30.4二次函数的应用数随堂练习2025-2026学年 冀教版数学九年级下册

30.4二次函数的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是45m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度时，．其中正确的是（　　）    A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 3．如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 4．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路(阴影部分)，空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（      ）    A． B． C． D． 6．王刚在练习投篮，篮球脱手后的运动轨迹近似为如图所示的抛物线，已知篮圈高米，王刚投篮时出手高度为米，若要使篮球刚好投进篮圈，则投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A．6s B．7s C．8s D．9s 9．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 11．如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    14．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    15．如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米． 16．河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 17．乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化． （1）与之间的函数解析式为 （写出自变量的取值范围）； （2）当 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 ． 三、解答题 18．如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 19．在篮球运动中，跳投是进攻队员面对防守队员或摆脱防守队员后投篮的方法，跳投能出其不意地甩开防守人员的防守，也能有效避免被对方封盖，如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心B水平距离4m处跳起投篮，出手点为C，蓝球沿一条抛物线运动，当蓝球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内（穿过篮圈中心B），已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，其中A为抛物线与y轴的交点，求抛物线所对应的函数表达式． (2)这次跳投时，球出手点离地面多高？ 20．某商场试销一种服装，成本为每件60元，经试销发现，每天销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数，当销售单价为多少元时，能使每天的利润最大？求出最大利润． 21．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 22．悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 23．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 24．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 《30.4二次函数的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A C B A D A 题号 11 12 答案 D D 1．A 【分析】由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为， 则抛物线解析式为 将代入可得： 解得 即解析式为 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式，解题的关键是理解题意，正确设出解析式． 2．D 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，或，故④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型． 3．A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【详解】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案． 【详解】解：当时，，故①正确； ， 当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确； 综上，三个全部正确； 故选：D． 5．A 【分析】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为米，宽为米的矩形的面积，以此即可求解． 【详解】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动，    则空白部分为矩形，长为米，宽为米， 绿地面积与之间的函数表达式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 6．C 【分析】根据题意，得出，点的纵坐标为，再把代入二次函数解析式中，得出一元二次方程，解出的值，再结合图象，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得：，点的纵坐标为， 当时，可得：， 即， 解得：，， ∵函数的对称轴为， 又∵点在对称轴的右侧， ∴， ∴的水平距离为米， ∴投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为米． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解本题的关键在将函数问题转化为方程问题． 7．B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 8．A 【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】 ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，升到最高点， 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数的应用，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键． 9．D 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 10．A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∴与的函数图象是A． 故选：A． 11．D 【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选． 【详解】解：如图，过作于点， 则，， ①当点在上时，，，， ， 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线； 由此可排除A，B，C． ②当时，即点在线段上时，； 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为； ③当时，即点在线段上，此时，， 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线； 故选：D． 12．D 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 13． 【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 14． 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 15． 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度． 【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则， ∴， 解得，， ∴， 即此时桥拱最高点P离水面的高度是米， 故答案为：． 16． 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质是解题的关键． （）设每箱石榴降价元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于列出方程，求出解即可； （）设利润为，即可得出关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）设每箱石榴降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或； （）设利润为， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润有最大值，为元， 故答案为：． 17． 20 【分析】（1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案； （2）根据，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为， 则该三角形的面积； （2）∵， ∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是． 故答案为：（1）；（2）20，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数解析式是解题关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； （2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为， ∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 19．(1)； (2)球出手处离地面2.25m． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用顶点式设出解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点坐标为， 篮圈中心横坐标为， 篮圈中心坐标为， 抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， 可设抛物线的函数关系式为， 篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式， 得 ， ． （2）解：设这次跳投时，球出手处离地面hm， 可知出手处C的坐标为， (1)中求得， 当时， （m） 这次跳投时，球出手处离地面2.25m． 20．当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设每天的利润为元，而， 则 ， ∵， ∴函数有最大值， ∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元． 21．(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 22．(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题易知，四边形为矩形， ， 点距离桥面为，， ， 平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴， ， C点坐标为，P点坐标为， 将，代入中， 得 ，解得． 主索抛物线的表达式为； （2）解：当时，，此时吊索的长度为（）， 由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为． 同理，时，，此时吊索的长度为（）， 时，此时吊索的长度也为． 四根吊索的总长度为． 23．(1)或时，的面积为； (2)四边形面积的最小值为． 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论； （2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； 由题意得：， 解得或， ∴或时，的面积为； （2）解：∵且， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是． 此时，四边形面积取得最小值，最小值为． 【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键． 24．(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $