浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

杭州第四中学2025学年第一学期高三年级期末考试 数学试题卷 命题人：金尔鑫 审核人：韩扬 2026年2月 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级､姓名､试场号､座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝3，则S9＝（ ） A. 0 B. －9 C. －6 D. －3 5. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 可能为 7. 已知常数，函数的图象经过点，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在区间内单调递减 D. 与的图象关于直线对称 10. 函数满足、，都有，且，则（ ） A. B. 数列单调递减 C. D. 11. 过抛物线的焦点为的直线与交于，两点，与准线交于点，记，为原点，记直线，分别交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，则（ ） A. 当时， B. 与相似 C. D. ，，三点共线 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________． 13. 把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有___________种. 14. 若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在四边形中，， （1）若为等边三角形，求线段的长度； （2）若，求线段的长度 16. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 17. 设为坐标原点，点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线 （1）直接写出的方程； （2）设点，过点的直线与曲线交于，两点 （i）若直线的斜率为，设线段的中点为，求直线的方程； （ii）设直线的方程为，且直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列 18. 已知，，. （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）若在时恒成立，求实数的取值范围. 19. 在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 （1）直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； （2）设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 杭州第四中学2025学年第一学期高三年级期末考试 数学试题卷 命题人：金尔鑫 审核人：韩扬 2026年2月 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级､姓名､试场号､座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】98 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【18题答案】 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析； （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）答案见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $