4】发现 ①计算：___________，___________； ②计算：___________，___________； 总结  通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来； 应用  利用你总结的规律，结合图示计算的值． 【变式1-5】【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【压轴二】 二次根式背景下规律探索 【例2】观察下列等式： ；   ；     ；                   …… 根据以上规律，计算______． 【变式2-1】观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】观察下列各式：①；②；③；…； 根据这些等式反映的规律，若，则_____． 【变式2-3】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【变式2-5】观察下列各式： ，，，… (1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含（为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子； (2)请你验证所发现的规律． 【变式2-6】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：，…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第4个等式：___________； (2)请写出第个等式（是正整数，用含的式子表示），并证明 【变式2-7】．观察下列各式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)=________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【变式2-8】观察下列各式： ；； ，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想：＝ ＝ ； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)应用：计算． 【变式2-9】已知，，，…，其中为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $