第23章 四边形【章节复习】选填专题 培优讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

该初中数学四边形章节复习讲义通过知识框架系统梳理多边形、平行四边形、特殊平行四边形及三角形中位线与重心等核心内容，用表格归纳常考题型及解题方法，清晰呈现内角和公式、特殊四边形判定等重难点及知识内在联系。 讲义亮点在于分专题真题精讲，如“多边形内角和是外角和2倍求边数”等题型，培养运算能力与推理意识，结合解题思路指导。随堂检测与课后巩固分层设计，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

第23章 四边形章节复习<选填专题突破> (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第23章四边形选择填空题专题复习。在本节课中，我们梳理了四边形章节所有概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本章知识点。 知识点一 多边形概念 1.多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。 2.分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3） 3.内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180° 对角线条数：n边形(n≥3)的对角线条数=n(n-3)÷2 4.外角和定理：任意多边形的外角和 = 360° 常考题型及解题方法 题型分类 典型例题 解题思路 求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440° 已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14 正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72° 内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14 知识点二 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形 2.性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形 3.判定方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分 知识点三 矩形、菱形、正方形 1.矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形 性质：四个角都是直角；对角线相等 判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形 2.菱形 定义：一组邻边相等的平行四边形 性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=×对角线乘积 判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形 3.正方形 定义：既是矩形又是菱形的四边形 性质：具有矩形和菱形的所有性质 注意：易混淆点 1. 对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形） 2. 对角线垂直的四边形不一定是菱形 3. 正方形具有矩形和菱形的所有性质 知识点四 三角形中位线与重心. 1.中位线定理：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半 2.重心：三条中线的交点；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；重心将三角形面积三等分 一．多边形及其性质（共6小题） 1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180＝2×360， 解得：n＝6． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． 2．凸十边形的外角和为（　　） A．1800° B．1440° C．1080° D．360° 【分析】根据多边形的外角和定理解答即可． 【解答】解：凸十边形的外角和是360°． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 3．一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【分析】首先利用多边形的内角和公式求得多边形的边数；然后根据多边形的边数与对角线的关系即可得出结论． 【解答】解：设多边形的边数为n． 根据题意得：140°n＝（n﹣2）×180°， 解得n＝9， 所以从一个顶点引出的对角线的条数为9﹣3＝6（条）． 故选：D． 【点评】本题考查的是多边形的内角和，多边形的对角线，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 4．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　1080°　 ． 【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解． 【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°＝8， 多边形的内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°． 故答案为：1080°． 【点评】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，以及多边形内角和公式，利用外角和为360°求出多边形的边数是解题的关键． 5．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ACB＝　24　 °． 【分析】利用多边形内角和定理及正多边形的性质求得正五边形和正六边形每个内角的度数，继而求得∠BAC的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：由题意可得，正五边形的每个内角为（5﹣2）×180°÷5＝108°，正六边形的每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°， 则∠BAC＝360°﹣108°﹣120°＝132°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB24°． 故答案为：24． 【点评】本题考查多边形内角和及正多边形的性质，等腰三角形的性质，由题意求得正五边形和正六边形一个内角的度数是解题的关键． 6．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 　八　 边形． 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得， （n﹣2）•180°＝3×360°， 解得n＝8， ∴这个多边形为八边形． 故答案为：八． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写． 二．平行四边形及其判定（共12小题） 7．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【分析】根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形． 【解答】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定，不符合题意； B．一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形，能判定，不符合题意； C．对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，不能判定，符合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的判定条件，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝10，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．14 【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝4，AD＝BC＝10，因为AC的垂直平分线交AD于点E，所以CE＝AE，则DE+CE＝AD＝10，所以CD+DE+CE＝14，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝10， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝10， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴CE＝AE， ∴DE+CE＝DE+AE＝AD＝10， ∴CD+DE+CE＝4+10＝14， ∴△CDE的周长是14， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，推导出CE＝AE，进而证明CD+DE+CE＝CD+AD是解题的关键． 9．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（　　） A．0＜m＜10 B．0＜m＜6 C．4＜m＜6 D．2＜m＜8 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，再由三角形的三边关系得OB﹣OA＜m＜OB+OA，即5﹣3＜m＜5+3，即可得出结论． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5， 在△AOB中，由三角形的三边关系得：OB﹣OA＜m＜OB+OA， 即5﹣3＜m＜5+3， ∴2＜m＜8， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D 【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、AD＝BC，四边形ABCD有可能是等腰梯形，故A不符合题意； B、由AB∥CD推出∠BAC∠ACD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故B不符合题意； C、AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意； D、由AB∥CD推出∠B+∠BCD＝180°，得到∠BCD+∠D＝180°，推出AD∥BC，判定四边形ABCD是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法． 11．如图，分别以△ABC的三边为一边作▱BCED，▱ABFG，▱ACIH，且点D，E分别在FG，HI上．若▱ABFG，▱ACIH的面积分别为S1，S2，则▱BCED的面积为（　　） A．S1+S2 B． C． D． 【分析】过A作AM⊥BD交BD的延长线于M，AN⊥CE于N，由平行四边形的性质推出BD∥CE，BD＝CE，判定M、A、N共线，由三角形面积公式得到△ABD的面积S1，△ACE的面积S2，因此△ABD的面积+△ACE的面积（S1+S2），推出BD•MN＝S1+S2，得到平行四边形BCED的面积＝S1+S2． 【解答】解：过A作AM⊥BD交BD的延长线于M，AN⊥CE于N， ∵四边形BCED是平行四边形， ∴BD∥CE，BD＝CE， ∴AM⊥CE， ∴M、A、N共线， ∵四边形ABFG是平行四边形， ∴FG∥AB， ∴△ABD的面积S1， 同理：△ACE的面积S2， ∴△ABD的面积+△ACE的面积（S1+S2）， ∵△ABD的面积BD•AM，△ACE的面积CE•AN， ∴BD（AM+AN）＝△ABD的面积+△ACE的面积（S1+S2）， ∴BD•MN＝S1+S2， ∴平行四边形BCED的面积＝S1+S2． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出△ABD的面积+△ACE的面积（S1+S2）． 12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S平行四边形ABCD＝AB×AC；③S△ABC＝2S△ACE；④OEBC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的定义证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BEBC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°， ∵ABBC， ∴AE＝BEBC， ∴AE＝CE，故①正确； ∴∠EAC＝∠ACE＝30° ∴∠BAC＝90°， ∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确； ∵BE＝EC， ∴E为BC中点， ∴S△ABE＝S△ACE， ∴S△ABC＝2S△ACE，故③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝CO， ∵AE＝CE， ∴EO⊥AC， ∵∠ACE＝30°， ∴EOEC， ∵ECBC， ∴OEBC，故④正确； 故正确的个数为4个， 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键． 13．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　20　 ． 【分析】由平行四边形的性质得出OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，求出OA+OB＝16，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC，OBBD，AB＝CD＝4， ∵AC+BD＝32， ∴OA+OB（AC+BD）＝16， ∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝16+4＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 14．如图，△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，△ABC的周长为128，则△CDF与△BDE的周长和为　128　 ． 【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导△CDF与△BDE的周长和与△ABC周长的关系． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DF＝AE，DE＝AF； ∵△CDF的周长为CF+FD+DC，△BDE的周长为BE+ED+DB， ∴△CDF与△BDE的周长和为（CF+FD+DC）+（BE+ED+DB） ＝（CF+DE）+（FD+BE）+（DC+DB） ＝（CF+AF）+（AE+BE）+（DC+DB） ＝AB+AC+BC ＝128， 故答案为：128． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 15．平行四边形一组对角的和为260°，那么这个平行四边形中较小内角的度数为　50°　 ． 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和定理求解即可． 【解答】解：如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝260°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C， ∴∠B+∠A＝180° ∵∠A+∠C＝260°， ∴∠A＝∠C＝130°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝50°， ∴平行四边形一组对角的和为260°，那么在这个平行四边形中较小的一个内角等于50°． 故答案为：50°． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用． 16．已知平行四边形ABCD的周长是22cm，AC和BD交于点O，△OAB比△OBC的周长小3，则AB的长为 　4cm ． 【分析】根据平行四边形性质得出OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，求出AB+BC＝11，BC﹣AB＝3，两式相减即可求出AB． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形ABCD的周长是22cm， ∴2AB+2BC＝22， ∴AB+BC＝11①， ∵△OAB的周长比△OBC的周长小3， ∴（BC+OC+OB）﹣（AB+OA+OB）＝3， ∴BC﹣AB＝3②， ∵①﹣②得：2AB＝8， ∴AB＝4cm． 故答案为：4cm． 【点评】本题考查了平行四边形性质的应用，关键是能根据题意得出AB+BC＝10，BC﹣AB＝2，题目比较好，难度适中． 17．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝　4.8s或8s或9.6s 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t， 此时方程t＝0，此时不符合题意； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8； ④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t， 解得：t＝9.6； 综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4.8s或8s或9.6s． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 18．在平行四边形ABCD中，如果∠A＝2∠B，那么∠D的度数是　60°　 ． 【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D， ∵∠A＝2∠B， ∴∠B＝60°， ∴∠D＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 三．特殊平行四边形（共22小题） 19．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　） A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD 【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； C、∵BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OB C．∠DAC＝∠BAC D．∠ABC＝∠BAD 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意； C、不能证明四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，连接AF，AG．则下列结论错误的是（　　） A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形 B．当AD＝BD时，则四边形AGBF为矩形 C．当AB＝FG时，则四边形AGBF为矩形 D．当BF＝BG时，则四边形AGBF为菱形 【分析】根据角平分线的定义得到∠DBG，求得∠DBG+∠DBF（∠ABM+∠ABC）∠MBC，得到∠GBF＝90°，推出DG＝DB＝DF，当AF∥BG时，∠FAD＝∠DBG，根据全等三角形的性质得到AF＝BG，推出四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；当AD＝BD时，由DG＝DF，得到四边形AGBF为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；当AB＝FG时，由BD＝DG＝DFFG，得到BD，求得AD＝BD，得到四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；当BF＝BG时，则△GBF是等腰直角三角形，得到AB⊥FG，但不能证得四边形AGBF是平行四边形，当BF＝BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故D符合题意． 【解答】解：如图，∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G， ∴∠DBG， ∴∠DBG+∠DBF（∠ABM+∠ABC）∠MBC， ∵∠MBC＝180°， ∴∠GBF＝90°， ∵GE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠DGB＝∠GBM， ∴∠DGB＝∠DBG，∠DFB＝∠DBF， ∴DG＝DB＝DF， 当AF∥BG时，∠FAD＝∠DBG， ∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AF＝BG， ∴四边形AGBF为矩形，故A不符合题意； 当AD＝BD时，∵DG＝DF， ∴四边形AGBF为平行四边形， ∵∠GBF＝90°， ∴四边形AGBF为矩形；故B不符合题意； 当AB＝FG时，∵BD＝DG＝DFFG， ∴BD， ∴AD＝BD， ∴四边形AGBF为矩形；故C不符合题意； 当BF＝BG时，则△GBF是等腰直角三角形， ∴AB⊥FG， 但不能证得四边形AGBF是平行四边形， ∴当BF＝BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 22．如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 【分析】根据三角形外角的性质得到∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝40°，再由平角的定义即可求出∠ECF． 【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝75°﹣35°＝40°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠BCD﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∴50°﹣30°＝20°，即图中∠ECF应20°， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了三角形外角性质，矩形性质，掌握相关性质是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　） A． B． C． D．5 【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可． 【解答】解：连接PC，如图所示， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF＝PC， ∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∴PC的最小值为：4.8． ∴线段EF长的最小值为4.8． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 24．如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是　6　 ． 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，由直角三角形的性质可得CD＝2OE，故可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△COD是直角三角形， ∵点E是CD的中点， ∴CD＝2OE＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 25．下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，本选项不符合题意； B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，原说法错误，本选项不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般． 26．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　） A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、AB＝AD，∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COB＝90°， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC，AO＝OC， ∴DA＝DB， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； B、AB∥CD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB＝∠CBD， ∴CB＝CD， ∵AC⊥BD， ∴OD＝OB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； C、OB＝OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COB＝90°， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC，AO＝OC， ∴四边形ABC都是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； D、由AD＝CD，无法判断四边形ABCD是菱形． 故选：D． 【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 27．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．如果AB＝CD，∠ABC＝∠BAD，那么四边形ABCD是矩形 B．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果OB＝OD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AD＝BC，∠ABD＝∠CBD，那么四边形ABCD是菱形 【分析】根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：A、∵AD∥BC，∠ABC＝∠BAD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝CD， ∴CD⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形，不符合题意； B、AD∥BC，AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，也可以是等腰梯形，错误，符合题意； C、AD∥BC，OB＝OD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，正确，不符合题意； D、AD∥BC，AD＝BC，∠ABD＝∠CBD，那么四边形ABCD是菱形，正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理． 28．符号“⇒”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“⇒”表示的推出过程正确的是（　　） A．①⇒②⇒③ B．①⇒③⇒② C．②⇒③⇒① D．③⇒①⇒② 【分析】对于选项A，根据四边形对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形，由此可对选项A进行判断； 对于选项B，根据四边形对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，根据正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直即可对选项C进行判断； 对于选项D，根据菱形对角线相等时，则该菱形为正方形，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵四边形的对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形， ∴根据四边形的对角线互相垂直不能推出该四边形是正方形， 故选项A不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵四边形的对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形 ∴根据四边形对角线互相垂直不能推出该四边形是菱形， 故选项B不正确，不符合题意； ∵正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直， ∴当四边形是正方形时可以推出该四边形是菱形，可以推出该四边形的对角线互相垂直， 故选项C正确，符合题意； 对于选项D， ∵对角线相等（或有一个角是直角）的菱形是正方形， ∴当四边形是菱形时不能推出该四边形是正方形， 故选项D不正确，不符合题意， 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形是特殊的菱形，熟练掌握正方形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键， 29．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中错误的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①由正方形性质得AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，进而得AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，由此可依据“SAS”判定△BCE和△CDF全等，则∠BCE＝∠CDF，进而可证明∠CGD＝90°，据此可对结论结论①进行判断； ②连接AH，证明四边形AECH是平行四边形得AH∥CE，进而得AH⊥DF，再根据直角三角形斜边中线性质得HG＝HD＝HCCD，则∠AHG＝∠AHD，由此可依据“SAS”判定△AHG和△AHD全等，再根据全等三角形的判定即可对结论②进行判断； ③根据△AHG和△AHD全等得∠DAG＝2∠DAH，证明∠DAH＝∠HDG得∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，再根据三角形外角性质及HG＝HD得∠CHG＝2∠HGD，由此可对结论③进行判断； ④由HG＝HD＝HCCD，AD＝CD即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点， ∴AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠BCE＝∠CDF， ∵∠BCE+∠DCG＝∠BCD＝90°， ∴∠CDF+∠DCG＝90°， 在△CDG中，∠CGD＝180°﹣（∠CDF+∠DCG）＝90°， 即CE⊥DF， 故结论①正确； ②连接AH，如图所示： ∵AB∥CD，AE＝CH， ∴四边形AECH是平行四边形， ∴AH∥CE， ∵CE⊥DF， ∴AH⊥DF， ∴∠CGD＝90°，点H是CD的中点， ∴GH是Rt△CDG的斜边CD上的中线， ∴HG＝HD＝HCCD， 又∵AH⊥DF， ∴∠AHG＝∠AHD， 在△AHG和△AHD中， ， ∴△AHG≌△AHD（SAS）， ∴AG＝AD， 故结论②正确； ③∵△AHG≌△AHD， ∴∠GAH＝∠DAH， ∴∠DAG＝2∠DAH， ∵AH⊥DF，∠ADC＝90°， ∴∠DAH+∠ADG＝90°，∠ADG+∠HDG＝90°， ∴∠DAH＝∠HDG， ∴∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG， ∵∠CHG是△HDG的外角， ∴∠CHG＝∠HDG+∠HGD， ∵HG＝HD， ∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠CHG＝2∠HGD， ∴∠CHG＝∠DAG， 故结论③正确； ④∵HG＝HD＝HCCD，AD＝CD， ∴HGAD， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，错误的结论有0个． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 30．已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝　8　 cm． 【分析】利用余角的性质求得∠AEB＝∠EBC＝75°，利用等边对等角求得∠CEB＝∠EBC＝75°，再利用平角的定义求得∠CED＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝CD＝4cm，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝90°﹣15°＝75°， ∵BC＝EC， ∴∠CEB＝∠EBC＝75°， ∴∠CED＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴BC＝EC＝2CD＝8cm． 故答案为：8． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度为斜边长度的一半”是解题的关键． 31．矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB＝110°，则∠OAD＝ 　55　 °． 【分析】根据矩形性质得∠DAB＝90°，OA＝OB，进而得∠OAB＝∠OBA＝1/2（180°﹣∠AOB）＝35°，由此即可得出∠OAD的度数． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，OA＝OB， ∵∠AOB＝110°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣∠AOB）＝35°， ∴∠OAD＝∠DAB﹣∠OAB＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 32．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　16　 ． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出AB的长，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOB为直角三角形， ∵OE＝2，且点E为线段AB的中点， ∴AB＝2OE＝4， ∴菱形的周长＝4AB＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质解题的关键． 33．阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”． 问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　2d≤4　 ． 【分析】如图，设AM交EF于点P，根据新定义可得，过点B作BG∥FE交AD于点G，根据平行线分线段成比例定理可知：点M在线段BG上，连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1，最后由勾股定理和三角形的面积即可解答． 【解答】解：如图，设AM交EF于点P， ∵点M是点A关于线段EF的“友好点”， ∴， ∵AE＝AF＝1，AB＝3，AD＝4， ∴，即当M与B重合时，CM有最大值，此时CM'＝4， 过点B作BG∥FE交AD于点G， ∴AG＝AB＝3， ∴点M在线段BG上，DG＝4﹣3＝1， 连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1， 由勾股定理得：BG3， ∵S△BCG3×43CM1， ∴CM1＝2， ∵点C与点M之间距离为d， ∴d的取值范围为：2d≤4． 故答案为：2d≤4． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，新定义“友好点”，三角形面积等知识，解决本题的关键是理解和运用“友好点”． 34．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　2　 ． 【分析】先证明△GAD≌△EAB，求出∠PDG＝45°，进而得出点G在线段DH上，当PG⊥DH时，PG最短，此时△PDG为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出PG的长度，即可得出答案． 【解答】解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形， ∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE，∠ABD＝45°， ∴∠DAB﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，即∠GAD＝∠EAB， 在△GAD和△EAB中， ， ∴△GAD≌△EAB（SAS）， ∴∠PDG＝∠ABD＝45°， ∴点G在线段DH上， ∴当PG⊥DH时，PG最短， ∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点， ∴DP＝4， ∵PG⊥DH，∠PDG＝45°， ∴△PDG为等腰直角三角形， ∴PGPD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键． 35．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为AD中点，点G、F分别在边DC、AB上．联结BE、FG，且线段BE、FG的夹角为45°．若DG＝1，则FB的长为 　　 ． 【分析】连接EG，BG，过点F作FH⊥BE于点H，证明△FQH是等腰直角三角形，得FH＝QH，利用勾股定理逆定理证明△BEG是直角三角形，得∠BEG＝90°，所以△EQG是等腰直角三角形，然后证明△BFH∽△BEA，得，代入值即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EG，BG，过点F作FH⊥BE于点H， ∵线段BE、FG的夹角为45°， ∴∠FQH＝45°， ∴△FQH是等腰直角三角形， ∴FH＝QH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝BC＝AB＝4， ∵DG＝1， ∴CG＝3， ∴BG2＝BC2+CG2＝42+32＝25， ∵E为AD中点， ∴AE＝DE＝2， ∴BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，GE2＝DG2+DE2＝12+22＝5， ∴BE2+GE2＝BG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠BEG＝90°， ∵∠EQG＝45°， ∴△EQG是等腰直角三角形， ∴EQ＝EG， ∵BE＝2， ∴BQ＝BE﹣EQ， ∴BH＝BQ﹣QHFH， ∵∠FBH＝∠EBA，∠FHB＝∠EAB＝90°， ∴△BFH∽△BEA， ∴， ∴， ∴FH，BF， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是证明△BEG是直角三角形． 36．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　25°　 ． 【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，可求∠ABD＝65°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°， 故答案为25°． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 37．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　3　 ． 【分析】连接AP，由菱形ABCD的周长为16，根据了菱形的性质得AB＝AD＝4，并且S菱形ABCD＝2S△ABD，则S△ABD12＝6，由于S△ABD＝S△APB+S△APD，再根据三角形的面积公式得到•PE•AB•PF•AD＝6，即可得到PE+PF的值． 【解答】解：连接AP，如图， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB＝AD＝4， ∴S菱形ABCD＝2S△ABD， ∴S△ABD12＝6， 而S△ABD＝S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD， ∴•PE•AB•PF•AD＝6， ∴2PE+2PF＝6， ∴PE+PF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角，也考查了三角形的面积公式，作出适当的辅助线，利用三角形的面积和菱形的面积建立等量关系是解答此题的关键． 38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F，联结EF，则线段EF的最小值为 　2.4　 ． 【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可． 【解答】解：连接PC， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF＝PC， ∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∴PC的最小值为：2.4． ∴线段EF长的最小值为2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 39．如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　6或　 厘米/秒． 【分析】根据△AEP与△BPQ全等，得到AE＝PB，可计算出运动时间，再根据BQ＝AP，即可计算出点Q的运动速度． 【解答】解：设运动时间为ts，Q的运动速度xcm/s， 由题意得AP＝2tcm，QC＝xtcm， ∴BQ＝（16﹣xt）cm，PB＝（12﹣2t）cm， ∵△AEP与△BPQ全等， ∴BQ＝AP，AE＝PB或BP＝AP，AE＝BQ， 当BQ＝AP，AE＝PB时， ∵AE＝8cm， ∴12﹣2t＝8cm， ∴t＝2， ∴AP＝2t＝4cm， ∴16﹣xt＝4， ∴x＝6； 当BP＝AP，AE＝BQ时， ， 解方程组得t＝3，x， 故点Q的运动速度是6cm/s或cm/s． 故答案为：6或． 【点评】本题考查矩形的性质和全等三角形的性质，根据三角形全等对应的边相等建立等式是解本题的关键． 40．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC＝3，CE＝1，那么AF的长是 　　 ． 【分析】延长FG交AB于点H，依题意得BE＝BC+CE＝4，证明四边形BEFG是矩形得BH＝EF＝1，FH＝BE＝4，AH＝2，然后在Rt△AHF中，由勾股定理即可求出AF的长． 【解答】解：延长FG交AB于点H，如图所示： ∵BC＝3，CE＝1，B、C、E三点共线， ∴BE＝BC+CE＝4， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴AB＝BC＝3，∠B＝90°，CE＝CG＝3，∠E＝∠EFG＝90°， ∵∠B＝∠E＝∠EFG＝90°， ∴四边形BEFG是矩形， ∴BH＝EF＝1，FH＝BE＝4，∠BHF＝∠AHF＝90°， ∴AH＝AB﹣BH＝3﹣1＝2， 在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理及时解决问题的关键． 四．三角形中位线和重心（共6小题） 41．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，那么DE＝ 　6.5　 ． 【分析】根据等腰三角形性质得BDBC＝5，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB＝13，再根据直角三角形斜边AB中线的性质即可得出DE的长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10， ∴BDBC＝5，∠ADB＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，AD＝12， 由勾股定理得：AB13， ∵点E为AB的中点， ∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴DEAB＝6.5． 故答案为：6.5． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 42．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　　 ． 【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，则有S△BCFS△BEC＝5，进而问题可求解． 【解答】解：连接FC，如图所示： ∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15， ∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC， ∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF， ∴S△AEF＝S△BDF， ∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF， ∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF， ∴S△BCFS△BEC＝5， ∵S△BCFBC•FH6FH＝5， ∴FH． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键． 43．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点．若AC＝10，则EF的长为　5　 ． 【分析】连接AE，根据三线合一得出△AEC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【解答】解：连接AE， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形， ∵E是BD的中点， ∴AE⊥BD， 即△AEC是直角三角形， ∵F是AC的中点， ∴， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，如果AB＝10，那么点C与点O的距离为　　 ． 【分析】连接CO，延长CO交AB于D，由三角形重心的性质得到D是AB的中点，OCCD，由直角三角形斜边中线的性质求出CDAB＝5，即可得到OC的长． 【解答】解：连接CO，延长CO交AB于D， ∵点O是△ABC的重心， ∴D是AB的中点，OCCD， ∵ACB＝90°，AB＝10， ∴CDAB＝5， ∴OCCD ∴点C与点O的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质． 45．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若点G是△ABC重心，且GC＝4，则AB＝ 　12　 ． 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，设AB为x，则斜边中线CD，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，故CG，代入表达式解得x即可解答． 【解答】解：设AB＝x，CD， ∴CG， ∴CG， ∴4， 解得：x＝12， ∴AB＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形重心的性质是解题的关键． 46．如图，点G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC＝10，那么BG的长为 　10　 ． 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【解答】解：由重心性质可知BG：GD＝2：1，点D是AC的中点， 由条件可得， ∴BG＝2GD＝10； 故答案为：10． 【点评】本题主要考查三角形的重心及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握三角形的重心及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 1．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是　九　 边形． 【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）•180＝360×3+180， 解得：n＝9． 则这是个九边形， 故答案为：九． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 2．已知平行四边形的一边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线x的取值范围是　4＜x＜16/16＞x＞4　 ． 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，构造三角形，应用三角形的三边关系求解． 【解答】解：如图，已知平行四边形的一边长为5，一条对角线长为6， 假设CD＝5，BD＝6， ∴OD＝3， 由三角形三边关系， 可得2＜OC＜8， ∴4＜AC＜16， 故答案为：4＜x＜16． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系，解答本题的关键是掌握数形结合思想的运用． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交AE于F，如AE＝AD，，，则CD的长为　8　 ． 【分析】延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，求出∠DAG＝90°＝∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠AFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF+AG即可． 【解答】解：延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC， ∵AE⊥BC于点E， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝∠DAG＝90°， ∴∠DAG＝90°， 在△ABE和△DGA中， ， ∴△ABE≌△DGA（SAS）， ∴∠1＝∠2，DG＝AB，∠B＝∠G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC， ∵∠B+∠1＝∠ADC+∠2＝90°，∠3＝∠4， ∴∠GDF＝90°﹣∠4，∠GFD＝90°﹣∠3， ∴∠GDF＝∠GFD， ∴GF＝GD＝AB＝CD， ∵GF＝AF+AG＝AF+BE， ∴CD＝AF+BE， ∵BE＝3，AF＝5， ∴CD＝AF+BE＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　　 ． 【分析】连接BD，连接BF并延长交CD于点H，依题意得△BCD是等边三角形，AE＝BEAB＝1，CF＝EF，证明△FCH和△FEH全等得CH＝BE＝1，FH＝FBBH，则CH＝DH＝1，再根据等边三角形性质得BH⊥CD，则△BCH和△ABF都是直角三角形，在Rt△BCH中，由勾股定理得BH，则FH＝FBBH，然后在Rt△ABF中，由勾股定理得AF，据此即可得出答案． 【解答】解：连接BD，连接BF并延长交CD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∠DAB＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝∠DAB＝60°，CD∥AB， ∴△BCD是等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝1， ∵点F为CE的中点， ∴CF＝EF， ∵CD∥AB， ∴∠FHC＝∠FBE，∠FCH＝∠FEB， 在△FCH和△FEB中， ， ∴△FCH≌△FEB（AAS）， ∴CH＝BE＝1，FH＝FBBH， ∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1＝1， ∴CH＝DH＝1， ∵△BCD是等边三角形， ∴BH⊥CD， ∴∠FHC＝∠FBE＝90°， ∴△BCH和△ABF都是直角三角形， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH， ∴FH＝FBBH， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 1．如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是　4　 ． 【分析】作出直线EG和HF，标出与矩形四边的交点，再结合重心的性质进行计算即可． 【解答】解：作直线EG和HF，与AB，BC，CD，DA分别交于点M，N，P，Q， 因为点E是△ABO的重心， 所以OE＝2EM， 同理可得，OG＝2GP，OF＝2FN，OH＝2HQ， 所以EG． 因为EG和HF互相垂直且平分， 所以四边形EFGH是菱形， 所以四边形EFGH的面积是． 因为MP•NQ＝AB•CD＝18， 所以四边形EFGH的面积是． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了三角形的重心及矩形的性质，熟知三角形重心的性质是解题的关键． 2．如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　3　 ． 【分析】证明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BC， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝GF＝CG＝2，GF∥BC， ∴DG＝CD﹣CG＝4， ∵AD∥BC，GF∥BC， ∴AD∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴， 即， 解得DH＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△ADH∽△FGH． 3．1970年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由32块手缝嵌面组成（12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中∠α度数为 　132　 °． 【分析】先分别求出正五边形和正六边形的每个外角的度数，再根据这个外角与它相邻的内角是邻补角，求出每个内角，从而求出∠1和∠2，最后根据∠1+∠2+∠α＝360°，求出∠α即可． 【解答】解：如图所示： ∵正五边形的每个内角为：180°﹣360°÷5＝180°﹣72°＝108°， 正六边形的每个内角为：180°﹣360°÷6＝180°﹣60°＝120°， ∴∠1＝120°，∠2＝108°， ∵∠1+∠2+∠α＝360°， ∴∠α＝360°﹣120°﹣108°＝132°， 故答案为：132． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是结合图形理解正六边形的内角∠1、正五边形的内角∠2与∠α的和是360°． 4．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD⊥BC，AD＝6，AB＝10，则AO＝　　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得：，再由BD⊥BC，得出BD⊥AD，结合勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出AO． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵BD⊥BC， ∴BD⊥AD， ∵BD⊥BC，AD＝6，AB＝10， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DOBD8＝4， ∴，即AO的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，属于基础题，关键是勾股定理的熟练掌握． 5．四边形ABCD是一个平行四边形，BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，求S1：S2：S3：S＝　1：2：3：6　 ． 【分析】根据同底等高的三角形面积是平行四边形的一半以及三角形面积公式即可求解． 【解答】解：∵BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积， ∴，S1+S2＝S3， ∴S＝2S3； ∵BE长是BC的长的， ∴S2＝2S1， ∴ ∴S1：S2：S3：S＝1：2：3：6． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 6．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且AE＝AB，则∠ABE＝　75°　 ． 【分析】根据矩形的性质求出∠AED＝30°，再利用三角形内角和定理即可求出∠ABE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝2BC，AE＝AB， ∴AE＝2AD， ∵∠ADE＝90°， ∴∠AED＝30°， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠AED＝30°， ∴∠ABE＝∠AEB（180°﹣30°）＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是利用矩形的性质求出∠AED＝30°． 7．如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的长为 　　 ． 【分析】连接AC，由菱形的性质得到OA＝OC，由直角三角形斜边中线的性质推出OM＝OC＝2，由勾股定理求出BC＝2，由菱形的面积公式得到BC•AMAC•BD，求出AM，由勾股定理即可求出MC的长． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC过BD的中点O， ∴OA＝OC， ∵AM⊥BC， ∴∠AMC＝90°， ∴OMAC， ∵OM＝OC＝2， ∴AC＝4， ∵OBBD8＝4， ∴BC2， ∵菱形ABCD的面积＝BC•AMAC•BD， ∴2AM8×4， ∴AM， ∴MC． 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由菱形的面积公式得到BC•AMAC•BD． 8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 　105°　 ． 【分析】利用“边角边”证明△ABC≌△DEA，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠DAE，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解． 【解答】解：6个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠1＝∠DAE， ∵∠3+∠DAE＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵∠2＝45°， ∴（∠1+∠3）+∠290°+45°＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为AB、BC上一点，AE＝BF＝1，DE与AF交于点H，点M为DH的中点，点N为线段DF靠近D的四等分点，则MN＝ 　　 ． 【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAE＝∠D＝∠C＝90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到∠ABE＝∠DAF，求得∠BHF＝90°，取DF的中点G，连接HG，根据勾股定理得到DF＝＝5，求得HG＝DG＝FGDF，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝∠C＝90°， 在ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∴∠ABH+∠BAH＝∠BAH+∠DAF＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∴∠BHF＝90°， 取DF的中点G，连接HG， ∵CD＝BC＝4，BF＝1， ∴CF＝3， ∴DF5， ∴HG＝DG＝FGDF， ∵点M为DH的中点，点N为线段DF靠近M的四等分点， ∴DM＝HM，DNDFDG， ∴MN是△DHF的中位线， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为 　　 ． 【分析】先在Rt△BCD中，由勾股定理求出BD，进而得OB＝ODBD，则BP，然后根据CP＝BC﹣BP即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O， ∴BC＝DC＝2，∠BCD＝90°，OB＝ODBD， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD， ∴OB＝ODBD， ∵BP＝OB， ∴BP， ∴CP＝BC﹣BP， ∴CP的长为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 四边形章节复习<选填专题突破> (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第23章四边形选择填空题专题复习。在本节课中，我们梳理了四边形章节所有概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本章知识点。 知识点一 多边形概念 1.多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。 2.分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3） 3.内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180° 对角线条数：n边形(n≥3)的对角线条数=n(n-3)÷2 4.外角和定理：任意多边形的外角和 = 360° 常考题型及解题方法 题型分类 典型例题 解题思路 求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440° 已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14 正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72° 内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14 知识点二 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形 2.性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形 3.判定方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分 知识点三 矩形、菱形、正方形 1.矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形 性质：四个角都是直角；对角线相等 判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形 2.菱形 定义：一组邻边相等的平行四边形 性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=×对角线乘积 判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形 3.正方形 定义：既是矩形又是菱形的四边形 性质：具有矩形和菱形的所有性质 注意：易混淆点 1. 对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形） 2. 对角线垂直的四边形不一定是菱形 3. 正方形具有矩形和菱形的所有性质 知识点四 三角形中位线与重心. 1.中位线定理：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半 2.重心：三条中线的交点；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；重心将三角形面积三等分 一．多边形及其性质（共6小题） 1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 2．凸十边形的外角和为（　　） A．1800° B．1440° C．1080° D．360° 3．一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 4．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　 　 ． 5．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ACB＝　 　 °． 6．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 　 　 边形． 二．平行四边形及其判定（共12小题） 7．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝10，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．14 9．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（　　） A．0＜m＜10 B．0＜m＜6 C．4＜m＜6 D．2＜m＜8 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D 11．如图，分别以△ABC的三边为一边作▱BCED，▱ABFG，▱ACIH，且点D，E分别在FG，HI上．若▱ABFG，▱ACIH的面积分别为S1，S2，则▱BCED的面积为（　　） A．S1+S2 B． C． D． 12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S平行四边形ABCD＝AB×AC；③S△ABC＝2S△ACE；④OEBC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　 　 ． 14．如图，△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，△ABC的周长为128，则△CDF与△BDE的周长和为　 　 ． 15．平行四边形一组对角的和为260°，那么这个平行四边形中较小内角的度数为　 　 ． 16．已知平行四边形ABCD的周长是22cm，AC和BD交于点O，△OAB比△OBC的周长小3，则AB的长为 　 　 ． 17．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝　 　 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 18．在平行四边形ABCD中，如果∠A＝2∠B，那么∠D的度数是　 　 ． 三．特殊平行四边形（共22小题） 19．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　） A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD 20．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OB C．∠DAC＝∠BAC D．∠ABC＝∠BAD 21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，连接AF，AG．则下列结论错误的是（　　） A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形 B．当AD＝BD时，则四边形AGBF为矩形 C．当AB＝FG时，则四边形AGBF为矩形 D．当BF＝BG时，则四边形AGBF为菱形 22．如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　） A． B． C． D．5 24．如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是　 　 ． 25．下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形 26．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　） A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD 27．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．如果AB＝CD，∠ABC＝∠BAD，那么四边形ABCD是矩形 B．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果OB＝OD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AD＝BC，∠ABD＝∠CBD，那么四边形ABCD是菱形 28．符号“⇒”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“⇒”表示的推出过程正确的是（　　） A．①⇒②⇒③ B．①⇒③⇒② C．②⇒③⇒① D．③⇒①⇒② 29．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中错误的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 30．已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝　 　 cm． 31．矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB＝110°，则∠OAD＝ 　 　 °． 32．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　 　 ． 33．阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”． 问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　 　 ． 34．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　 　 ． 35．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为AD中点，点G、F分别在边DC、AB上．联结BE、FG，且线段BE、FG的夹角为45°．若DG＝1，则FB的长为 　 　 ． 36．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　 ． 37．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　 ． 38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F，联结EF，则线段EF的最小值为 　 　 ． 39．如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　 　 厘米/秒． 40．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC＝3，CE＝1，那么AF的长是 　 　 ． 四．三角形中位线和重心（共6小题） 41．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，那么DE＝ 　 　 ． 42．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 　 ． 43．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点．若AC＝10，则EF的长为　 　 ． 44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，如果AB＝10，那么点C与点O的距离为　 　 ． 45．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若点G是△ABC重心，且GC＝4，则AB＝ 　 　 ． 46．如图，点G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC＝10，那么BG的长为 　 　 ． 1．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是　 　 边形． 2．已知平行四边形的一边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线x的取值范围是　 　 ． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交AE于F，如AE＝AD，，，则CD的长为　 　 ． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　 　 ． 1．如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是　 　 ． 2．如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　 　 ． 3．1970年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由32块手缝嵌面组成（12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中∠α度数为 　 　 °． 4．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD⊥BC，AD＝6，AB＝10，则AO＝　 　 ． 5．四边形ABCD是一个平行四边形，BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，求S1：S2：S3：S＝　 　 ． 6．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且AE＝AB，则∠ABE＝　 　 ． 7．如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的长为 　 　 ． 8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 　 　 ． 9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为AB、BC上一点，AE＝BF＝1，DE与AF交于点H，点M为DH的中点，点N为线段DF靠近D的四等分点，则MN＝ 　 　 ． 10．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为 　 　 ． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $