专题11分式与分式方程（3）(知识点梳理+10大题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题11分式与分式方程（3） · 记住分式方程定义：分母含未知数，区分分式方程与整式方程。 · 掌握解法步骤：去分母→解整式方程→检验，会找最简公分母。 · 理解增根成因，会检验并舍去增根。 · 会列分式方程解简单实际问题，完成双重检验（方程 + 实际意义）。 · 规避易错点：去分母不漏乘、解方程必检验、不混淆化简与解方程。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.分式方程解的三种情况 4.分式方程的实际应用 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.分式方程的求值 4.分式方程无解问题 5.列分式方程解题 6.分式方程行程问题 7.分式方程工程问题 8.分式方程经济问题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程其他实际问题 强化巩固 (解答题7题) 知识点01:分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 示例：=2 是分式方程；=1 是整式方程。 知识点02:分式方程的解法（核心步骤） 1. 基本思想 转化思想：将分式方程去分母化为整式方程求解。 2. 标准解题步骤 (1)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次 / 一元二次整式方程。 (4)检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，该解为增根，原分式方程无解。 (5)写出结论：明确方程的解或无解。 3. 增根的本质 定义：分式方程去分母后，整式方程的解使原分式方程分母为 0，这个根不是原方程的解，称为增根。 产生原因：去分母时，方程两边乘了可能为 0的整式，扩大了未知数取值范围。 考点：已知增根求参数取值→利用增根使最简公分母为 0，结合整式方程求解。 知识点03:分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 知识点04:分式方程的实际应用（高频考点） 1. 常见应用题型 工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题、工作量问题等。 2. 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 3. 常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点05:易错点警示 1.去分母时，常数项 / 整式项必须同乘最简公分母，不可漏乘； 2.分子是多项式时，去分母后加括号，避免符号错误； 3.分式方程检验步骤不可省略，阅卷时缺检验会扣分； 4.实际应用中，解除了排除增根，还要排除不符合实际的解（如负数人数、负长度等）。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，逐一检查各选项分母即可判断． 【详解】解：A、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； B、分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程，符合题意； C、分母为和，含未知数，是分式方程，不符合题意； D、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【跟踪专练2】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 【题型2.分式方程的解法】 【典例】若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 【跟踪专练1】以下解分式方程的过程中，求出的解不是原分式方程的解，其原因发生在（   ） ，① ，② ，③ ，④ ∴原方程的解是． ⑤ A．由①到②这一步 B．由②到③这一步 C．由③到④这一步 D．由④到⑤这一步 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可． 【详解】解：，① 去分母得：，② ，③ 解得，④ 检验：当时，， ∴原分式方程无解， ∴由④到⑤这一步发生错误，分式方程需要检验， 故选：D； 【跟踪专练2】已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤， 先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 整理，得， ， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴， ∴， ∵分式方程有解， ∴，即， ∴， 解得且 ∴且． 故答案为：且, 【题型3.分式方程的求值】 【典例】若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程解答即可，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， 解得， 故选：． 【跟踪专练1】若是关于x的分式方程 的解，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值．分式方程去分母后将代入即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 将代入得：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程和解不等式，分式的解不能为增根是解答本题的易错点．根据分式方程，求得x，根据解为正数，可得，注意求解不等式即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 由题意可得：且， 即，且， 解得且. 故选：D 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】根据分式方程的增根问题可进行求解． 【详解】解：由可知当时，分式方程有增根， ∴该分式方程的增根为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键． 【跟踪专练1】如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 【跟踪专练2】下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查分式的基本性质，分式方程的解法，根据分式的基本性质，利用完全平方公式求代数式的值，分式方程的解法依次分析即可作出判断．掌握相应的知识点是解题的关键． 【详解】解：：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确； ②若， 则，即， ∴， 此时分式的分母为零，无意义， ∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确； ③若，则， ∴，即， ∴，故结论③正确； ④方程两边同乘以，得： ， 整理得：， 当时，一元一次方程无解，此时； 当时，则， 解得：或， 综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误； ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【题型5.列分式方程解题】 【典例】某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用（列分式方程），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件，根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件， 根据题意可得：， 故选：． 【跟踪专练1】用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列出分式方程，根据甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，列出方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意： ； 故答案为： 【跟踪专练2】随着农业技术发展，农作物的产量大幅度增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2023年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1 2024年每亩地的产量比较2023年多240斤 2 2023年总产量12000斤，2024年总产量16800斤 求2023年与2024年花生每亩地的产量，若设2023年每亩地花生的产量x斤，可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找出等量关系，即2023年和年种植花生的土地面积相同． 明确2023年每亩产量为ⅹ斤，则年每亩产量为斤；根据“土地面积=总产量÷每亩产量”，分别表示出两年的种植面积；由于土地面积相同，列出等式． 【详解】解：已知设2023年每亩地花生的产量为x斤， 因为年每亩地的产量比2023年多斤，所以年每亩地花生的产量为斤． 根据“土地面积总产量每亩产量”，可得2023年的种植面积为亩，年的种植面积为亩． 又因为两年利用的是同样的土地，即种植面积相等，所以可列出方程：． 故选：A． 【题型6.分式方程行程问题】 【典例】甲、乙两人都要走路，甲的速度是乙的速度的倍，甲比乙少用，设乙的速度是，则可列方程为______． 【答案】 【分析】设乙的速度是，则甲的速度是，根据甲、乙二人都要走的路，甲比乙少用，，列出方程即可． 【详解】解：设乙的速度是，则甲的速度是， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系为：速度=路程÷时间． 【跟踪专练1】如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中．在绿灯亮时，小敏共用22s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段的速度是（   ） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 【答案】B 【分析】设小敏通过路段的速度是，则小敏通过BC路段的速度是，利用时间＝路程速度，结合小敏共用通过路段，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设小敏通过路段的速度是，则小敏通过路段的速度是， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小敏通过路段的速度是． 故选：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 【跟踪专练2】某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 【答案】乙先到达 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是准确找到数量关系，建立方程．根据题意设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，列出方程解得乙从体验区到的速度和到的速度，进而比较两人行走时间，比较即可得到结果． 【详解】解：设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，米，米， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同， 甲从体验区前往出口的速度是米/分钟， 甲从体验区前往出口的时间为分，乙从体验区前往出口的时间为分， ， 乙先到达出口． 故答案为：乙先到达． 【题型7.分式方程工程问题】 【典例】甲、乙两人承包一项任务，合作5天能完成，若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做需天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设甲单独做需x天，则乙单独做需(x+4)天，将这项任务看作“1”，由此即可列出关于x的方程，即可选择． 【详解】设甲单独做需x天，则乙单独做需(x+4)天， 根据题意即可列出方程， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 【跟踪专练1】为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据“甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍”，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据题意得： ． 故答案为： 【跟踪专练2】某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据分式方程的结构，原计划每天铺设的长度为实际每天铺设长度减去15米，原计划所用时间减去实际所用时间等于12天，说明实际提前12天完成． 【详解】解：设实际每天铺设管道米，则原计划每天铺设米． 原计划完成时间天，实际完成时间天． 方程表示原计划时间比实际多12天，即实际提前12天完成． 因此，实际每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成． 故选：A． 【题型8.分式方程经济问题】 【典例】年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，根据题意，设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，列出方程：，解出，即可． 【详解】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克， ∵花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴类糖果的价格为元/千克． 故答案为：． 【跟踪专练1】某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【答案】C 【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 【跟踪专练2】一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． 根据题意，设八年级的学生人数，表示出按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付钱数，列方程求解即可． 【详解】解：设这个学校八年级学生有人，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴这个学校八年级学生有300人， 故答案为：． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 【典例】植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树， 根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程， 故选：A． 【跟踪专练1】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把． 【答案】200 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一次购进这种太阳伞x把，则第二次购进这种太阳伞把，根据第二批每把太阳伞比第一批贵了4元列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次购进这种太阳伞x把，则第二次购进这种太阳伞把， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴第一次购进这种太阳伞200把， 故答案为：200． 【跟踪专练2】某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中表示的是（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【答案】D 【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可． 【详解】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是个． 根据题意可得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，得到相应的关系式是解决本题的关键． 【题型10.分式方程其他实际问题】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【答案】D 【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可． 【详解】根据题意得：3斗＝30升， 设可以换得的粝米为x升， 则 ，      解得， 经检验：是原分式方程的解， 答：可以换得的粝米为18升． 故选：D． 【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验． 【跟踪专练1】在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 【跟踪专练2】有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了分式的应用题，解题的关键是要区分利润率比甲提高了12个百分点，还是利润比甲提高了12个百分点． 首先假设甲购进手机的进价为元，售价为元．那么甲购进手机的利润率，乙购进手机的进价为，那么乙的利润是．根据利润率乙比甲提高了12个百分点，即甲经销这种手机的利润乙经销这种手机利润．那么可解的的值，则甲经销这种手机的利润率即可得解． 【详解】解：设甲购进手机的进价为元，售价为元． 根据题意得， 解得：， ∴甲经销这种手机的利润率， 故选：B． 1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 2．若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 【答案】该分式方程的增根为 【分析】本题考查了分式方程增根的定义与求解，掌握增根是使分母为零且满足去分母后整式方程的根这一核心，以及先找可能增根，再代入检验的步骤是解题的关键． 先确定原分式方程分母为零的可能增根，再去分母化为整式方程，代入可能的增根检验是否成立，从而确定真正的增根． 【详解】解：方程两边同乘，得． 该分式方程有增根， ， 或2． 当时，； 当时，不成立， ，增根不为2， 该分式方程的增根为． 3．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知型陶笛比型陶笛的单价低20元，用2700元购买型陶笛与用4500元购买型陶笛的数量相同．若设型陶笛的单价为元，则应满足怎样的分式方程？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握根据数量相等的等量关系，用总价除以单价表示数量，从而列出分式方程是解题的关键． 设型陶笛单价为元，那么型单价为元，根据两种陶笛购买数量相同，用总价除以单价表示数量，列出分式方程． 【详解】解：设型陶笛的单价为元， 型陶笛的单价为元， 型陶笛的单价为元． 依题意，得． 则应满足的分式方程为：． 4．某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 【答案】“创新号”的平均速度为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际意义， 答：“创新号”的平均速度为． 5．下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 6．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 7．政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙工程队各需要6天，12天 (2)乙至少施工4天 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程即可解答； （2）设乙工程队施工a天，则甲需施工天，由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程得： 解得： 经检验是原方程的解， 则乙：（天） 答：甲、乙工程队单独完成这项工程各需要6天，12天； （2）解：设乙工程队施工a天，则甲需施工天， 由题意得， 解得：， 答：乙工程队至少施工4天． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式与分式方程（3） · 记住分式方程定义：分母含未知数，区分分式方程与整式方程。 · 掌握解法步骤：去分母→解整式方程→检验，会找最简公分母。 · 理解增根成因，会检验并舍去增根。 · 会列分式方程解简单实际问题，完成双重检验（方程 + 实际意义）。 · 规避易错点：去分母不漏乘、解方程必检验、不混淆化简与解方程。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.分式方程解的三种情况 4.分式方程的实际应用 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.分式方程的求值 4.分式方程无解问题 5.列分式方程解题 6.分式方程行程问题 7.分式方程工程问题 8.分式方程经济问题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程其他实际问题 强化巩固 (解答题7题) 知识点01:分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 示例：=2 是分式方程；=1 是整式方程。 知识点02:分式方程的解法（核心步骤） 1. 基本思想 转化思想：将分式方程去分母化为整式方程求解。 2. 标准解题步骤 (1)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次 / 一元二次整式方程。 (4)检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，该解为增根，原分式方程无解。 (5)写出结论：明确方程的解或无解。 3. 增根的本质 定义：分式方程去分母后，整式方程的解使原分式方程分母为 0，这个根不是原方程的解，称为增根。 产生原因：去分母时，方程两边乘了可能为 0的整式，扩大了未知数取值范围。 考点：已知增根求参数取值→利用增根使最简公分母为 0，结合整式方程求解。 知识点03:分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 知识点04:分式方程的实际应用（高频考点） 1. 常见应用题型 工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题、工作量问题等。 2. 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 3. 常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点05:易错点警示 1.去分母时，常数项 / 整式项必须同乘最简公分母，不可漏乘； 2.分子是多项式时，去分母后加括号，避免符号错误； 3.分式方程检验步骤不可省略，阅卷时缺检验会扣分； 4.实际应用中，解除了排除增根，还要排除不符合实际的解（如负数人数、负长度等）。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【跟踪专练2】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【题型2.分式方程的解法】 【典例】若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 ． 【跟踪专练1】以下解分式方程的过程中，求出的解不是原分式方程的解，其原因发生在（   ） ，① ，② ，③ ，④ ∴原方程的解是． ⑤ A．由①到②这一步 B．由②到③这一步 C．由③到④这一步 D．由④到⑤这一步 【跟踪专练2】已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是 【题型3.分式方程的求值】 【典例】若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是关于x的分式方程 的解，则a的值为 ． 【跟踪专练2】关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且 D．且 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 【跟踪专练1】如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【跟踪专练2】下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 【题型5.列分式方程解题】 【典例】某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 【跟踪专练2】随着农业技术发展，农作物的产量大幅度增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2023年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1 2024年每亩地的产量比较2023年多240斤 2 2023年总产量12000斤，2024年总产量16800斤 求2023年与2024年花生每亩地的产量，若设2023年每亩地花生的产量x斤，可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型6.分式方程行程问题】 【典例】甲、乙两人都要走路，甲的速度是乙的速度的倍，甲比乙少用，设乙的速度是，则可列方程为______． 【跟踪专练1】如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中．在绿灯亮时，小敏共用22s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段的速度是（   ） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 【跟踪专练2】某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 【题型7.分式方程工程问题】 【典例】甲、乙两人承包一项任务，合作5天能完成，若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做需天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程 ． 【跟踪专练2】某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【题型8.分式方程经济问题】 【典例】年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【跟踪专练1】某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【跟踪专练2】一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 【典例】植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把． 【跟踪专练2】某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中表示的是（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【题型10.分式方程其他实际问题】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【跟踪专练1】在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【跟踪专练2】有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 2．若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 3．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知型陶笛比型陶笛的单价低20元，用2700元购买型陶笛与用4500元购买型陶笛的数量相同．若设型陶笛的单价为元，则应满足怎样的分式方程？ 4．某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 5．下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 6．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 7．政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $