第2章 第1节 第2课时 简谐运动的描述-【优学精讲】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册教用Word(教科版)

第2课时　简谐运动的描述 知识点一　描述简谐运动的物理量 理想弹簧振子如图所示，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。 (1)从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 提示：(1)不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同。 (2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。 1．对全振动的理解 (1)物理量特征：位移(x)、速度(v)两者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特征：历时一个周期。 (3)路程特征：振幅的4倍。 (4)相位特征：增加2π。 2．振幅与位移、路程、周期的关系 (1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。 (2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。 (3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。 角度1　简谐运动物理量的分析 关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是(　　) A．振幅等于四分之一个周期内路程的大小 B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间 C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍 D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次 [解析]　由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz，1 s内速度方向改变100次，D正确。 [答案]　D 如图所示，将弹簧振子从平衡位置O向右拉开4 cm后放手，让它做简谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为0.1 s。 (1)求弹簧振子的振幅、周期、频率。 (2)求2 s内完成全振动的次数。 (3)求振子从开始运动经过2.5 s的位移的大小。 (4)求振子经5 s通过的路程。 (5)若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6 cm后释放，则运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？ [解析]　(1)根据振幅的定义，可知振幅A＝4 cm；由于一周期内有4个等时的运动阶段，从最大位移处向平衡位置运动的时间为，所以周期T＝0.1 s×4＝0.4 s，频率f＝＝2.5 Hz。 (2)因为T＝0.4 s，t1＝2 s＝5T，所以2 s内完成了5次全振动。 (3)经过2.5 s，t2＝2.5 s＝T 振子经整数周期恰好回到原来位置(即右侧最大位移处)，再经振子正向左经过平衡位置，所以2.5 s末振子的位移为0。 (4)由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅，t3＝5 s＝12.5T，所以振子经过5 s通过的路程s＝12.5×4×0.04 m＝2 m。 (5)由于振子振动的周期与振幅无关，所以振子的振幅变为6 cm，而周期与频率均不变。 [答案]　(1)4 cm　0.4 s　2.5 Hz　(2)5　(3)0 (4)2 m　(5)振幅变为6 cm，而周期与频率均不变 角度2　利用振动图像分析简谐运动的物理量 (多选)(2024·贵州六盘水统考期中)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示，下列说法正确的是(　　) A．质点a、b振动的振幅均为20 cm B．质点a、b振动的频率之比为1∶2 C．质点a、b振动的周期之比为2∶1 D．质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1 [解析]　由题图可知质点a、b振动的振幅均为20 cm，故A正确；质点a的周期为0.2 s、质点b的周期为0.4 s，则a、b振动的周期之比为1∶2，频率之比为2∶1，故B、C错误；质点a在0.2 s内的路程为80 cm，质点b在0.2 s内的路程为40 cm，则运动的路程之比为2∶1，故D正确。 [答案]　AD 知识点二　简谐运动对称性和周期性 1．简谐运动的对称性 如图所示，物体在A点和B点之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则： (1)时间的对称 ①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如tDB＝tBD。 ②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等，方向相反。 2．简谐运动的周期性 简谐运动是一种周期性的运动，根据其周期性可作如下判断： (1)若t2－t1＝nT，则在t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T，则在t1、t2两时刻，描述运动物体的物理量(x、v)均大小相等，方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体到达平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；当t1时刻物体在其他位置时，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 (2023·黄冈中学月考)质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是(　　) A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C．当质点的位移再次与零时刻的位移相同时，经过的时间为一个周期 D．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期 [解析]　质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，A错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周期，B错误；质点连续两次经过同一位置时，位移相同，但经历的时间一般不等于一个周期，C错误；质点在任何半个周期内通过的路程一定是振幅的2倍，D正确。 [答案]　D (多选)(2023·四川射洪中学阶段练)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要的时间为(　　) A．1.2 s　　　　　　　 B． s C．0.4 s D．1.4 s [解析]　假设振子从平衡位置开始向右运动，当P点在右侧时，由题意可知＝0.3 s＋ s＝0.4 s，该振子第三次经过P点还需要的时间为t1＝2×＋0.3×2 s＝1.4 s，当P点在左侧时，由题意可知＝0.3 s＋ s＝0.4 s，可得T2＝ s，该振子第三次经过P点还需要的时间为t2＝T2－0.2 s＝ s。 [答案]　BD 知识点三　简谐运动的表达式 1．简谐运动的表达式：x＝A sin (ωt＋φ) 式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。 2．各量的物理含义 (1)角频率：表达式中的ω称为简谐运动的角频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系为ω＝＝2πf。 (2)φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。(ωt＋φ)代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。 3．从运动方程中得到的物理量 能够得到振幅、周期、角频率和初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。 如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s。若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为(　　) A．x＝0.2sin m B．x＝0.1sin m C．x＝0.1sin m D．x＝0.2sin m [解析]　弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm，所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以T＝0.75 s，ω＝＝2π rad/s，则x＝0.1sin (2πt＋φ) m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得x＝0.1sin (2πt＋) m。 [答案]　C (多选)有两个振动的振动方程分别是：x1＝3sin cm，x2＝5sin (100πt＋)cm，下列说法正确的是(　　) A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 [解析]　它们的振幅分别是3 cm、5 cm，所以它们的振幅不相同，故A错误；运动周期都是T＝＝0.02 s，所以它们的周期相同，故B正确；它们的相位差Δφ＝－＝，可得相位差恒定，故C正确；因为相位差不等于0，所以它们振动步调不一致，故D错误。 [答案]　BC 综合一练　简谐运动物理量及表达式的综合问题 (2024·湖南张家界民族中学期中) 一做简谐运动的弹簧振子的振动图像如图所示，请根据图像，求： (1) 该振子做简谐运动的振幅A、圆频率ω、初相φ0； (2) 该振子在前12 s内通过的路程； (3)用正弦函数表示的该振子的振动方程。 [解析]　(1)根据振动图像可知，简谐运动的振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，则圆频率ω＝＝ rad/s，从负向最大位移处开始，所以初相φ0＝π。 (2)在前12 s内即运动3T，通过的路程s＝3×4A＝48 cm。 (3)用正弦函数表示该振子的振动方程x＝A sin (ωt＋φ)＝4sin (t＋)cm。 [答案]　(1)4 cm　 rad/s　π　(2)48 cm (3)x＝4sin (t＋)cm 1．(利用图像分析简谐运动的物理量)某弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．在图中A点对应的时刻，振子位移方向为负方向 B．在图中A点对应的时刻，振子的速度方向指向x轴的负方向 C．在前4 s内振子做了4次全振动 D．在前4 s内振子通过的路程为4 cm 解析：选D。在题图中A点对应的时刻，振子向正向最大位移处运动，即速度方向指向x轴正方向，A、B错误；由题图可看出，周期T＝2 s，所以在前4 s内经过两个周期，即振子完成两次全振动，所以通过的路程s＝2×4A＝2×4×0.5 cm＝4 cm，C错误，D正确。 2．(简谐运动的周期性和对称性)(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列结论正确的是(　　) A．质点的振动频率为4 Hz B．在10 s内质点通过的路程是20 cm C．在第5 s末，质点的速度为0 D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的速度方向相同 解析：选BC。由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，故A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，t＝10 s＝2.5T，则在10 s内质点经过的路程是s＝2.5×4A＝10×2 cm＝20 cm，故B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为0，故C正确；由题图看出，在 t＝1.5 s 和t＝4.5 s两时刻质点位移相同，由于两个时刻图线的切线方向相反，所以速度方向相反，故D错误。 3．(简谐运动的表达式)(2023·湖北襄阳一中阶段练)物体做简谐运动，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时振子位于正向最大位移处，它的位移公式是(　　) A．x＝8×10－3sin m B．x＝8×10－3sin m C．x＝4×10－3sin m D．x＝4×10－3sin m 解析：选A。由题意，t＝0时，振子的位移是正向最大，即x0＝A＝0.8 cm，根据简谐振动的位移公式x＝A sin (ωt＋φ)，ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，x0＝A sin φ＝0.8 cm，所以φ＝，所以位移公式为x＝0.8sin (4πt＋) cm＝8×10－3sin m。 4．(简谐运动图像和位移表达式的综合)(2024·江苏苏州月考)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。求： (1)写出该简谐运动的表达式； (2)振子在前3.6 s内通过的路程。 解析：(1)由图像可知振幅A＝2 cm，周期T＝0.8 s，则ω＝＝ rad/s＝ rad/s 由简谐运动表达式x＝A sin ωt， 可得x＝2sin (πt)cm。 (2)在前3.6 s内，经过的周期数 n＝＝＝4.5 则在前3.6 s内，振子通过的路程s＝4×4A＋2A＝18A＝18×2 cm＝36 cm。 答案：(1)x＝2sin (πt)cm　(2)36 cm 学科网（北京）股份有限公司 $